Ecuación diferencial parcial hiperbólica

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En matemáticas , una ecuación diferencial parcial hiperbólica de orden es una ecuación diferencial parcial (PDE) que, en términos generales, tiene un problema de valor inicial bien planteado para las primeras derivadas. Más precisamente, el problema de Cauchy puede resolverse localmente para datos iniciales arbitrarios a lo largo de cualquier hipersuperficie no característica . Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas, por lo que el estudio de las ecuaciones hiperbólicas tiene un interés contemporáneo sustancial. La ecuación hiperbólica modelo es la ecuación de onda . En una dimensión espacial, esto es${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

La ecuación tiene la propiedad de que, si uy su primera derivada en el tiempo son datos iniciales especificados arbitrariamente en la línea t = 0 (con suficientes propiedades de suavidad), entonces existe una solución para todo el tiempo t .

Las soluciones de las ecuaciones hiperbólicas son "onduladas". Si se produce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, entonces no todos los puntos del espacio sienten la perturbación a la vez. En relación con una coordenada de tiempo fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita . Viajan a lo largo de las características de la ecuación. Esta característica distingue cualitativamente las ecuaciones hiperbólicas de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Una perturbación de los datos iniciales (o de frontera) de una ecuación elíptica o parabólica se siente a la vez en prácticamente todos los puntos del dominio.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen del tipo particular de ecuación diferencial que se esté considerando. Existe una teoría bien desarrollada para los operadores diferenciales lineales , debido a Lars Gårding , en el contexto del análisis microlocal . Las ecuaciones diferenciales no lineales son hiperbólicas si sus linealizaciones son hiperbólicas en el sentido de Gårding. Existe una teoría algo diferente para los sistemas de ecuaciones de primer orden que provienen de sistemas de leyes de conservación .

Definición

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto siempre que el problema de Cauchy se resuelva de forma única en una vecindad de para cualquier dato inicial dado en una hipersuperficie no característica que la atraviese . ^[1] Aquí los datos iniciales prescritos consisten en todas las derivadas (transversales) de la función en la superficie hasta una menos que el orden de la ecuación diferencial.${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Ejemplos de

Por un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma

${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$

con

${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

se puede transformar a la ecuación de onda , aparte de los términos de orden inferior que no son esenciales para la comprensión cualitativa de la ecuación. ^{[2] : 400} Esta definición es análoga a la definición de una hipérbola plana .

La ecuación de onda unidimensional :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

es un ejemplo de una ecuación hiperbólica. Las ecuaciones de onda bidimensionales y tridimensionales también entran en la categoría de PDE hiperbólica. Este tipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica de segundo orden puede transformarse en un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales de primer orden. ^{[2] : 402}

Sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales

El siguiente es un sistema de primer orden ecuaciones diferenciales parciales para desconocidos funciones , donde :${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0,}$

( ∗ )

donde alguna vez fueron funciones continuamente diferenciables , no lineales en general.${\displaystyle {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$

A continuación, para cada uno defina la matriz jacobiana${\displaystyle {\vec {f^{j}}}}$${\displaystyle s\times s}$

${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$

El sistema ( ∗ ) es hiperbólico si para todos la matriz solo tiene valores propios reales y es diagonalizable .${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Si la matriz tiene s distintos valores propios reales, se deduce que es diagonalizable. En este caso, el sistema ( ∗ ) se denomina estrictamente hiperbólico .${\displaystyle A}$

Si la matriz es simétrica, se deduce que es diagonalizable y los valores propios son reales. En este caso, el sistema ( ∗ ) se llama simétrico hiperbólico .${\displaystyle A}$

Sistema hiperbólico y leyes de conservación.

Existe una conexión entre un sistema hiperbólico y una ley de conservación . Considere un sistema hiperbólico de una ecuación diferencial parcial para una función desconocida . Entonces el sistema ( ∗ ) tiene la forma${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}$

( ∗∗ )

Aquí, se puede interpretar como una cantidad que se mueve de acuerdo con el flujo dado por . Para ver que la cantidad se conserva, integre ( ∗∗ ) sobre un dominio${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$

Si y son funciones suficientemente suaves, podemos usar el teorema de divergencia y cambiar el orden de la integración y obtener una ley de conservación para la cantidad en la forma general${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}}$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$

lo que significa que la tasa de cambio en el tiempo de en el dominio es igual al flujo neto de a través de su límite . Dado que se trata de una igualdad, se puede concluir que se conserva en su interior .${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

Ver también

• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Operador hipoeliptico
• Ecuación diferencial parcial parabólica

Referencias

1. Rozhdestvenskii, BL (2001) [1994], "Ecuación diferencial parcial hiperbólica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
2. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas , 19 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 019 , ISBN 978-0-8218-4974-3, Señor  2597943 , OCLC  465190110

Otras lecturas

• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 

enlaces externos

• "Ecuación diferencial parcial hiperbólica, métodos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones hiperbólicas lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones hiperbólicas no lineales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.