Rombicosidodecaedro | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Poliedro uniforme sólido de Arquímedes |
Elementos | F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2) |
Caras por lados | 20 {3} +30 {4} +12 {5} |
Notación de Conway | eD o aaD |
Símbolos de Schläfli | rr {5,3} o |
t 0,2 {5,3} | |
Símbolo de Wythoff | 3 5 | 2 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | I h , H 3 , [5,3], (* 532), orden 120 |
Grupo de rotacion | I , [5,3] + , (532), orden 60 |
Ángulo diedro | 3-4: 159 ° 05′41 ″ (159,09 °) 4-5: 148 ° 16′57 ″ (148,28 °) |
Referencias | U 27 , C 30 , W 14 |
Propiedades | semiregular convexa |
Caras coloreadas | 3.4.5.4 ( figura de vértice ) |
Hexecontaedro deltoidal ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el rombicosidodecaedro , es un sólido de Arquímedes uno, de trece convexa isogonal sólidos no prismáticas construidos de dos o más tipos de polígono regular caras .
Tiene 20 caras triangulares regulares , 30 caras cuadradas , 12 caras pentagonales regulares , 60 vértices y 120 aristas .
Nombres
Johannes Kepler en Harmonices Mundi (1618) nombró a este poliedro rombicosidodecaedro , que es la abreviatura de rombo icosidodecaédrico truncado , siendo el rombo icosidodecaédrico su nombre para un triacontaedro rómbico . [1] Hay diferentes truncamientos de un triacontaedro rómbico en un rombicosidodecaedro topológico : de manera prominente su rectificación (izquierda), la que crea el sólido uniforme (centro), y la rectificación del icosidodecaedro dual (derecha), que es el núcleo de el compuesto dual .
También puede denominarse dodecaedro o icosaedro expandido o cantelado , a partir de las operaciones de truncamiento en cualquiera de los poliedros uniformes .
Dimensiones
Para un rombicosidodecaedro con una longitud de borde a , su área de superficie y volumen son:
Relaciones geométricas
Si expande un icosaedro alejando las caras del origen la cantidad correcta, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, y hace lo mismo con su dodecaedro dual , y parche los agujeros cuadrados en el resultado, obtendrá un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de triángulos que un icosaedro y el mismo número de pentágonos que un dodecaedro, con un cuadrado para cada borde de cualquiera.
Alternativamente, si expande cada uno de los cinco cubos moviendo las caras lejos del origen la cantidad correcta y rotando cada uno de los cinco 72 ° alrededor para que sean equidistantes entre sí, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, y parche el agujeros pentagonales y triangulares en el resultado, se obtiene un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de triángulos que un icosaedro y el mismo número de pentágonos que un dodecaedro, con un cuadrado para cada borde de cualquiera.
Dos grupos de caras de la bilunabirotunda , el lunes (cada luna presenta dos triángulos adyacentes a los lados opuestos de un cuadrado), se pueden alinear con un parche congruente de caras en el rombicosidodecaedro. Si dos bilunabirotundae están alineados de esta manera en lados opuestos del rombicosidodecaedro, entonces se puede colocar un cubo entre los bilunabirotundae en el mismo centro del rombicosidodecaedro.
El rombicosidodecaedro comparte la disposición del vértice con el pequeño dodecaedro truncado estrellado y con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrammicos .
Los kits de Zometool para hacer cúpulas geodésicas y otros poliedros utilizan bolas ranuradas como conectores. Las bolas son rombicosidodecaedros "expandidos", con los cuadrados reemplazados por rectángulos. La expansión se elige de modo que los rectángulos resultantes sean rectángulos áureos .
Doce de los 92 sólidos de Johnson se derivan de la rombicosidodecaedro, cuatro de ellos por la rotación de una o más cúpulas pentagonal : la gyrate , parabigyrate , metabigyrate , y Rombicosidodecaedro Trigiroide . Se pueden construir ocho más retirando hasta tres cúpulas, a veces también girando una o más de las otras cúpulas.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un rombicosidodecaedro con una longitud de borde de 2 centradas en el origen son todas permutaciones pares de: [2]
- (± 1, ± 1, ± φ 3 ),
- (± φ 2 , ± φ , ± 2 φ ),
- (± (2+ φ ), 0, ± φ 2 ),
donde φ = 1 + √ 5/2es la proporción áurea . Por lo tanto, el circunradio de este rombicosidodecaedro es la distancia común de estos puntos desde el origen, es decir, √ φ 6 +2 = √ 8φ + 7 para la longitud de la arista 2. Para la longitud de la arista unitaria, R debe dividirse a la mitad, dando
- R = √ 8 φ +7/2 = √ 11 + 4 √ 5/2 ≈ 2.233.
Proyecciones ortogonales
El rombicosidodecaedro tiene seis proyecciones ortogonales especiales , centradas, en un vértice, en dos tipos de aristas y tres tipos de caras: triángulos, cuadrados y pentágonos. Los dos últimos corresponden a los planos Coxeter A 2 y H 2 .
Centrado por | Vértice | Borde 3-4 | Borde 5-4 | Cuadrado de la cara | Triángulo de la cara | Pentágono de cara |
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Sólido | ||||||
Estructura alámbrica | ||||||
Simetría proyectiva | [2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
Imagen dual |
Baldosas esféricas
El rombicosidodecaedro también se puede representar como un mosaico esférico y proyectar en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
Centrado en el Pentágono | Centrado en el triángulo | Centrado en el cuadrado | |
Proyección ortográfica | Proyecciones estereográficas |
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Poliedros relacionados
Familia de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Mutaciones de simetría
Este poliedro está topológicamente relacionado como parte de una secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4), que continúa como teselaciones del plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen (* n32) simetría de reflexión .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones expandidas: 3.4. n. 4 | ||||||||
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Simetría * n 32 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
Figura | ||||||||
Config. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Sólidos de Johnson
Hay 13 sólidos de Johnson relacionados , 5 por disminución y 8 que incluyen giros:
J5 | 76 | 80 | 81 | 83 |
72 | 73 | 74 | 75 |
77 | 78 | 79 | 82 |
Disposición de vértice
El rombicosidodecaedro comparte su disposición de vértice con tres poliedros uniformes no convexos : el pequeño dodecaedro truncado estrellado , el pequeño dodecicosidodecaedro (que tiene las caras triangular y pentagonal en común) y el pequeño rombidodecaedro (que tiene las caras cuadradas en común).
También comparte su disposición de vértices con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrammicos .
Rombicosidodecaedro | Pequeño dodecicosidodecaedro | Pequeño rombidodecaedro |
Pequeño dodecaedro truncado estrellado | Compuesto de seis prismas pentagrammicos | Compuesto de doce prismas pentagrammicos |
Gráfico rombicosidodecaédrico
Gráfico rombicosidodecaédrico | |
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Vértices | 60 |
Bordes | 120 |
Automorfismos | 120 |
Propiedades | Gráfico cuartico , hamiltoniano , regular |
Tabla de gráficos y parámetros |
En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo rombicosidodecaédrico es el gráfico de vértices y aristas del rombicosidodecaedro, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 60 vértices y 120 aristas, y es un gráfico cuartico de Arquímedes . [4]
Ver también
- Rombicosidodecaedro truncado
Notas
- ^ Armonías del mundo de Johannes Kepler, traducido al inglés con una introducción y notas de EJ Aiton , AM Duncan , "JV Field , 1997, ISBN 0-87169-209-0 (página 123)
- ^ Weisstein, Eric W. "Grupo icosaédrico" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Zome" . MathWorld .
- ^ Leer, RC; Wilson, RJ (1998), An Atlas of Graphs , Oxford University Press , pág. 269
Referencias
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79-86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
- The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution : presenta este sólido como la respuesta a un cuestionario de ciencia improvisado que los cuatro personajes principales tienen en el apartamento de Leonard y Sheldon, y también se ilustra enla tarjeta de vanidad de Chuck Lorre # 461 en el final de ese episodio.
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , pequeño rombicosidodecaedro ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Pequeño gráfico de rombicosidodecaedro" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3o5x - srid" .
- Red imprimible editable de un rombicosidodecaedro con vista 3D interactiva
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros