Grupo lucrativo

En matemáticas , los grupos profinitos son grupos topológicos que, en cierto sentido, se ensamblan a partir de grupos finitos . Comparten muchas propiedades con sus cocientes finitos: por ejemplo, tanto el teorema de Lagrange como los teoremas de Sylow se generalizan bien a los grupos profinitos. ^[1]

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos . ^[2] En este contexto, un sistema inverso consiste en un conjunto dirigido , una colección de grupos finitos , cada uno con la topología discreta , y una colección de homomorfismos tales que la identidad y la colección satisfacen la propiedad de composición . El límite inverso es el conjunto: ${\ Displaystyle (I, \ leq)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = \ {G_ {i}: i \ in I \}}$ ${\ Displaystyle \ {f_ {i} ^ {j}: G_ {j} \ to G_ {i} \ mid i, j \ in I, i \ leq j \}}$ ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle G_ {i}}$ ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {j} \ circ f_ {j} ^ {k} = f_ {i} ^ {k}}$

equipado con la topología de producto relativa . En términos categóricos , este es un caso especial de construcción de límite cofiltrado . También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal .

Un grupo profinito es un grupo topológico de Hausdorff , compacto y totalmente desconectado : ^[3] es decir, un grupo topológico que también es un espacio de Piedra . Dada esta definición, es posible recuperar la primera definición usando el límite inverso donde se extiende a través de los subgrupos normales abiertos de ordenados por inclusión (inversa). ${\ Displaystyle \ varprojlim G / N}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$