El método de análisis de homotopía ( HAM ) es una técnica semi-analítica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales . El método de análisis de homotopía emplea el concepto de homotopía de la topología para generar una solución en serie convergente para sistemas no lineales. Esto se habilita utilizando una serie de homotopía- Maclaurin para tratar las no linealidades en el sistema.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/7e/HomotopySmall.gif/200px-HomotopySmall.gif)
El HAM fue diseñado por primera vez en 1992 por Liao Shijun de la Universidad de Shanghai Jiaotong en su tesis doctoral [1] y posteriormente modificado [2] en 1997 [ lenguaje promocional ] para introducir un parámetro auxiliar distinto de cero, denominado parámetro de control de convergencia. , c 0 , para construir una homotopía en un sistema diferencial en forma general. [3] El parámetro de control de convergencia es una variable no física que proporciona una forma sencilla de verificar y hacer cumplir la convergencia de una serie de soluciones. La capacidad del HAM para mostrar de forma natural la convergencia de la solución en serie es inusual en los enfoques analíticos y semi-analíticos de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales.
Caracteristicas
El HAM se distingue de varios otros métodos analíticos en cuatro aspectos importantes. Primero, es un método de expansión en serie que no depende directamente de parámetros físicos pequeños o grandes. Por lo tanto, es aplicable no solo para problemas débiles sino también fuertemente no lineales, yendo más allá de algunas de las limitaciones inherentes de los métodos de perturbación estándar . En segundo lugar, el HAM es un método unificado para el método de pequeños parámetros artificiales de Lyapunov , el método de expansión delta, el método de descomposición de Adomian , [4] y el método de perturbación de homotopía . [5] [6] La mayor generalidad del método a menudo permite una fuerte convergencia de la solución en dominios espaciales y de parámetros más amplios. En tercer lugar, el HAM ofrece una excelente flexibilidad en la expresión de la solución y en cómo se obtiene explícitamente la solución. Proporciona una gran libertad para elegir las funciones base de la solución deseada y el correspondiente operador lineal auxiliar de la homotopía. Finalmente, a diferencia de las otras técnicas de aproximación analítica, el HAM proporciona una forma sencilla de asegurar la convergencia de la serie de soluciones.
El método de análisis de homotopía también se puede combinar con otras técnicas empleadas en ecuaciones diferenciales no lineales como los métodos espectrales [7] y las aproximaciones de Padé . Además, puede combinarse con métodos computacionales, como el método del elemento de contorno, para permitir que el método lineal resuelva sistemas no lineales. A diferencia de la técnica numérica de continuación de homotopía , el método de análisis de homotopía es un método de aproximación analítica en oposición a un método computacional discreto. Además, el HAM usa el parámetro de homotopía solo a nivel teórico para demostrar que un sistema no lineal puede dividirse en un conjunto infinito de sistemas lineales que se resuelven analíticamente, mientras que los métodos de continuación requieren resolver un sistema lineal discreto a medida que se varía el parámetro de homotopía. para resolver el sistema no lineal.
Aplicaciones
En los últimos veinte años, el HAM se ha aplicado para resolver un número creciente de ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales en ciencia, finanzas e ingeniería. [8] [9] Por ejemplo, se encontraron múltiples ondas resonantes de estado estacionario en aguas profundas y finitas [10] con el criterio de resonancia de ondas de un número arbitrario de ondas gravitacionales viajeras ; esto concuerda con el criterio de Phillips para cuatro ondas con pequeña amplitud. Además, un modelo de onda unificada aplicado con el HAM, [11] admite no sólo las ondas periódicas / solitarias suaves progresivas tradicionales, sino también las ondas solitarias progresivas con cresta puntiaguda en una profundidad de agua finita. Este modelo muestra que las ondas solitarias puntiagudas son soluciones consistentes junto con las conocidas suaves. Además, el HAM se ha aplicado a muchos otros problemas no lineales como la transferencia de calor no lineal , [12] el ciclo límite de los sistemas dinámicos no lineales, [13] la opción de venta estadounidense , [14] la ecuación exacta de Navier-Stokes , [15] el precio de las opciones bajo volatilidad estocástica , [16] los flujos electrohidrodinámicos , [17] la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores, [18] y otros.
Breve descripción matemática
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif/200px-Mug_and_Torus_morph.gif)
Considere una ecuación diferencial no lineal general
- ,
dónde es un operador no lineal. Dejardenotan un operador lineal auxiliar, u 0 ( x ) una estimación inicial de u ( x ) y c 0 una constante (llamado parámetro de control de convergencia), respectivamente. Usando el parámetro de incrustación q ∈ [0,1] de la teoría de la homotopía, se puede construir una familia de ecuaciones,
denominada ecuación de deformación de orden cero, cuya solución varía continuamente con respecto al parámetro de inclusión q ∈ [0,1]. Esta es la ecuación lineal
con estimación inicial conocida U ( x ; 0) = u 0 ( x ) cuando q = 0, pero es equivalente a la ecuación no lineal original, cuando q = 1, es decir, U ( x ; 1) = u ( x )). Por lo tanto, a medida que q aumenta de 0 a 1, la solución U ( x ; q ) de la ecuación de deformación de orden cero varía (o se deforma) desde la estimación inicial elegida u 0 ( x ) hasta la solución u ( x ) de la ecuación no lineal.
Al expandir U ( x ; q ) en una serie de Taylor alrededor de q = 0, tenemos la serie de homotopía-Maclaurin
Suponiendo que el llamado parámetro de control de convergencia c 0 de la ecuación de deformación de orden cero se elige correctamente que la serie anterior es convergente en q = 1, tenemos la solución de series de homotopía
A partir de la ecuación de deformación de orden cero, se puede derivar directamente la ecuación gobernante de u m ( x )
llamado el m º -order deformación ecuación, donde y para k > 1, y el lado derecho R m depende solo de los resultados conocidos u 0 , u 1 , ..., u m - 1 y se puede obtener fácilmente usando software de álgebra de computadora. De esta manera, la ecuación no lineal original se transfiere a un número infinito de ecuaciones lineales, pero sin asumir ningún parámetro físico pequeño / grande.
Dado que el HAM se basa en una homotopía, uno tiene gran libertad para elegir la suposición inicial u 0 ( x ), el operador lineal auxiliary el parámetro de control de convergencia c 0 en la ecuación de deformación de orden cero. Por lo tanto, el HAM proporciona al matemático la libertad de elegir el tipo de ecuación de la ecuación de deformación de orden superior y las funciones base de su solución. El valor óptimo del parámetro de control de convergencia c 0 está determinado por el mínimo del error cuadrado residual de las ecuaciones gobernantes y / o las condiciones de contorno después de que se haya resuelto la forma general para la estimación inicial y el operador lineal elegidos. Por lo tanto, el parámetro de control de convergencia c 0 es una forma simple de garantizar la convergencia de la solución de la serie de homotopía y diferencia el HAM de otros métodos de aproximación analítica. El método en general proporciona una útil generalización del concepto de homotopía.
El HAM y el álgebra informática
El HAM es un método de aproximación analítica diseñado para la era de las computadoras con el objetivo de "calcular con funciones en lugar de números". Junto con un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple , uno puede obtener aproximaciones analíticas de un problema altamente no lineal a un orden arbitrariamente alto por medio del HAM en solo unos pocos segundos. Inspirado por las recientes aplicaciones exitosas del HAM en diferentes campos, se ha puesto a disposición en línea un paquete de Mathematica basado en el HAM, llamado BVPh, para resolver problemas de valores de frontera no lineales [4] . BVPh es un paquete de resolución para ODE altamente no lineales con singularidades, múltiples soluciones y condiciones de contorno multipunto en un intervalo finito o infinito, e incluye soporte para ciertos tipos de PDE no lineales. [8] Otro código de Mathematica basado en HAM, APOh, se ha producido para resolver una aproximación analítica explícita del límite de ejercicio óptimo de la opción de venta estadounidense, que también está disponible en línea [5] .
Análisis de respuesta de frecuencia para osciladores no lineales
Recientemente se ha informado que el HAM es útil para obtener soluciones analíticas para ecuaciones de respuesta de frecuencia no lineal. Dichas soluciones pueden capturar varios comportamientos no lineales, como comportamientos de tipo endurecimiento, tipo ablandamiento o mixtos del oscilador. [19] [20] Estas ecuaciones analíticas también son útiles en la predicción del caos en sistemas no lineales. [21]
Referencias
- ^ Liao, SJ (1992), La técnica de análisis de homotopía propuesta para la solución de problemas no lineales , Tesis de doctorado, Universidad Jiao Tong de Shanghai
- ^ Liao, SJ (1999), "Una aproximación explícita y totalmente analítica de los problemas de flujo viscoso de Blasius", International Journal of Non-Linear Mechanics , 34 (4): 759–778, Bibcode : 1999IJNLM..34..759L , doi : 10.1016 / S0020-7462 (98) 00056-0
- ^ Liao, SJ (2003), Más allá de la perturbación: Introducción al método de análisis de homotopía , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1[1]
- ^ Adomian, G. (1994). Resolución de problemas de Física de Frontier: El método de descomposición . Editores académicos de Kluwer.
- ^ Liang, Songxin; Jeffrey, David J. (2009), "Comparación del método de análisis de homotopía y el método de perturbación de homotopía a través de una ecuación de evolución", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , 14 (12): 4057–4064, Bibcode : 2009CNSNS..14.4057L , doi : 10.1016 / j.cnsns.2009.02.016
- ^ Sajid, M .; Hayat, T. (2008), "Comparación de métodos HAM y HPM en ecuaciones de convección y conducción de calor no lineales", Análisis no lineal: Aplicaciones del mundo real , 9 (5): 2296-2301, doi : 10.1016 / j.nonrwa.2007.08. 007
- ^ Motsa, SS; Sibanda, P .; Awad, FG; Shateyi, S. (2010), "Un nuevo método de análisis de homotopía espectral para el problema de MHD Jeffery-Hamel", Computers & Fluids , 39 (7): 1219-1225, doi : 10.1016 / j.compfluid.2010.03.004
- ^ a b Liao, SJ (2012), Método de análisis de homotopía en ecuaciones diferenciales no lineales , Berlín y Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-7-04-032298-9 [2]
- ^ Vajravelu, K .; Van Gorder (2013), Análisis de homotopía y fenómenos de flujo no lineal , Berlín y Pekín: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3-642-32102-3 [3]
- ^ Xu, DL; Lin, ZL; Liao, SJ; Stiassnie, M. (2012), "En las ondas progresivas completamente resonantes en estado estacionario en agua de profundidad finita", Journal of Fluid Mechanics , 710 : 379–418, Bibcode : 2012JFM ... 710..379X , doi : 10.1017 /jfm.2012.370
- ^ Liao, SJ (2013), "¿Realmente existen ondas de agua solitarias puntiagudas ?", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , 19 (6): 1792-1821, arXiv : 1204.3354 , Bibcode : 2014CNSNS..19.1792L , doi : 10.1016 /j.cnsns.2013.09.042 , S2CID 119203215
- ^ Abbasbandy, S. (2006), "La aplicación del método de análisis de homotopía a ecuaciones no lineales que surgen en la transferencia de calor", Physics Letters A , 360 (1): 109-113, Bibcode : 2006PhLA..360..109A , doi : 10.1016 /j.physleta.2006.07.065
- ^ Chen, YM; Liu, JK (2009), "Solución uniformemente válida del ciclo límite de la ecuación de Duffing-van der Pol", Mechanics Research Communications , 36 (7): 845-850, doi : 10.1016 / j.mechrescom.2009.06.001
- ^ Zhu, SP (2006), "Una solución exacta y explícita para la valoración de las opciones de venta estadounidenses", Quantitative Finance , 6 (3): 229–242, doi : 10.1080 / 14697680600699811 , S2CID 121851109
- ^ Turkyilmazoglu, M. (2009), "Soluciones puramente analíticas del flujo de la capa límite compresible debido a un disco giratorio poroso con transferencia de calor", Physics of Fluids , 21 (10): 106104-106104-12, Bibcode : 2009PhFl ... 21j6104T , doi : 10.1063 / 1.3249752
- ^ Park, Sang-Hyeon; Kim, Jeong-Hoon (2011), "Método de análisis de homotopía para la valoración de opciones en condiciones de volatilidad estocástica", Applied Mathematics Letters , 24 (10): 1740-1744, doi : 10.1016 / j.aml.2011.04.034
- ^ Mastroberardino, A. (2011), "Método de análisis de homotopía aplicado al flujo electrohidrodinámico", Commun. No lineal. Sci. Numer. Simulat. , 16 (7): 2730–2736, Bibcode : 2011CNSNS..16.2730M , doi : 10.1016 / j.cnsns.2010.10.004
- ^ Nassar, Christopher J .; Revelli, Joseph F .; Bowman, Robert J. (2011), "Aplicación del método de análisis de homotopía a la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores", Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 16 (6): 2501-2512, Bibcode : 2011CNSNS..16.2501N , doi : 10.1016 / j.cnsns.2010.09.015
- ^ Tajaddodianfar, Farid (2017). "Dinámica no lineal de resonadores MEMS / NEMS: solución analítica por el método de análisis de homotopía". Tecnologías de microsistemas . 23 (6): 1913-1926. doi : 10.1007 / s00542-016-2947-7 . S2CID 113216381 .
- ^ Tajaddodianfar, Farid (marzo de 2015). "Sobre la dinámica de los micro / nano resonadores biestables: solución analítica y comportamiento no lineal". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 20 (3): 1078–1089. Código bibliográfico : 2015CNSNS..20.1078T . doi : 10.1016 / j.cnsns.2014.06.048 .
- ^ Tajaddodianfar, Farid (enero de 2016). "Predicción del caos en micro-nano resonadores de arco accionados electrostáticamente: enfoque analítico" . Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 30 (1-3): 182-195. doi : 10.1016 / j.cnsns.2015.06.013 .
enlaces externos
- http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
- http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm