En matemáticas , un operador de Hilbert-Schmidt , llamado así por David Hilbert y Erhard Schmidt , es un operador acotado A en un espacio de Hilbert H con una norma finita de Hilbert-Schmidt
dónde es la norma de H ,una base ortonormal de H . [1] [2] Tenga en cuenta que el conjunto de índices no necesita ser contable; sin embargo, como mucho, muchos términos serán distintos de cero. [3] Estas definiciones son independientes de la elección de la base. En el espacio euclidiano de dimensión finita , la norma de Hilbert-Schmidtes idéntica a la norma Frobenius .
Definición
Suponer que es un espacio de Hilbert . Sies una base ortonormal de H, entonces, para cualquier operador lineal A sobre H, defina:
donde esta suma puede ser finita o infinita. Tenga en cuenta que este valor es realmente independiente de la base ortonormalde H que se elige. Además, si la norma de Hilbert-Schmidt es finita, entonces la convergencia de la suma requiere que, como mucho, muchos de los términosson distintos de cero (incluso si yo no es contable). Si A es un operador lineal acotado, entonces tenemos. [4]
Un operador acotado A en un espacio de Hilbert es un operador de Hilbert-Schmidt sies finito. De manera equivalente, A es un operador de Hilbert-Schmidt si la traza del operador autoadjunto no negativo es finito, en cuyo caso . [1] [2]
Si A es un operador de Hilbert-Schmidt en H, entonces
dónde es una base ortonormal de H ,, y es la norma Schatten depara p = 2 . En el espacio euclidiano ,también se llama la norma Frobenius .
Ejemplos de
Los operadores integrales de Hilbert-Schmidt proporcionan una clase importante de ejemplos . Todo operador acotado con un rango de dimensión finita (estos se denominan operadores de rango finito) es un operador de Hilbert-Schmidt. El operador de identidad en un espacio de Hilbert es un operador de Hilbert-Schmidt si y solo si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Dado cualquier y en , definir por , que es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, un operador de Hilbert-Schmidt; además, para cualquier operador lineal acotado en (y en ), . [5]
Si es un operador compacto acotado con valores propios , donde cada valor propio se repite tan a menudo como su multiplicidad, entonces es Hilbert-Schmidt si y solo si , en cuyo caso la norma de Hilbert-Schmidt de es . [4]
Si , dónde es un espacio de medida, entonces el operador integral con kernel es un operador de Hilbert-Schmidt y . [4]
Espacio de los operadores de Hilbert-Schmidt
El producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt tiene una norma de clase de trazas finita ; por lo tanto, si A y B son dos operadores de Hilbert-Schmidt, el producto interno de Hilbert-Schmidt se puede definir como
Los operadores de Hilbert-Schmidt forman una dos caras -ideal * en el álgebra de Banach de operadores delimitadas en H . También forman un espacio de Hilbert, denotado por B HS ( H ) o B 2 ( H ), que se puede demostrar que es naturalmente isomórfico isomórfico al producto tensorial de los espacios de Hilbert.
donde H * es el espacio dual de H . La norma inducida por este producto interno es la norma de Hilbert-Schmidt bajo la cual el espacio de los operadores de Hilbert-Schmidt es completo (convirtiéndolo así en un espacio de Hilbert). [5] El espacio de todos los operadores lineales acotados de rango finito (es decir, que tienen un rango de dimensión finita) es un subconjunto denso del espacio de operadores de Hilbert-Schmidt (con la norma de Hilbert-Schmidt). [5]
El conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt está cerrado en la topología normal si, y solo si, H es de dimensión finita.
Propiedades
- Cada operador de Hilbert – Schmidt T : H → H es un operador compacto . [4]
- Un operador lineal acotado T : H → H es Hilbert-Schmidt si y solo si lo mismo ocurre con el operador, en cuyo caso las normas de Hilbert-Schmidt de T y | T | son iguales. [4]
- Los operadores de Hilbert-Schmidt son operadores nucleares de orden 2 y, por lo tanto, son operadores compactos . [4]
- Si y son operadores de Hilbert-Schmidt entre espacios de Hilbert, entonces la composición es un operador nuclear . [3]
- Si T : H → H es un operador lineal acotado, entonces tenemos. [4]
- Si T : H → H es un operador lineal acotado en H y S : H → H es un operador de Hilbert-Schmidt en H entonces, , y . [4] En particular, la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt es nuevamente Hilbert-Schmidt (e incluso un operador de clase de traza ). [4]
- El espacio de los operadores de Hilbert-Schmidt en H es un ideal del espacio de los operadores acotadosque contiene los operadores de rango finito. [4]
Ver también
- Producto interior Frobenius
- Clase de seguimiento
Referencias
- ^ a b Moslehian, MS "Operador Hilbert-Schmidt (de MathWorld)" .
- ^ a b Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Operador de Hilbert-Schmidt" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ↑ a b Schaefer , 1999 , p. 177.
- ↑ a b c d e f g h i j Conway 1990 , pág. 267.
- ↑ a b c Conway 1990 , p. 268.
- Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 3 . Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .