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Un poliedro geodésico es un poliedro convexo hecho de triángulos. Suelen tener simetría icosaédrica , por lo que tienen 6 triángulos en un vértice, excepto 12 vértices que tienen 5 triángulos. Son el dual de los correspondientes poliedros de Goldberg con caras en su mayoría hexagonales.
Los poliedros geodésicos son una buena aproximación a una esfera para muchos propósitos y aparecen en muchos contextos diferentes. Las más conocidas pueden ser las cúpulas geodésicas diseñadas por Buckminster Fuller , cuyos poliedros geodésicos llevan el nombre. Las rejillas geodésicas utilizadas en geodesia también tienen la geometría de poliedros geodésicos. Las cápsides de algunos virus tienen la forma de poliedros geodésicos, [1] [2] y las moléculas de fullereno tienen la forma de poliedros de Goldberg . Los poliedros geodésicos están disponibles como primitivos geométricos en el paquete de software de modelado Blender 3D , que los llama icosferas : son una alternativa a la esfera UV , ya que tienen una distribución de vértices más regular que la esfera UV. [3] [4] La construcción de Goldberg-Coxeter es una expansión de los conceptos subyacentes a los poliedros geodésicos.
Notación geodésica
En los modelos esféricos de Magnus Wenninger , los poliedros reciben notación geodésica en la forma {3, q +} b , c , donde {3, q } es el símbolo de Schläfli para el poliedro regular con caras triangulares y q- vértices de valencia . El símbolo + indica la valencia de los vértices que se están incrementando. b , c representan una descripción de subdivisión, con 1,0 representa la forma base. Hay 3 clases de simetría de formas: {3,3+} 1,0 para un tetraedro , {3,4+} 1,0 para un octaedro y {3,5+} 1,0 para un icosaedro .
La notación dual para los poliedros de Goldberg es { q +, 3} b , c , con vértices de valencia-3, con q caras -gonales y hexagonales. Hay 3 clases de simetría de formas: {3 +, 3} 1,0 para un tetraedro , {4 +, 3} 1,0 para un cubo y {5 +, 3} 1,0 para un dodecaedro .
Los valores de b , c se dividen en tres clases:
- Clase I (b = 0 o c = 0): {3, q +} b , 0 o {3, q +} 0, b representan una división simple con las aristas originales divididas en b sub-aristas.
- Clase II (b = c): {3, q +} b , b son más fáciles de ver desde el poliedro dual { q , 3} con q -caras gonales primero divididas en triángulos con un punto central, y luego todos los bordes están divididos en b sub-bordes.
- Clase III : {3, q +} b , c tienen valores distintos de cero para b , c , y existen en pares quirales. Para b > c podemos definirlo como una forma para diestros, y c > b es una forma para zurdos.
Las subdivisiones de la clase III aquí no se alinean simplemente con los bordes originales. Las subcuadrículas se pueden extraer mirando un mosaico triangular , colocando un triángulo grande en la parte superior de los vértices de la cuadrícula y senderos para caminar desde un vértice b pasos en una dirección, y un giro, ya sea en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y luego otro c pasos al siguiente vértice primario.
Por ejemplo, el icosaedro es {3,5+} 1,0 , y el pentakis dodecaedro , {3,5+} 1,1 se ve como un dodecaedro regular con caras pentagonales divididas en 5 triángulos.
La cara principal de la subdivisión se llama triángulo poliédrico principal (PPT) o estructura de ruptura . El cálculo de un solo PPT permite crear la figura completa.
La frecuencia de un poliedro geodésico se define por la suma de ν = b + c . Un armónico es una subfrecuencia y puede ser cualquier divisor entero de ν . La clase II siempre tiene un armónico de 2, ya que ν = 2 b .
El número de triangulación es T = b 2 + bc + c 2 . Este número multiplicado por el número de caras originales expresa cuántos triángulos tendrá el nuevo poliedro.
Elementos
El número de elementos se especifica mediante el número de triangulación. . Dos poliedros geodésicos diferentes pueden tener el mismo número de elementos, por ejemplo, {3,5+} 5,3 y {3,5+} 7,0 ambos tienen T = 49.
Simetría | Icosaédrico | Octaédrico | Tetraédrico |
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Base | Icosaedro {3,5} = {3,5+} 1,0 | Octaedro {3,4} = {3,4+} 1,0 | Tetraedro {3,3} = {3,3+} 1,0 |
Imagen | |||
Símbolo | {3,5+} b , c | {3,4+} b , c | {3,3+} b , c |
Vértices | |||
Caras | |||
Bordes |
Construcción
Los poliedros geodésicos se construyen subdividiendo caras de poliedros más simples y luego proyectando los nuevos vértices sobre la superficie de una esfera. Un poliedro geodésico tiene bordes rectos y caras planas que se aproximan a una esfera, pero también se puede hacer como un poliedro esférico (una teselación en una esfera ) con verdaderos bordes curvos geodésicos en la superficie de una esfera y caras de triángulos esféricos .
Conway | u 3 yo = (kt) yo | (k) tI | ktI | |
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Imagen | ||||
Formulario | 3-frecuencia subdividido icosaedro | Kis icosaedro truncado | Poliedro geodésico (3,0) | Poliedro esférico |
En este caso, {3,5+} 3,0 , con frecuencia y número de triangulación , cada una de las cuatro versiones del polígono tiene 92 vértices (80 donde se unen seis aristas y 12 donde se unen cinco), 270 aristas y 180 caras.
Relación con los poliedros de Goldberg
Los poliedros geodésicos son el dual de los poliedros de Goldberg. Los poliedros de Goldberg también están relacionados en que la aplicación de un operador kis (dividir caras de triángulos con un punto central) crea nuevos poliedros geodésicos, y truncar los vértices de un poliedro geodésico crea un nuevo poliedro de Goldberg. Por ejemplo, Goldberg G (2,1) kised , se convierte en {3,5+} 4,1 , y truncando eso se convierte en G (6,3). Y de manera similar, {3,5+} 2,1 truncado se convierte en G (4,1), y ese kised se convierte en {3,5+} 6,3 .
Ejemplos de
Clase I
Frecuencia | (1,0) | (2,0) | (3,0) | (4,0) | (5,0) | (6,0) | (7,0) | (8,0) | ( m , 0) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 49 | 64 | m 2 |
Triángulo de la cara | ... | ||||||||
Icosaédrico | más | ||||||||
Octaédrico | más | ||||||||
Tetraédrico | más |
Clase II
Frecuencia | (1,1) | (2,2) | (3,3) | (4,4) | (5,5) | (6,6) | (7,7) | (8,8) | ( m , m ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 3 | 12 | 27 | 48 | 75 | 108 | 147 | 192 | 3 m 2 |
Triángulo de la cara | ... | ||||||||
Icosaédrico | más | ||||||||
Octaédrico | más | ||||||||
Tetraédrico | más |
Clase III
Frecuencia | (2,1) | (3,1) | (3,2) | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (5,1) | (5,2) | ( m , n ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 7 | 13 | 19 | 21 | 28 | 37 | 31 | 39 | m 2 + mn + n 2 |
Triángulo de la cara | ... | ||||||||
Icosaédrico | más | ||||||||
Octaédrico | más | ||||||||
Tetraédrico | más |
Modelos esféricos
El libro Spherical Models de Magnus Wenninger explora estas subdivisiones en la construcción de modelos poliedros . Después de explicar la construcción de estos modelos, explicó su uso de cuadrículas triangulares para marcar patrones, con triángulos coloreados o excluidos en los modelos. [5]
Un modelo artístico creado por el padre Magnus Wenninger llamado Order in Chaos , que representa un subconjunto quiral de triángulos de una esfera geodésica icosaédrica de 16 frecuencias , {3,5+} 16,0 | Una copia virtual que muestra grandes círculos de simetría icosaédrica . La simetría rotacional de 6 veces es ilusoria, no existe en el propio icosaedro. | Un único triángulo icosaédrico con una subdivisión de 16 frecuencias. |
Ver también
- Notación de poliedro de Conway
Referencias
- ^ Caspar, DLD; Klug, A. (1962). "Principios físicos en la construcción de virus regulares". Arb de resorte frío. Symp. Quant. Biol . 27 : 1-24. doi : 10.1101 / sqb.1962.027.001.005 . PMID 14019094 .
- ^ Coxeter, HSM (1971). "Virus de macromoléculas y domos geodésicos". En Butcher, JC (ed.). Un espectro de matemáticas . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 98-107.
- ^ "Mesh Primitives" , Manual de referencia de Blender, versión 2.77 , consultado el 11 de junio de 2016.
- ^ "¿Cuál es la diferencia entre una Esfera UV y una Icosfera?" . Blender Cambio de la pila .
- ^ Modelos esféricos, págs. 150-159
- Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure: A source book of Design , 1979, págs. 142-144, Figura 4-49,50,51 Cúmulos de 12 esferas, 42 esferas, 92 esferas
- Antony Pugh, Polyhedra: a visual approach , 1976, Chapter 6. Los poliedros geodésicos de R. Buckminster Fuller y poliedros relacionados
- Wenninger, Magnus (1979), Modelos esféricos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29432-4, MR 0552023 , archivado desde el original el 4 de julio de 2008 Reimpreso por Dover 1999 ISBN 978-0-486-40921-4
- Edward S. Popko, Esferas divididas: geodésicas y la subdivisión ordenada de la esfera (2012) Capítulo 8 Esquemas de subdivisión, 8.1 Notación geodésica, 8.2 Número de triangulación 8.3 Frecuencia y armónicos 8.4 Simetría de cuadrícula 8.5 Clase I: Alternos y vados 8.5.1 Definición de Triángulo principal 8.5.2 Puntos de referencia del borde