Módulo D

En matemáticas , un módulo D es un módulo sobre un anillo D de operadores diferenciales . El mayor interés de tales módulos D es como un acercamiento a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales . Desde alrededor de 1970, la teoría del módulo D se ha ido construyendo, principalmente como respuesta a las ideas de Mikio Sato sobre el análisis algebraico , y ampliando el trabajo de Sato y Joseph Bernstein sobre el polinomio de Bernstein-Sato .

Los primeros resultados importantes fueron el teorema de constructibilidad de Kashiwara y el teorema del índice de Kashiwara de Masaki Kashiwara . Los métodos de la teoría del módulo D siempre se han extraído de la teoría de la gavilla y otras técnicas con inspiración del trabajo de Alexander Grothendieck en geometría algebraica . El enfoque es de carácter global y difiere de las técnicas de análisis funcional utilizadas tradicionalmente para estudiar los operadores diferenciales. Los resultados más contundentes se obtienen para sistemas sobredeterminados ( sistemas holonómicos ), y sobre la variedad característica cortada por elsímbolos , en el caso bueno para el que es una subvariedad lagrangiana del haz cotangente de dimensión máxima ( sistemas involutivos ). Las técnicas fueron tomadas del lado de la escuela Grothendieck por Zoghman Mebkhout , quien obtuvo una versión de categoría derivada general de la correspondencia Riemann-Hilbert en todas las dimensiones.

Introducción: módulos sobre el álgebra de Weyl

El primer caso de módulos D algebraicos son módulos sobre el álgebra de Weyl A _n ( K ) sobre un campo K de característica cero. Es el álgebra que consta de polinomios en las siguientes variables

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

donde las variables x _i y ∂ _j conmutan por separado entre sí, y x _i y ∂ _j conmutan para i ≠ j , pero el conmutador satisface la relación

[∂ _yo , x _yo ] = ∂ _yo x _yo - x _yo ∂ _yo = 1.

Para cualquier polinomio f ( x ₁ , ..., x _n ), esto implica la relación

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

relacionando así el álgebra de Weyl con las ecuaciones diferenciales.

Un módulo D (algebraico) es, por definición, un módulo izquierdo sobre el anillo A _n ( K ). Ejemplos para D -modules incluyen el Weyl álgebra en sí (que actúa sobre sí mismo por la multiplicación izquierda), el (conmutativa) anillo de polinomios K [ x ₁ , ..., x _n ], donde x _i actúa por multiplicación y ∂ _j actúa parcial diferenciación con respecto ax _j y, en una vena similar, el anillo de funciones holomorfas en C ⁿ (funciones de${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})}$n variables complejas.)

Dado algún operador diferencial P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), donde x es una variable compleja, a _i ( x ) son polinomios, el módulo del cociente M = A ₁ ( C ) / A ₁ ( C ) P está estrechamente relacionado con el espacio de soluciones de la ecuación diferencial

P f = 0,

donde f es alguna función holomórfica en C , digamos. El espacio vectorial que consta de las soluciones de esa ecuación está dado por el espacio de homomorfismos de D -módulos .${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))}$

Módulos D sobre variedades algebraicas

La teoría general de D -modules se desarrolla en un suave variedad algebraica X definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K de característica cero, tal como K = C . El fajo de operadores diferenciales D _X se define para ser la O _X -algebra generado por los campos de vector en X , interpretados como derivaciones . A (izquierda) D _X- módulo M es un módulo O _X con una acción izquierda de D_X en él. Dar tal acción es equivalente a especificar unmapa lineal K

${\displaystyle \nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}$

satisfactorio

${\displaystyle \nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)}$( Regla de Leibniz )

${\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}$

Aquí f es una función regular en X , v y w son campos vectoriales, m una sección local de M , [-, -] denota el conmutador . Por lo tanto, si M es además un localmente libre O _X -módulo, dando M un D estructura -module es otra cosa que el equipamiento de la paquete del vector asociado a M con un plano (o integrable) de conexión .

Como el anillo D _X no es conmutativo, deben distinguirse los módulos D izquierdo y derecho . Sin embargo, las dos nociones pueden intercambiarse, ya que existe una equivalencia de categorías entre ambos tipos de módulos, dada al mapear un módulo izquierdo M al producto tensorial M ⊗ Ω _X , donde Ω _X es el paquete de líneas dado por el exterior más alto poder de diferenciales 1-formas en X . Este paquete tiene una acción de derecho natural determinada por

ω ⋅ v  : = - Mentira _v (ω),

donde v es un operador diferencial de orden uno, es decir un campo vectorial, ω una forma n ( n = dim X ), y Lie denota la derivada de Lie .

Localmente, después de elegir algún sistema de coordenadas x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) sobre X , que determinan una base ∂ ₁ , ..., ∂ _n del espacio tangente de X , secciones de D _X se puede representar de forma única como expresiones

${\displaystyle \sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}}$, En el que son funciones regulares sobre X .${\displaystyle f_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$

En particular, cuando X es el espacio afín n- dimensional , este D _X es el álgebra de Weyl en n variables.

Muchas propiedades básicas de los módulos D son locales y paralelas a la situación de las poleas coherentes . Esto se basa en el hecho de que D _X es un fajo localmente libre de O _X -modules, aunque de rango infinito, como el mencionado anteriormente O _X shows -basis. Se puede demostrar que un módulo D _X que es coherente como un módulo O _X es necesariamente libre localmente (de rango finito).

Functorialidad

Los módulos D de diferentes variedades algebraicas están conectados por functores de retroceso y avance comparables a los de las poleas coherentes. Para un mapa f : X → Y de variedades suaves, las definiciones son las siguientes:

D _{X → Y}  : = O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Está equipado con una acción D _X izquierda de una manera que emula la regla de la cadena , y con la acción derecha natural de f ⁻¹ ( D _Y ). El retroceso se define como

f ^∗ ( M ): = D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Aquí M es un izquierda D _Y -módulo, mientras que su retirada es un módulo izquierdo sobre X . Este funtor es exacto por la derecha , su funtor derivado por la izquierda se denota L f ^∗ . Por el contrario, para un módulo D _X derecho N ,

f _∗ ( N ): = f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

es un módulo D _Y derecho . Dado que esto mezcla el producto tensor exacto derecho con el empuje hacia adelante exacto izquierdo, es común establecer en su lugar

f _∗ ( N ): = R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

Debido a esto, gran parte de la teoría de los módulos D se desarrolla utilizando todo el poder del álgebra homológica , en particular las categorías derivadas .

Módulos holonómicos

Módulos holonómicos sobre el álgebra de Weyl

Se puede demostrar que el álgebra de Weyl es un anillo noetheriano (izquierdo y derecho) . Además, es simple , es decir, su único ideal bilateral es el ideal cero y el anillo completo. Estas propiedades hacen que el estudio de los módulos D sea ​​manejable. En particular, las nociones estándar del álgebra conmutativa como el polinomio de Hilbert , la multiplicidad y la longitud de los módulos se transfieren a los módulos D. Más precisamente, D _X está equipado con la filtración Bernstein , es decir, la filtración tal que F ^p A_n ( K ) consta de K -combinaciones lineales de operadores diferenciales x ^α ∂ ^β con | α | + | β | ≤  p (usando notación multiíndice ). Seve que el anillo graduado asociadoes isomorfo al anillo polinomial en 2 n indeterminados. En particular, es conmutativo.

Finitamente generado D -modules M están dotados de "buenas" llamados filtraciones F ^* M , que son los compatibles con F ^* A _n ( K ), esencialmente paralela a la situación de la Artin-Rees lema . El polinomio de Hilbert se define como el polinomio numérico que concuerda con la función

n ↦ tenue _K F ⁿ M

para grandes n . La dimensión d ( M ) de un módulo A _n ( K ) M se define como el grado del polinomio de Hilbert. Está limitado por la desigualdad de Bernstein

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

Un módulo cuya dimensión alcanza el menor valor posible, n , se llama holonómico .

El módulo A ₁ ( K ) M = A ₁ ( K ) / A ₁ ( K ) P (ver arriba) es holonómico para cualquier operador diferencial distinto de cero P , pero una afirmación similar para álgebras de Weyl de dimensiones superiores no es válida.

Definición general

Como se mencionó anteriormente, los módulos sobre el álgebra de Weyl corresponden a los módulos D en el espacio afín. Al no estar disponible la filtración Bernstein en D _X para las variedades generales X , la definición se generaliza a las variedades lisas afines arbitrarias X mediante el orden de filtración en D _X , definido por el orden de operadores diferenciales . La graduada gr anillo asociado D _X está dada por funciones regulares sobre el fibrado cotangente T ^* X .

La variedad característica se define como la subvariedad del haz cotangente cortado por el radical del aniquilador de gr M , donde nuevamente M está equipado con una filtración adecuada (con respecto al orden de filtración en D _X ). Como de costumbre, la construcción afín se adhiere luego a variedades arbitrarias.

La desigualdad Bernstein continúa llevando a cabo para cualquier (liso) variedad X . Mientras que el límite superior es una consecuencia inmediata de la interpretación anterior de gr D _X en términos del paquete cotangente, el límite inferior es más sutil.

Propiedades y caracterizaciones

Los módulos holonómicos tienden a comportarse como espacios vectoriales de dimensión finita. Por ejemplo, su longitud es finita. También, M es holonómico si y sólo si todos los grupos de cohomología del complejo de L i ^* ( M ) son de dimensión finita K espacios-vector, donde i es la inmersión cerrada de cualquier punto de X .

Para cualquier módulo D M , el módulo dual se define por

${\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X].}$

Los módulos holonómicos también se pueden caracterizar por una condición homológica : M es holonómico si y solo si D ( M ) está concentrado (visto como un objeto en la categoría derivada de módulos D ) en grado 0. Este hecho es un primer vistazo de Verdier dualidad y la correspondencia Riemann-Hilbert . Se ha demostrado mediante la ampliación del estudio homológica de anillos regulares (especialmente lo que se relaciona con dimensión homológica mundial ) al anillo filtrada D _X .

Otra caracterización de los módulos holonómicos es a través de la geometría simpléctica . La variedad característica Ch ( M ) de cualquier módulo D M es, considerada como una subvariedad del paquete cotangente T ^∗ X de X , una variedad involutiva . El módulo es holonómico si y solo si Ch ( M ) es lagrangiano .

Aplicaciones

Una de las primeras aplicaciones de los módulos D holonómicos fue el polinomio de Bernstein-Sato .

Conjetura de Kazhdan-Lusztig

La conjetura de Kazhdan-Lusztig se demostró utilizando módulos D.

Correspondencia de Riemann-Hilbert

La correspondencia de Riemann-Hilbert establece un vínculo entre ciertos módulos D y poleas construibles. Como tal, proporcionó una motivación para introducir gavillas perversas .

Teoría de la representación geométrica

Los módulos D también se aplican en la teoría de la representación geométrica . Un resultado principal en esta área es la localización de Beilinson-Bernstein . Se relaciona D -modules en variedades bandera G / B a las representaciones de la álgebra de Lie de un grupo reductor G .Los módulos D también son cruciales en la formulación del programa geométrico Langlands .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Referencias

• Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localization de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15-18, ISSN  0249-6291 , MR  0610137
• Björk, J.-E. (1979), Anillos de operadores diferenciales , North-Holland Mathematical Library, 21 , Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85292-2, MR  0549189
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Conjetura de Kazhdan-Lusztig y sistemas holonómicos", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN  0020-9910 , MR  0632980
• Coutinho, SC (1995), A primer of algebraic D -modules , London Mathematical Society Student Texts, 33 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55119-9, MR  1356713
• Borel, Armand , ed. (1987), Módulos D algebraicos , Perspectivas en matemáticas, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], "Módulo D" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008),Módulos D , poleas perversas y teoría de la representación (PDF) , Progreso en matemáticas, 236 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR  2357361 , Archivado desde el original (PDF) en 03/03/2016 , recuperada 2009-12-10

enlaces externos

• Bernstein, Joseph , Teoría algebraica de módulos D (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Conferencias sobre la teoría de la Representación geométrica (PDF) , Archivado desde el original (PDF) en 26/03/2015 , recuperada 2011-12-14
• Milicic, Dragan, Conferencias sobre la teoría algebraica de los módulos D