Cardenal Woodin

En la teoría de conjuntos , un cardinal de Woodin (llamado así por W. Hugh Woodin ) es un número cardinal λ tal que para todas las funciones

Una definición equivalente es esta: λ es Woodin si y solo si λ es fuertemente inaccesible y para todos existe un <λ que es - -fuerte. ${\ Displaystyle A \ subseteq V _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {A}}$ ${\ Displaystyle <\ lambda}$ ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {A}}$ ser - -fuerte significa que para todos los ordinales α <λ, existe a que es una incrustación elemental con punto crítico , y . (Véase también cardenal fuerte ). ${\ Displaystyle <\ lambda}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle j: V \ a M}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {A}}$ ${\ Displaystyle j (\ lambda _ {A})> \ alpha}$ ${\ Displaystyle V _ {\ alpha} \ subseteq M}$ ${\ Displaystyle j (A) \ cap V _ {\ alpha} = A \ cap V _ {\ alpha}}$

Un cardenal Woodin está precedido por un conjunto estacionario de cardenales medibles y, por lo tanto, es un cardenal Mahlo . Sin embargo, el primer cardenal de Woodin no es ni siquiera débilmente compacto .

Los cardenales de Woodin son importantes en la teoría descriptiva de conjuntos . Por un resultado ^[1] de Martin y Steel , la existencia de un número infinito de cardenales de Woodin implica una determinación proyectiva , que a su vez implica que todo conjunto proyectivo es medible en Lebesgue , tiene la propiedad de Baire (difiere de un conjunto abierto por un conjunto exiguo , es decir , un conjunto que es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte ) y la propiedad del conjunto perfecto (es contable o contiene un subconjunto perfecto ).

La consistencia de la existencia de los cardenales de Woodin puede demostrarse mediante hipótesis de determinación. Trabajando en ZF + AD + DC uno puede probar que Woodin está en la clase de conjuntos definibles ordinales hereditariamente. es el primer ordinal en el que el continuo no puede ser mapeado por una sobreyección ordinal-definible (ver Θ (teoría de conjuntos) ). ${\ Displaystyle \ Theta _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ Theta _ {0}}$