Este artículo ofrece algunos antecedentes muy generales sobre la idea matemática de topos . Este es un aspecto de la teoría de categorías y tiene la reputación de ser abstruso. El nivel de abstracción involucrado no puede reducirse más allá de cierto punto; pero, por otro lado, se puede dar contexto. Esto es en parte en términos de desarrollo histórico, pero también en cierta medida una explicación de las diferentes actitudes hacia la teoría de categorías. [ cita requerida ]
En la escuela de Grothendieck
Durante la última parte de la década de 1950, se reescribieron los fundamentos de la geometría algebraica ; y es aquí donde se encuentran los orígenes del concepto topos . En ese momento, las conjeturas de Weil eran una motivación destacada para la investigación. Como sabemos ahora, el camino hacia su demostración y otros avances, estaba en la construcción de una cohomología étale .
Con el beneficio de la retrospectiva, se puede decir que la geometría algebraica ha estado luchando con dos problemas durante mucho tiempo. La primera tenía que ver con sus puntos : en los días de la geometría proyectiva estaba claro que la ausencia de puntos 'suficientes' en una variedad algebraica era una barrera para tener una buena teoría geométrica (en la que era algo así como una variedad compacta ). También estaba la dificultad, que quedó clara tan pronto como la topología tomó forma en la primera mitad del siglo XX, que la topología de las variedades algebraicas tenía "muy pocos" conjuntos abiertos.
La cuestión de los puntos estaba cerca de resolverse en 1950; Alexander Grothendieck dio un paso radical (invocando el lema de Yoneda ) que lo eliminó, naturalmente a un costo, que cada variedad o esquema más general debería convertirse en un funtor . Sin embargo, no fue posible agregar conjuntos abiertos. El camino a seguir era otro.
La definición de topos apareció por primera vez de forma algo oblicua, en o alrededor de 1960. Se consideraron los problemas generales de la llamada ' descendencia ' en geometría algebraica, en el mismo período en que el grupo fundamental se generalizó a la configuración de geometría algebraica (como un grupo pro-finito ). A la luz de trabajos posteriores (c. 1970), "descendencia" es parte de la teoría de las comónadas ; aquí podemos ver una forma en la que la escuela de Grothendieck se bifurca en su enfoque de los teóricos de la categoría "pura", un tema que es importante para comprender cómo se trató posteriormente el concepto de topos.
Quizás había una ruta más directa disponible: el concepto de categoría abeliana había sido introducido por Grothendieck en su trabajo fundamental sobre álgebra homológica , para unificar categorías de haces de grupos abelianos y de módulos . Se supone que una categoría abeliana está cerrada bajo ciertas operaciones de teoría de categorías; al usar este tipo de definición, uno puede enfocarse completamente en la estructura, sin decir nada en absoluto sobre la naturaleza de los objetos involucrados. Este tipo de definición se remonta, en una línea, al concepto de celosía de la década de 1930. Hacia 1957 era posible plantear una pregunta para una caracterización puramente teórica de categorías de categorías de haces de conjuntos , ya que el caso de los haces de grupos abelianos había sido subsumido por la obra de Grothendieck (el artículo de Tôhoku ).
Cinco años más tarde, alrededor de 1962, Grothendieck y Verdier dieron esa definición de topos (véase el seminario de Nicolas Bourbaki Analysis Situs de Verdier ). La caracterización se realizó mediante categorías 'con colimits suficientes ', y se aplicó a lo que ahora se llama un topos de Grothendieck . La teoría se completó al establecer que un topos de Grothendieck era una categoría de gavillas, donde ahora la palabra gavilla había adquirido un significado extendido, ya que involucraba una topología de Grothendieck .
La idea de una topología de Grothendieck (también conocida como sitio ) ha sido caracterizada por John Tate como un juego de palabras audaz sobre los dos sentidos de la superficie de Riemann . [ cita requerida ] Técnicamente hablando, permitió la construcción de la codiciada cohomología étale (así como otras teorías refinadas como la cohomología plana y la cohomología cristalina ). En este punto, alrededor de 1964, los desarrollos impulsados por la geometría algebraica habían seguido en gran medida su curso. La discusión del 'set abierto' se había resumido efectivamente en la conclusión de que las variedades tenían un sitio suficientemente rico de sets abiertos en cubiertas sin ramificar de sus sets Zariski-open (ordinarios) .
De la teoría de categorías pura a la lógica categórica
La definición actual de topos se remonta a William Lawvere y Myles Tierney . Si bien el calendario sigue de cerca a lo descrito anteriormente, como cuestión de historia, la actitud es diferente y la definición es más inclusiva. Es decir, hay ejemplos de topos que no son topos de Grothendieck . Además, estos pueden ser de interés para varias disciplinas lógicas .
La definición de Lawvere y Tierney destaca el papel central en la teoría topos del clasificador de subobjetos . En la categoría habitual de conjuntos, este es el conjunto de dos elementos de valores de verdad booleanos , verdadero y falso . Es casi tautólogo decir que los subconjuntos de un conjunto X dado son los mismos que (tan buenos como) las funciones en X para cualquier conjunto de dos elementos dado: fije el 'primer' elemento y haga que un subconjunto Y corresponda a la función envía Y allí y su complemento en X al otro elemento.
Ahora, los clasificadores de subobjetos se pueden encontrar en la teoría de gavillas . Aún tautologously, aunque ciertamente más abstracta, por un espacio topológico X hay una descripción directa de una gavilla de X que desempeña el papel con respecto a todos los haces de conjuntos de X . Su conjunto de secciones sobre un conjunto abierto U de X es el conjunto de subconjuntos abiertos de T . El espacio asociado a una gavilla , por ello, es más difícil de describir.
Lawvere y Tierney, por lo tanto, formularon axiomas para un topos que asumían un clasificador de subobjetos y algunas condiciones límite (para hacer una categoría cerrada cartesiana , al menos). Durante un tiempo, esta noción de topos se denominó "topos elemental".
Una vez que se formuló la idea de una conexión con la lógica, hubo varios desarrollos que 'probaron' la nueva teoría:
- modelos de teoría de conjuntos correspondientes a las pruebas de la independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo mediante el método de forzamiento de Paul Cohen .
- el reconocimiento de la conexión con la semántica de Kripke , el intuicionista cuantificador existencial y tipo teoría intuicionista .
- combinando estos, discusión de la teoría intuicionista de los números reales , por modelos de gavilla.
Posición de la teoría del topos
Hubo cierta ironía en que al impulsar el programa de largo alcance de David Hilbert se encontró un hogar natural para las ideas centrales de la lógica intuicionista : Hilbert había detestado la escuela de LEJ Brouwer . La existencia como existencia "local" en el sentido teórico de la gavilla, que ahora se conoce con el nombre de semántica de Kripke-Joyal , es una buena combinación. Por otro lado, los largos esfuerzos de Brouwer sobre las "especies", como llamó la teoría intuicionista de los reales, están presumiblemente de alguna manera subsumidos y privados de un estatus más allá de lo histórico. Hay una teoría de los números reales en cada topos, por lo que nadie domina la teoría intuicionista.
El trabajo posterior sobre cohomología étale ha tendido a sugerir que no se requiere la teoría topos general completa. Por otro lado, se utilizan otros sitios, y el topos de Grothendieck ha tomado su lugar dentro del álgebra homológica.
El programa de Lawvere consistía en escribir lógica de orden superior en términos de teoría de categorías. El tratamiento del libro de Joachim Lambek y PJ Scott demuestra que esto se puede hacer limpiamente . Lo que resulta es esencialmente una teoría intuicionista (es decir, lógica constructiva ), cuyo contenido se aclara por la existencia de un topos libre . Esa es una teoría de conjuntos, en un sentido amplio, pero también algo que pertenece al ámbito de la sintaxis pura . La estructura de su clasificador de subobjetos es la de un álgebra de Heyting . Para obtener una teoría de conjuntos más clásica, uno puede mirar los tópicos en los que además es un álgebra booleana , o especializándose aún más, en aquellos con solo dos valores de verdad. En ese libro, se habla de matemáticas constructivas ; pero, de hecho, esto puede leerse como ciencia informática fundamental (que no se menciona). Si se quiere discutir las operaciones de la teoría de conjuntos, como la formación de la imagen (rango) de una función, se garantiza que un topos puede expresar esto de manera totalmente constructiva.
También produjo un derivado más accesible en la topología sin sentido , donde el concepto de ubicación aísla algunos conocimientos encontrados al tratar a topos como un desarrollo significativo del espacio topológico . El lema es "los puntos vienen después": esto cierra el círculo de discusión en esta página. El punto de vista está escrito en Peter Johnstone 's Espacios de piedra , que ha sido llamado por un líder en el campo de la informática 'un tratado sobre extensionalidad '. Lo extensional se trata en matemáticas como ambiente; no es algo sobre lo que los matemáticos realmente esperen tener una teoría. Quizás es por eso que la teoría del topos ha sido tratada como una rareza; va más allá de lo que permite la forma de pensar tradicionalmente geométrica. Las necesidades de las teorías completamente intensionales, como el cálculo lambda no tipificado, se han cumplido en la semántica denotacional . La teoría de Topos ha parecido durante mucho tiempo una posible "teoría maestra" en esta área.
Resumen
El concepto topos surgió en la geometría algebraica, como consecuencia de combinar el concepto de gavilla y cierre bajo operaciones categóricas . Desempeña un cierto papel definido en las teorías de la cohomología. Una 'aplicación asesina' es la cohomología étale .
Los desarrollos posteriores asociados con la lógica son más interdisciplinarios. Incluyen ejemplos que se basan en la teoría de la homotopía ( clasificación de tópicos ). Implican vínculos entre la teoría de categorías y la lógica matemática, y también (como una discusión organizacional de alto nivel) entre la teoría de categorías y la informática teórica basada en la teoría de tipos . Dada la visión general de Saunders Mac Lane sobre la ubicuidad de los conceptos, esto les da un estatus definido. Olivia Caramello fue pionera en el uso de topos como puentes unificadores en matemáticas en su libro de 2017. [1]
Referencias
- ^ Caramello, Olivia (2017). Teorías, Sitios, Topos: Relacionar y estudiar teorías matemáticas a través de puentes topos-teóricos . Prensa de la Universidad de Oxford. doi : 10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/