Las matemáticas indias surgieron en el subcontinente indio [1] desde 1200 aC [2] hasta finales del siglo XVIII. En el período clásico de las matemáticas indias (400 d. C. a 1200 d. C.), estudiosos como Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II y Varāhamihira hicieron importantes contribuciones . El sistema numérico decimal que se utiliza hoy en día [3] se registró por primera vez en las matemáticas indias. [4] Los matemáticos indios hicieron contribuciones tempranas al estudio del concepto de cero como un número, [5] números negativos , [6] aritméticay álgebra . [7] Además, la trigonometría [8] se avanzó aún más en la India y, en particular, se desarrollaron allí las definiciones modernas de seno y coseno . [9] Estos conceptos matemáticos se transmitieron a Oriente Medio, China y Europa [7] y dieron lugar a nuevos desarrollos que ahora forman la base de muchas áreas de las matemáticas.
Los trabajos matemáticos indios antiguos y medievales, todos compuestos en sánscrito , por lo general consistían en una sección de sutras en los que se establecían un conjunto de reglas o problemas con gran economía en verso para ayudar a un estudiante a memorizarlos. A esto siguió una segunda sección que consistía en un comentario en prosa (a veces varios comentarios de diferentes eruditos) que explicaba el problema con más detalle y proporcionaba una justificación para la solución. En la sección de prosa, la forma (y por lo tanto su memorización) no se consideró tan importante como las ideas involucradas. [1] [10] Todos los trabajos matemáticos se transmitieron oralmente hasta aproximadamente el 500 a. C.; a partir de entonces, se transmitieron tanto oralmente como en forma manuscrita. El documento matemático existente más antiguo producido en el subcontinente indio es el manuscrito Bakhshali de corteza de abedul , descubierto en 1881 en el pueblo de Bakhshali , cerca de Peshawar (actual Pakistán ) y probablemente del siglo VII d.C. [11] [12]
Un hito posterior en las matemáticas de la India fue el desarrollo de las expansiones de series para funciones trigonométricas (seno, coseno y arco tangente ) por matemáticos de la escuela de Kerala en el siglo XV d.C. Su notable trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas). [13] Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de diferenciación e integración , ni existe ninguna evidencia directa de que sus resultados se transmitan fuera de Kerala . [14] [15] [16] [17]
Prehistoria
Las excavaciones en Harappa , Mohenjo-daro y otros sitios de la civilización del valle del Indo han descubierto evidencia del uso de "matemáticas prácticas". La gente de la Civilización del Valle del Indo fabricaba ladrillos cuyas dimensiones estaban en la proporción 4: 2: 1, consideradas favorables para la estabilidad de una estructura de ladrillos. Utilizaron un sistema estandarizado de pesos basado en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, con la unidad peso equivalente a aproximadamente 28 gramos (y aproximadamente igual a la onza inglesa o la uncia griega). Produjeron pesos en masa en formas geométricas regulares , que incluían hexaedros , barriles , conos y cilindros , demostrando así conocimiento de la geometría básica . [18]
Los habitantes de la civilización del Indo también intentaron estandarizar la medición de la longitud con un alto grado de precisión. Diseñaron una regla, la regla de Mohenjo-daro, cuya unidad de longitud (aproximadamente 1,32 pulgadas o 3,4 centímetros) se dividió en diez partes iguales. Los ladrillos fabricados en el antiguo Mohenjo-daro a menudo tenían dimensiones que eran múltiplos integrales de esta unidad de longitud. [19] [20]
Se ha demostrado que los objetos cilíndricos huecos hechos de concha y encontrados en Lothal (2200 a. C.) y Dholavira tienen la capacidad de medir ángulos en un plano, así como de determinar la posición de las estrellas para la navegación. [21]
Período védico
Samhitas y Brahmanas
Los textos religiosos del período védico proporcionan evidencia del uso de grandes números . En la época del Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 a. C.), se incluían en los textos números tan altos como 10 12 . [2] Por ejemplo, el mantra (recitación sagrada) al final del annahoma ("rito de oblación de alimentos") realizado durante el aśvamedha , y pronunciado justo antes, durante y justo después del amanecer, invoca poderes de diez de de cien a un billón: [2]
Granizo a śata ("cien", 10 2 ), granizo a sahasra ("mil", 10 3 ), granizo a ayuta ("diez mil", 10 4 ), granizo a niyuta ("cien mil", 10 5 ), granizo a prayuta ("millón", 10 6 ), granizo a arbuda ("diez millones", 10 7 ), granizo a nyarbuda ("cien millones", 10 8 ), granizo a samudra ("mil millones", 10 9 , literalmente "océano"), granizo a madhya ("diez mil millones", 10 10 , literalmente "medio"), granizo a anta ("cien mil millones", 10 11 , literalmente, "fin"), granizo a parārdha ("un trillón , " 10 12 lit.," más allá de las partes "), granizo al uṣas (amanecer), granizo al vyuṣṭi (crepúsculo), granizo a udeṣyat (el que va a levantarse), granizo a udyat (el que es saludar ), salve udita (al que acaba de ascender), salve a svarga (el cielo), salve a martya (el mundo), salve a todos. [2]
La solución a la fracción parcial era conocida por la gente de Rigvedic como dice en el purush Sukta (RV 10.90.4):
Con tres cuartos Puruṣa subió: un cuarto de él estaba nuevamente aquí.
El Satapatha Brahmana ( c. Siglo VII a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras. [22]
Śulba Sūtras
Los Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos de los acordes" en sánscrito védico ) (c. 700–400 a. C.) enumeran las reglas para la construcción de altares de fuego de sacrificio. [23] La mayoría de los problemas matemáticos considerados en los Śulba Sūtras surgen de "un solo requisito teológico", [24] el de construir altares de fuego que tienen diferentes formas pero ocupan la misma área. Se requería que los altares estuvieran construidos con cinco capas de ladrillo cocido, con la condición adicional de que cada capa constara de 200 ladrillos y que no hubiera dos capas adyacentes que tuvieran arreglos congruentes de ladrillos. [24]
Según ( Hayashi 2005 , p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya la conocían los antiguos babilonios ".
La cuerda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de un oblongo (rectángulo) produce tanto el flanco ( pārśvamāni ) como el horizontal ( tiryaṇmānī )
producen por separado. " [25]
Dado que el enunciado es un sūtra , está necesariamente comprimido y lo que producen las cuerdas no se elabora, pero el contexto claramente implica las áreas cuadradas construidas en sus longitudes, y así lo habría explicado el maestro al alumno. [25]
Contienen listas de triples pitagóricos , [26] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [27] También contienen declaraciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) acerca de cuadrar el círculo y "rodear el cuadrado". [28]
Baudhayana (c siglo octavo AC.) Compuesto la Baudhayana Sulba Sutra , el más conocido Sulba Sutra , que contiene ejemplos de triples pitagóricos simples, tales como: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) y (12, 35, 37) , [29] , así como un enunciado del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se extiende a lo largo del la diagonal de un cuadrado produce un área que duplica el tamaño del cuadrado original ". [29] También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que los lados vertical y horizontal forman juntos". [29] Baudhayana da una expresión para la raíz cuadrada de dos : [30]
La expresión tiene una precisión de hasta cinco lugares decimales, siendo el valor verdadero 1,41421356 ... [31] Esta expresión es similar en estructura a la expresión que se encuentra en una tablilla mesopotámica [32] del período de la antigua Babilonia (1900-1600 a. C. ): [30]
que expresa √ 2 en el sistema sexagesimal, y que también tiene una precisión de hasta 5 lugares decimales.
Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita c. 1850 BCE [33] "contiene quince triples pitagóricos con entradas bastante grandes, incluyendo (13500, 12709, 18541) que es un triple primitivo, [34] indicando, en particular, que había una comprensión sofisticada sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 AEC. "Dado que estas tablillas son varios siglos anteriores al período de las Sulbasutras, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunas de las triples, es razonable esperar que en la India se hubiera producido una comprensión similar". [35] Dani continúa diciendo:
Como el objetivo principal de las Sulvasutras era describir las construcciones de altares y los principios geométricos involucrados en ellas, el tema de las triples pitagóricas, aunque se hubiera entendido bien, puede que todavía no haya aparecido en las Sulvasutras . La ocurrencia de los triples en las Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento. Dado que, desafortunadamente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca sea posible resolver este problema de manera satisfactoria. [35]
En total, se compusieron tres Sulba Sutras . Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra compuesto por Manava (fl. 750–650 a. C.) y el Apastamba Sulba Sutra , compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra .
- Vyakarana
Un hito importante del período védico fue obra de sánscrito gramático , Pāṇini (c. 520-460 aC). Su gramática incluye el uso temprano de la lógica booleana , del operador nulo y de las gramáticas libres de contexto , e incluye un precursor de la forma Backus-Naur (utilizada en los lenguajes de programación de descripción ). [36] [37]
Pingala (300 a. C. - 200 a. C.)
Entre los eruditos del período posvédico que contribuyeron a las matemáticas, el más notable es Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300-200 a . C.), un teórico de la música que escribió el Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , también Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra). ), un tratado sánscrito sobre prosodia . Hay evidencia de que en su trabajo sobre la enumeración de combinaciones silábicas, Pingala tropezó con el triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales , aunque no tenía conocimiento del teorema binomial en sí. [38] [39] El trabajo de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados maatraameru ). Aunque el sutra de Chandah no ha sobrevivido en su totalidad, sí lo ha hecho un comentario del siglo X de Halāyudha. Halāyudha, que se refiere al triángulo de Pascal como Meru -prastāra (literalmente "la escalera al monte Meru"), dice lo siguiente:
Dibuja un cuadrado. Comenzando en la mitad del cuadrado, dibuje otros dos cuadrados similares debajo de él; debajo de estos dos, otros tres cuadrados, y así sucesivamente. La marca debe comenzar poniendo 1 en el primer cuadrado. Pon 1 en cada uno de los dos cuadrados de la segunda línea. En la tercera línea, ponga 1 en los dos cuadrados de los extremos y, en el cuadrado del medio, la suma de los dígitos de los dos cuadrados que se encuentran encima. En la cuarta línea, ponga 1 en los dos cuadrados de los extremos. En los del medio, ponga la suma de los dígitos en los dos cuadrados arriba de cada uno. Proceda de esta manera. De estas líneas, la segunda da las combinaciones con una sílaba, la tercera las combinaciones con dos sílabas, ... [38]
El texto también indica que Pingala conocía la identidad combinatoria : [39]
- Kātyāyana
Kātyāyana (c. Siglo III a. C.) es notable por ser el último de los matemáticos védicos. Escribió el Katyayana Sulba Sutra , que presentaba mucha geometría , incluido el teorema general de Pitágoras y un cálculo de la raíz cuadrada de 2 correctos con cinco decimales.
Matemáticas jainistas (400 a. C. - 200 d. C.)
Aunque el jainismo es una religión y la filosofía es anterior a su exponente más famoso, el gran Mahaviraswami (siglo VI a. C.), la mayoría de los textos jainistas sobre temas matemáticos se compusieron después del siglo VI a. C. Los matemáticos jainistas son históricamente importantes como vínculos cruciales entre las matemáticas del período védico y las del "período clásico".
Una importante contribución histórica de los matemáticos jainistas radica en liberar a las matemáticas indias de sus limitaciones religiosas y rituales. En particular, su fascinación por la enumeración de números e infinitos muy grandes los llevó a clasificar los números en tres clases: enumerables, innumerables e infinitos . No contentos con una simple noción de infinito, sus textos definen cinco tipos diferentes de infinito: el infinito en una dirección, el infinito en dos direcciones, el infinito en el área, el infinito en todas partes y el infinito perpetuamente. Además, los matemáticos jainistas idearon notaciones para potencias simples (y exponentes) de números como cuadrados y cubos, lo que les permitió definir ecuaciones algebraicas simples ( beejganita samikaran ). Los matemáticos jainistas también fueron aparentemente los primeros en usar la palabra shunya (literalmente vacío en sánscrito ) para referirse a cero. Más de un milenio después, su denominación se convirtió en la palabra inglesa "zero" después de un tortuoso viaje de traducciones y transliteraciones de la India a Europa. (Ver Cero: Etimología ).
Además de Surya Prajnapti , importantes obras jainistas sobre matemáticas incluyeron el Sthananga Sutra (c. 300 a. C. - 200 d. C.); el Anuyogadwara Sutra (c. 200 a. C. - 100 d. C.); y el Satkhandagama (c. siglo II d. C.). Entre los matemáticos jainistas importantes se encontraban Bhadrabahu (muerto en 298 a. C.), autor de dos obras astronómicas, el Bhadrabahavi-Samhita y un comentario sobre el Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (c. 176 a. C.), autor de un texto matemático llamado Tiloyapannati ; y Umasvati (c. 150 a. C.), quien, aunque más conocido por sus influyentes escritos sobre la filosofía y la metafísica jainistas , compuso una obra matemática llamada Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .
Tradición oral
Los matemáticos de la India antigua y medieval eran casi todos pandits sánscritos ( paṇḍita "hombre erudito"), [40] que fueron entrenados en lengua y literatura sánscritas, y poseían "un acervo común de conocimiento en gramática ( vyākaraṇa ), exégesis ( mīmāṃsā ) y lógica ( nyāya ) ". [40] La memorización de "lo que se escucha" ( śruti en sánscrito) a través de la recitación jugó un papel importante en la transmisión de textos sagrados en la antigua India. La memorización y la recitación también se utilizaron para transmitir obras filosóficas y literarias, así como tratados de ritual y gramática. Los eruditos modernos de la antigua India han notado los "logros verdaderamente notables de los panditas indios que han preservado oralmente textos enormemente voluminosos durante milenios". [41]
Estilos de memorización
La antigua cultura india dedicó una energía prodigiosa a garantizar que estos textos se transmitieran de generación en generación con una fidelidad desmesurada. [42] Por ejemplo, la memorización de los sagrados Vedas incluía hasta once formas de recitación del mismo texto. Posteriormente, los textos fueron "revisados" comparando las diferentes versiones recitadas. Las formas de recitación incluían la jaṭā-pāṭha (literalmente "recitación en malla") en la que cada dos palabras adyacentes en el texto se recitaban primero en su orden original, luego se repitieron en el orden inverso y finalmente se repitieron en el orden original. [43] La recitación procedió así:
En otra forma de recitación, dhvaja-pāṭha [43] (literalmente "recitación de la bandera") se recitó (y memorizó) una secuencia de N palabras emparejando las dos primeras y las dos últimas palabras y luego procediendo como:
La forma más compleja de recitación, ghana-pāṭha (literalmente "recitación densa"), según ( Filliozat 2004 , p. 139), tomó la forma:
Que estos métodos han sido efectivos, lo atestigua la preservación del texto religioso indio más antiguo, el Ṛgveda (c. 1500 a. C.), como un solo texto, sin lecturas variantes. [43] Se utilizaron métodos similares para memorizar textos matemáticos, cuya transmisión permaneció exclusivamente oral hasta el final del período védico (c. 500 a. C.).
El género Sutra
La actividad matemática en la antigua India comenzó como parte de una "reflexión metodológica" sobre los Vedas sagrados , que tomó la forma de obras llamadas Vedāṇgas , o "Ancillaries of the Veda" (siglos VII-IV a. C.). [44] La necesidad de conservar el sonido del texto sagrado mediante el uso de śikṣā ( fonética ) y chhandas ( métricas ); conservar su significado mediante el uso de vyākaraṇa ( gramática ) y nirukta ( etimología ); y realizar correctamente los ritos en el momento correcto mediante el uso de kalpa ( ritual ) y jyotiṣa ( astrología ), dio lugar a las seis disciplinas de los Vedāṇgas . [44] Las matemáticas surgieron como parte de las dos últimas disciplinas, el ritual y la astronomía (que también incluía la astrología). Dado que los Vedāṇgas precedieron inmediatamente al uso de la escritura en la antigua India, formaron la última literatura exclusivamente oral. Fueron expresados en una forma mnemotécnica altamente comprimida, el sūtra (literalmente, "hilo"):
Los conocedores del sūtra saben que tiene pocos fonemas, que está desprovisto de ambigüedad, que contiene la esencia, que se enfrenta a todo, que es sin pausa y sin objeciones. [44]
La brevedad extrema se logró a través de múltiples medios, que incluyeron el uso de puntos suspensivos "más allá de la tolerancia del lenguaje natural", [44] usando nombres técnicos en lugar de nombres descriptivos más largos, abreviando listas mencionando solo la primera y última entrada, y usando marcadores y variables. [44] Los sūtras crean la impresión de que la comunicación a través del texto era "solo una parte de toda la instrucción. El resto de la instrucción debe haber sido transmitida por el llamado Guru-shishya parampara , 'sucesión ininterrumpida del maestro ( guru ) para el estudiante ( śisya ), 'y no estaba abierto al público en general' y tal vez incluso se mantuvo en secreto. [45] La brevedad lograda en un sūtra se demuestra en el siguiente ejemplo del Baudhāyana Śulba Sūtra (700 BCE).
El ritual del altar de fuego doméstico en el período védico debía tener una base cuadrada y estar constituido por cinco capas de ladrillos con 21 ladrillos en cada capa. Un método para construir el altar era dividir un lado del cuadrado en tres partes iguales usando una cuerda o soga, para luego dividir el lado transversal (o perpendicular) en siete partes iguales, y así subdividir el cuadrado en 21 rectángulos congruentes. . A continuación, se diseñaron los ladrillos para que tuvieran la forma del rectángulo constituyente y se creó la capa. Para formar la siguiente capa se utilizó la misma fórmula, pero los ladrillos se dispusieron transversalmente. [46] El proceso se repitió tres veces más (con direcciones alternas) para completar la construcción. En el Baudhāyana Śulba Sūtra , este procedimiento se describe con las siguientes palabras:
II.64. Después de dividir el cuadrilátero en siete, se divide el [cordón] transversal en tres.
II.65. En otra capa uno coloca los [ladrillos] apuntando al norte. [46]
Según ( Filliozat 2004 , p. 144), el oficiante que construye el altar solo tiene unas pocas herramientas y materiales a su disposición: una cuerda (sánscrito, rajju , f.), Dos clavijas (sánscrito, śanku , m.) Y arcilla para hacer los ladrillos (sánscrito, iṣṭakā , f.). La concisión se logra en el sūtra , al no mencionar explícitamente lo que califica el adjetivo "transversal"; sin embargo, de la forma femenina del adjetivo (sánscrito) usado, se infiere fácilmente para calificar "cordón". De manera similar, en la segunda estrofa, los "ladrillos" no se mencionan explícitamente, sino que se infieren nuevamente mediante la forma femenina plural de "señalar al norte". Finalmente, la primera estrofa nunca dice explícitamente que la primera capa de ladrillos esté orientada en la dirección Este-Oeste, pero eso también está implícito en la mención explícita de "apuntando al norte" en la segunda estrofa; porque, si la orientación fuera la misma en las dos capas, no se mencionaría en absoluto o solo se mencionaría en la primera estrofa. Todas estas inferencias las hace el oficiante al recordar la fórmula de su memoria. [46]
La tradición escrita: comentario en prosa
Con la creciente complejidad de las matemáticas y otras ciencias exactas, se requirió tanto la escritura como la computación. En consecuencia, muchos trabajos matemáticos comenzaron a escribirse en manuscritos que luego fueron copiados y re-copiados de generación en generación.
En la actualidad, se estima que la India tiene unos treinta millones de manuscritos, el mayor conjunto de material de lectura manuscrita del mundo. La cultura alfabetizada de la ciencia india se remonta al menos al siglo V a. C. ... como lo demuestran los elementos de la literatura y la astronomía de presagio mesopotámico que entraron en la India en ese momento y que definitivamente no ... se conservaron oralmente. [47]
El primer comentario en prosa matemática fue el de la obra, Āryabhaṭīya (escrita en 499 d.C.), una obra sobre astronomía y matemáticas. La parte matemática del Āryabhaṭīya estaba compuesta por 33 sūtras (en forma de verso) que consistían en declaraciones o reglas matemáticas, pero sin ninguna prueba. [48] Sin embargo, según ( Hayashi 2003 , p. 123), "esto no significa necesariamente que sus autores no los hayan probado. Probablemente fue una cuestión de estilo de exposición". Desde la época de Bhaskara I (600 EC en adelante), los comentarios en prosa comenzaron a incluir cada vez más algunas derivaciones ( upapatti ). El comentario de Bhaskara I sobre el Āryabhaṭīya , tenía la siguiente estructura: [48]
- Regla ('sūtra') en verso de Āryabhaṭa
- Comentario de Bhāskara I, que consta de:
- Aclaración de la regla (las derivaciones aún eran raras entonces, pero se hicieron más comunes más tarde)
- Ejemplo ( uddeśaka ) generalmente en verso.
- Configuración ( nyāsa / sthāpanā ) de los datos numéricos.
- Trabajo ( karana ) de la solución.
- Verificación ( pratyayakaraṇa , literalmente "hacer convicción") de la respuesta. Estos se hicieron raros en el siglo XIII, y en ese entonces se favorecieron las derivaciones o pruebas. [48]
Por lo general, para cualquier tema matemático, los estudiantes de la antigua India memorizaron primero los sūtras , que, como se explicó anteriormente, eran "deliberadamente inadecuados" [47] en detalles explicativos (para transmitir concisamente las reglas matemáticas básicas). Luego, los estudiantes trabajaron a través de los temas del comentario en prosa escribiendo (y dibujando diagramas) en pizarras y pizarrones ( es decir, pizarrones cubiertos de polvo). La última actividad, un elemento básico del trabajo matemático, más tarde incitaría al matemático-astrónomo Brahmagupta ( siglo VII d. C.) a caracterizar los cálculos astronómicos como "trabajo en polvo" (sánscrito: dhulikarman ). [49]
Números y sistema numérico decimal
Es bien sabido que el sistema de valor posicional decimal que se usa hoy en día se registró por primera vez en la India, luego se transmitió al mundo islámico y, finalmente, a Europa. [50] El obispo sirio Severus Sebokht escribió a mediados del siglo VII EC sobre los "nueve signos" de los indios para expresar números. [50] Sin embargo, no está tan claro cómo, cuándo y dónde se inventó el primer sistema de valor posicional decimal. [51]
La escritura existente más antigua utilizada en la India fue la escritura Kharoṣṭhī utilizada en la cultura Gandhara del noroeste. Se cree que es de origen arameo y estuvo en uso desde el siglo IV a. C. hasta el siglo IV d. C. Casi al mismo tiempo, otra escritura, la escritura brahmí , apareció en gran parte del subcontinente y más tarde se convertiría en la base de muchas escrituras del sur de Asia y el sudeste asiático. Ambas escrituras tenían símbolos numéricos y sistemas numéricos, que inicialmente no se basaban en un sistema de valor posicional. [52]
La evidencia sobreviviente más antigua de numerales de valor posicional decimal en la India y el sureste de Asia es de mediados del primer milenio EC. [53] Una placa de cobre de Gujarat, India, menciona la fecha 595 EC, escrita en una notación de valor posicional decimal, aunque existen algunas dudas sobre la autenticidad de la placa. [53] También se han encontrado números decimales que registran los años 683 EC en inscripciones en piedra en Indonesia y Camboya, donde la influencia cultural india fue sustancial. [53]
Hay fuentes textuales más antiguas, aunque las copias manuscritas existentes de estos textos son de fechas muy posteriores. [54] Probablemente la primera fuente de este tipo sea la obra del filósofo budista Vasumitra, que data probablemente del siglo I d.C. [54] Al hablar de los pozos de conteo de los comerciantes, Vasumitra comenta: "Cuando [la misma] pieza de conteo de arcilla está en el lugar de las unidades, se denota como uno, cuando en cientos, cien". [54] Aunque tales referencias parecen implicar que sus lectores tenían conocimiento de una representación de valor posicional decimal, "la brevedad de sus alusiones y la ambigüedad de sus fechas, sin embargo, no establecen sólidamente la cronología del desarrollo de este concepto". [54]
Se empleó una tercera representación decimal en una técnica de composición en verso, posteriormente denominada Bhuta-sankhya (literalmente, "números de objeto") utilizada por los primeros autores sánscritos de libros técnicos. [55] Dado que muchas de las primeras obras técnicas se compusieron en verso, los números a menudo estaban representados por objetos del mundo natural o religioso que se corresponden con ellos; esto permitió una correspondencia de varios a uno para cada número y facilitó la composición de versos. [55] Según Plofker 2009 , el número 4, por ejemplo, podría estar representado por la palabra " Veda " (ya que había cuatro de estos textos religiosos), el número 32 por la palabra "dientes" (ya que un juego completo consiste de 32), y el número 1 por "luna" (ya que solo hay una luna). [55] Entonces, Veda / dientes / luna correspondería al número decimal 1324, ya que la convención para los números era enumerar sus dígitos de derecha a izquierda. [55] La referencia más antigua que emplea números de objeto es un c. 269 EC Texto sánscrito, Yavanajātaka (literalmente "horoscopia griega") de Sphujidhvaja, una versificación de una adaptación en prosa india anterior (c. 150 EC) de una obra perdida de astrología helenística. [56] Tal uso parece indicar que a mediados del siglo III d.C., el sistema de valor posicional decimal era familiar, al menos para los lectores de textos astronómicos y astrológicos en la India. [55]
Se ha planteado la hipótesis de que el sistema de valor posicional decimal de la India se basaba en los símbolos utilizados en los tableros de conteo chinos desde mediados del primer milenio antes de nuestra era. [57] Según Plofker 2009 ,
Estos tableros de conteo, como los pozos de conteo de los indios, ..., tenían una estructura de valor posicional decimal ... Los indios bien pueden haber aprendido de estos "números de varilla" de valor posicional decimal de los peregrinos budistas chinos u otros viajeros, o pueden haber el concepto independientemente de su anterior sistema sin valor posicional; ninguna prueba documental sobrevive para confirmar ninguna de las conclusiones ". [57]
Manuscrito Bakhshali
El manuscrito matemático más antiguo existente en la India es el Manuscrito Bakhshali , un manuscrito de corteza de abedul escrito en "sánscrito híbrido budista" [12] en la escritura Śāradā , que se utilizó en la región noroeste del subcontinente indio entre los siglos VIII y XII d. C. [58] El manuscrito fue descubierto en 1881 por un granjero mientras excavaba en un recinto de piedra en la aldea de Bakhshali, cerca de Peshawar (entonces en la India británica y ahora en Pakistán ). De autoría desconocida y ahora conservado en la Biblioteca Bodleian de la Universidad de Oxford , el manuscrito ha sido fechado de diversas formas, a veces desde los "primeros siglos de la era cristiana". [59] El siglo VII d. C. ahora se considera una fecha plausible. [60]
El manuscrito superviviente tiene setenta hojas, algunas de las cuales están fragmentadas. Su contenido matemático consta de reglas y ejemplos, escritos en verso, junto con comentarios en prosa, que incluyen soluciones a los ejemplos. [58] Los temas tratados incluyen aritmética (fracciones, raíces cuadradas, ganancias y pérdidas, interés simple, la regla de tres y regula falsi ) y álgebra (ecuaciones lineales simultáneas y ecuaciones cuadráticas ) y progresiones aritméticas. Además, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". [58] Muchos de sus problemas pertenecen a una categoría conocida como "problemas de ecualización" que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo del Fragmento III-5-3v es el siguiente:
Un comerciante tiene siete asava caballos, una segunda cuenta con nueve Haya caballos, y una tercera tiene diez camellos. Están igualmente bien en el valor de sus animales si cada uno da dos animales, uno a cada uno de los demás. Encuentre el precio de cada animal y el valor total de los animales que posee cada comerciante. [61]
El comentario en prosa que acompaña al ejemplo resuelve el problema convirtiéndolo en tres ecuaciones (subdeterminadas) en cuatro incógnitas y asumiendo que los precios son todos números enteros. [61]
En 2017, la datación por radiocarbono mostró que tres muestras del manuscrito provenían de tres siglos diferentes: 224-383 d.C., 680-779 d.C. y 885-993 d.C. No se sabe cómo llegaron a empaquetarse fragmentos de diferentes siglos. [62] [63] [64]
Período clásico (400-1600)
Este período se conoce a menudo como la edad de oro de las matemáticas indias. En este período, matemáticos como Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama y Nilakantha Somayaji dieron forma más amplia y clara a muchas ramas de las matemáticas. Sus contribuciones se extenderían a Asia, Oriente Medio y, finalmente, a Europa. A diferencia de las matemáticas védicas, sus trabajos incluyeron contribuciones tanto astronómicas como matemáticas. De hecho, las matemáticas de ese período estaban incluidas en la 'ciencia astral' ( jyotiḥśāstra ) y consistían en tres subdisciplinas: ciencias matemáticas ( gaṇita o tantra ), astrología del horóscopo ( horā o jātaka ) y adivinación (saṃhitā). [49] Esta división tripartita se ve en la compilación del siglo VI de Varāhamihira - Pancasiddhantika [65] (literalmente panca , "cinco" , siddhānta , "conclusión de la deliberación", fechada 575 EC ) - de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta y Paitamaha Siddhanta , que fueron adaptaciones de obras aún anteriores de astronomía mesopotámica, griega, egipcia, romana e india. Como se explicó anteriormente, los textos principales se compusieron en verso sánscrito y fueron seguidos por comentarios en prosa. [49]
Siglos V y VI
- Surya Siddhanta
Aunque se desconoce su autoría, el Surya Siddhanta (c. 400) contiene las raíces de la trigonometría moderna . [ cita requerida ] Debido a que contiene muchas palabras de origen extranjero, algunos autores consideran que fue escrito bajo la influencia de Mesopotamia y Grecia. [66] [se necesita una mejor fuente ]
Este texto antiguo usa lo siguiente como funciones trigonométricas por primera vez: [ cita requerida ]
- Seno ( Jya ).
- Coseno ( Kojya ).
- Seno inverso ( Otkram jya ).
También contiene los primeros usos de: [ cita requerida ]
- Tangente .
- Secante .
Matemáticos indios posteriores, como Aryabhata, hicieron referencias a este texto, mientras que las traducciones posteriores al árabe y al latín fueron muy influyentes en Europa y Oriente Medio.
- Calendario Chhedi
Este calendario Chhedi (594) contiene un uso temprano del moderno sistema numérico hindú-árabe de valor posicional que ahora se usa universalmente.
- Aryabhata I
Aryabhata (476-550) escribió el Aryabhatiya. Describió los importantes principios fundamentales de las matemáticas en 332 shlokas . El tratado contenía:
- Ecuaciones cuadráticas
- Trigonometría
- El valor de π , correcto a 4 decimales.
Aryabhata también escribió el Arya Siddhanta , que ahora está perdido. Las contribuciones de Aryabhata incluyen:
Trigonometría:
(Ver también: tabla de seno de Aryabhata )
- Introdujo las funciones trigonométricas .
- Definió el seno ( jya ) como la relación moderna entre medio ángulo y medio acorde.
- Definido el coseno ( kojya ).
- Definido el versine ( utkrama-jya ).
- Definido el seno inverso ( otkram jya ).
- Dio métodos para calcular sus valores numéricos aproximados.
- Contiene las tablas más antiguas de valores de seno, coseno y verseno, en intervalos de 3.75 ° de 0 ° a 90 °, con 4 lugares decimales de precisión.
- Contiene la fórmula trigonométrica sin ( n + 1) x - sin nx = sin nx - sin ( n - 1) x - (1/225) sin nx .
- Trigonometría esférica .
Aritmética:
- Fracciones continuas .
Álgebra:
- Soluciones de ecuaciones cuadráticas simultáneas.
- Soluciones de números enteros de ecuaciones lineales por un método equivalente al método moderno.
- Solución general de la ecuación lineal indeterminada.
Astronomía matemática:
- Cálculos precisos para constantes astronómicas, como:
- Eclipse solar .
- Eclipse lunar .
- La fórmula para la suma de los cubos , que fue un paso importante en el desarrollo del cálculo integral. [67]
- Varahamihira
Varahamihira (505–587) produjo el Pancha Siddhanta ( Los cinco cánones astronómicos ). Hizo importantes contribuciones a la trigonometría, incluidas las tablas de senos y cosenos con 4 lugares decimales de precisión y las siguientes fórmulas que relacionan las funciones de seno y coseno :
Siglos VII y VIII
En el siglo VII, dos campos separados, la aritmética (que incluía la medición ) y el álgebra , comenzaron a surgir en las matemáticas indias. Los dos campos se llamarían más tarde pāṭī-gaṇita (literalmente "matemáticas de algoritmos") y bīja-gaṇita (literalmente "matemáticas de semillas", con "semillas", como las semillas de plantas, que representan incógnitas con el potencial de generar, en este caso, las soluciones de ecuaciones). [68] Brahmagupta , en su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 EC), incluyó dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y amontonamiento de grano). [69] En la última sección, declaró su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : [69]
Teorema de Brahmagupta: si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales que son perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.
El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).
Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, está dada por
donde s , el semiperímetro , dado por
Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: un triángulo con lados racionales y el área racional tiene la forma:
para algunos números racionales y . [70]
El capítulo 18 contenía 103 versos en sánscrito que comenzaban con reglas para operaciones aritméticas que involucraban cero y números negativos [69] y se considera el primer tratamiento sistemático del tema. Las reglas (que incluían y ) eran todos correctos, con una excepción: . [69] Más adelante en el capítulo, dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática :
Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, sume el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, dividido por dos veces el [coeficiente del] cuadrado es el valor. [71]
Esto es equivalente a:
También en el capítulo 18, Brahmagupta pudo avanzar en la búsqueda de soluciones (integrales) de la ecuación de Pell , [72]
dónde es un número entero no cuadrado. Lo hizo al descubrir la siguiente identidad: [72]
Identidad de Brahmagupta: que era una generalización de una identidad anterior de Diofanto : [72] Brahmagupta usó su identidad para probar el siguiente lema: [72]
Lema (Brahmagupta): Si es una solución de y, es una solución de , luego:
- es una solución de
Luego usó este lema para generar infinitas soluciones (integrales) de la ecuación de Pell, dada una solución, y enunciar el siguiente teorema:
Teorema (Brahmagupta): Si la ecuación tiene una solución entera para cualquiera de luego la ecuación de Pell:
también tiene una solución entera. [73]
Brahmagupta en realidad no probó el teorema, sino que elaboró ejemplos utilizando su método. El primer ejemplo que presentó fue: [72]
Ejemplo (Brahmagupta): encontrar números enteros tal que:
En su comentario, Brahmagupta agregó, "una persona que resuelve este problema en un año es un matemático". [72] La solución que proporcionó fue:
- Bhaskara I
Bhaskara I (c. 600–680) amplió el trabajo de Aryabhata en sus libros titulados Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya y Laghu-bhaskariya . Él produjo:
- Soluciones de ecuaciones indeterminadas.
- Una aproximación racional de la función seno .
- Una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin el uso de una tabla, con dos decimales correctos.
Siglos IX al XII
- Virasena
Virasena (siglo VIII) fue un matemático jainista en la corte del rey Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Escribió el Dhavala , un comentario sobre las matemáticas jainistas, que:
- Se ocupa del concepto de ardhaccheda , el número de veces que un número puede reducirse a la mitad y enumera varias reglas relacionadas con esta operación. Esto coincide con el logaritmo binario cuando se aplica a potencias de dos , [74] [75] pero difiere en otros números, asemejándose más al orden 2-ádico .
- El mismo concepto para la base 3 ( trakacheda ) y la base 4 ( caturthacheda ).
Virasena también dio:
- La derivación del volumen de un tronco mediante una especie de procedimiento infinito.
Se cree que gran parte del material matemático en Dhavala se puede atribuir a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra y Bappadeva y la fecha que escribió entre 200 y 600 EC. [75]
- Mahavira
Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka , el último de los matemáticos jainistas notables, vivió en el siglo IX y fue patrocinado por el rey Amoghavarsha de Rashtrakuta. Escribió un libro titulado Ganit Saar Sangraha sobre matemáticas numéricas y también escribió tratados sobre una amplia gama de temas matemáticos. Estos incluyen las matemáticas de:
- Cero
- Cuadrícula
- Cubos
- raíces cuadradas , raíces cúbicas y la serie que se extiende más allá de estas
- Geometria plana
- Geometria solida
- Problemas relacionados con la proyección de sombras.
- Fórmulas derivadas para calcular el área de una elipse y un cuadrilátero dentro de un círculo .
Mahavira también:
- Afirmó que la raíz cuadrada de un número negativo no existía
- Dio la suma de una serie cuyos términos son cuadrados de una progresión aritmética y dio reglas empíricas para el área y el perímetro de una elipse.
- Ecuaciones cúbicas resueltas.
- Ecuaciones cuarticas resueltas.
- Resolví algunas ecuaciones quínticas y polinomios de orden superior .
- Dio las soluciones generales de las ecuaciones polinomiales de orden superior:
- Ecuaciones cuadráticas indeterminadas resueltas.
- Ecuaciones cúbicas indeterminadas resueltas.
- Ecuaciones de orden superior indeterminadas resueltas.
- Shridhara
Shridhara (c. 870-930), que vivía en Bengala , escribió los libros titulados Nav Shatika , Tri Shatika y Pati Ganita . El dio:
- Una buena regla para encontrar el volumen de una esfera .
- La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas .
El Pati Ganita es un trabajo de aritmética y medición . Se ocupa de varias operaciones, que incluyen:
- Operaciones elementales
- Extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
- Fracciones.
- Ocho reglas dadas para operaciones que involucran cero.
- Métodos de suma de diferentes series aritméticas y geométricas, que se convertirían en referencias estándar en trabajos posteriores.
- Manjula
Las ecuaciones diferenciales de Aryabhata fueron elaboradas en el siglo X por Manjula (también Munjala ), quien se dio cuenta de que la expresión [76]
podría expresarse aproximadamente como
Entendió el concepto de diferenciación después de resolver la ecuación diferencial que resultó de sustituir esta expresión en la ecuación diferencial de Aryabhata. [76]
- Aryabhata II
Aryabhata II (c. 920–1000) escribió un comentario sobre Shridhara y un tratado astronómico Maha-Siddhanta . El Maha-Siddhanta tiene 18 capítulos y analiza:
- Matemáticas numéricas ( Ank Ganit ).
- Álgebra.
- Soluciones de ecuaciones indeterminadas ( kuttaka ).
- Shripati
Shripati Mishra (1019-1066) escribió los libros Siddhanta Shekhara , una obra importante sobre astronomía en 19 capítulos, y Ganit Tilaka , un tratado aritmético incompleto en 125 versos basado en una obra de Shridhara. Trabajó principalmente en:
- Permutaciones y combinaciones .
- Solución general de la ecuación lineal indeterminada simultánea.
También fue el autor de Dhikotidakarana , una obra de veinte versos sobre:
- Eclipse solar .
- Eclipse lunar .
El Dhruvamanasa es una obra de 105 versos sobre:
- Calcular longitudes planetarias
- eclipses .
- tránsitos planetarios .
- Nemichandra Siddhanta Chakravati
Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) fue el autor de un tratado matemático titulado Gome-mat Saar .
- Bhaskara II
Bhāskara II (1114-1185) fue un matemático-astrónomo que escribió varios tratados importantes, a saber, Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam y Karan Kautoohal . Varias de sus contribuciones se transmitieron posteriormente a Oriente Medio y Europa. Sus contribuciones incluyen:
Aritmética:
- Cálculo de intereses
- Progresiones aritméticas y geométricas
- Geometria plana
- Geometria solida
- La sombra del gnomon
- Soluciones de combinaciones
- Dio una prueba de que la división por cero es infinito .
Álgebra:
- El reconocimiento de un número positivo que tiene dos raíces cuadradas.
- Surds .
- Operaciones con productos de varias incógnitas.
- Las soluciones de:
- Ecuaciones cuadráticas.
- Ecuaciones cúbicas.
- Ecuaciones cuarticas.
- Ecuaciones con más de una incógnita.
- Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
- La forma general de la ecuación de Pell usando el método chakravala .
- La ecuación cuadrática indeterminada general usando el método chakravala .
- Ecuaciones cúbicas indeterminadas.
- Ecuaciones cuarticas indeterminadas.
- Ecuaciones polinomiales de orden superior indeterminadas.
Geometría:
- Dio una prueba del teorema de Pitágoras .
Cálculo:
- Concebido de cálculo diferencial .
- Descubrió la derivada .
- Descubrió el coeficiente diferencial .
- Diferenciación desarrollada.
- Enunciado el teorema de Rolle , un caso especial del teorema del valor medio (uno de los teoremas más importantes de cálculo y análisis).
- Derivado el diferencial de la función seno.
- Calculado π , correcto hasta cinco lugares decimales.
- Calculó la longitud de la revolución de la Tierra alrededor del Sol con nueve decimales.
Trigonometría:
- Desarrollos de la trigonometría esférica
- Las fórmulas trigonométricas:
Matemáticas de Kerala (1300-1600)
La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, sur de la India e incluía entre sus miembros a: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, los astrónomos de la escuela de Kerala crearon de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Los resultados más importantes, la expansión de series para funciones trigonométricas , se dieron en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha y un comentario sobre este trabajo llamado Tantrasangraha-vakhya de autoría desconocida. Los teoremas se establecieron sin pruebas, pero las pruebas de la serie de seno , coseno y tangente inversa se proporcionaron un siglo después en la obra Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrita en malayalam , por Jyesthadeva . [77]
Su descubrimiento de estas tres importantes expansiones en serie del cálculo —varios siglos antes de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran el cálculo en Europa— fue un logro. Sin embargo, la Escuela de Kerala no inventó el cálculo , [78] porque, si bien fueron capaces de desarrollar expansiones de series de Taylor para las funciones trigonométricas importantes , diferenciación , integración término por término , pruebas de convergencia , métodos iterativos para soluciones de ecuaciones no lineales, y la teoría de que el área bajo una curva es su integral, no desarrollaron ni una teoría de diferenciación o integración , ni el teorema fundamental del cálculo . [79] Los resultados obtenidos por la escuela de Kerala incluyen:
- La serie geométrica (infinita) :[80]
- Una prueba semi-rigurosa (ver la observación de "inducción" a continuación) del resultado: para grandes n . [77]
- El uso intuitivo de la inducción matemática , sin embargo, la hipótesis inductiva no fue formulada ni empleada en las demostraciones. [77]
- Aplicaciones de ideas de (lo que sería) cálculo diferencial e integral para obtener (Taylor-Maclaurin) series infinitas para sen x, cos x y arctan x. [78] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como: [77]
- donde, para r = 1, la serie se reduce a la serie de potencia estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:
- y
- Uso de la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. ( No se utilizó el último método de Leibniz, que utiliza la cuadratura, es decir , el cálculo del área bajo el arco del círculo ). [77]
- Uso de la expansión en serie de para obtener la fórmula de Leibniz para π : [77]
- Una aproximación racional del error para la suma finita de sus series de interés. Por ejemplo, el error,, (para n impar, ei = 1, 2, 3) para la serie:
- Manipulación del término de error para derivar una serie convergente más rápida para : [77]
- Usando la serie mejorada para derivar una expresión racional, [77] 104348/33215 para π corrige hasta nueve lugares decimales, es decir , 3,141592653.
- Uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. [77]
- Un método semi-riguroso (ver el comentario sobre los límites arriba) de diferenciación de algunas funciones trigonométricas. [79] Sin embargo, no formularon la noción de función ni tenían conocimiento de las funciones exponenciales o logarítmicas.
Las obras de la escuela de Kerala fueron escritas por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían " sentado las bases para un sistema completo de fluxiones " y estas obras abundaban " con formas fluxionales y series que no se encuentra en ninguna obra de países extranjeros " . [81]
Sin embargo, los resultados de Whish se descuidaron casi por completo, hasta más de un siglo después, cuando C. Rajagopal y sus asociados volvieron a investigar los descubrimientos de la escuela de Kerala. Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhāṣā dadas en dos artículos, [82] [83] un comentario sobre la prueba de Yuktibhāṣā de la serie del seno y el coseno [84] y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos de el Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, sin y cosine (con traducción al inglés y comentarios). [85] [86]
Narayana Pandit es un matemático del siglo XIV que compuso dos importantes obras matemáticas, un tratado aritmético, Ganita Kaumudi , y un tratado algebraico, Bijganita Vatamsa . Narayana también se piensa que es el autor de un comentario detallado de Bhaskara II 's Lilavati , titulado Karmapradipika (o Karma-Paddhati ). Madhava de Sangamagrama (c. 1340-1425) fue el fundador de la Escuela de Kerala. Aunque es posible que escribió Karana Paddhati, una obra escrita en algún momento entre 1375 y 1475, todo lo que realmente sabemos de su trabajo proviene de trabajos de eruditos posteriores.
Parameshvara (c. 1370-1460) escribió comentarios sobre las obras de Bhaskara I , Aryabhata y Bhaskara II. Su Lilavati Bhasya , un comentario sobre el Lilavati de Bhaskara II , contiene uno de sus descubrimientos importantes: una versión del teorema del valor medio . Nilakantha Somayaji (1444-1544) compuso el Tantra Samgraha (que "generó" un comentario anónimo posterior Tantrasangraha-vyakhya y un comentario adicional con el nombre de Yuktidipaika , escrito en 1501). Elaboró y amplió las contribuciones de Madhava.
Citrabhanu (c. 1530) fue un matemático de Kerala del siglo XVI que dio soluciones enteras a 21 tipos de sistemas de dos ecuaciones algebraicas simultáneas en dos incógnitas. Estos tipos son todos los posibles pares de ecuaciones de las siguientes siete formas:
Para cada caso, Citrabhanu dio una explicación y justificación de su regla, así como un ejemplo. Algunas de sus explicaciones son algebraicas, mientras que otras son geométricas. Jyesthadeva (c. 1500-1575) fue otro miembro de la Escuela de Kerala. Su trabajo clave fue el Yukti-bhāṣā (escrito en malayalam, un idioma regional de Kerala). Jyesthadeva presentó pruebas de la mayoría de los teoremas matemáticos y series infinitas descubiertas anteriormente por Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala.
Cargos de eurocentrismo
Se ha sugerido que las contribuciones indias a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento en la historia moderna y que muchos descubrimientos e invenciones de los matemáticos indios se atribuyen culturalmente en la actualidad a sus homólogos occidentales , como resultado del eurocentrismo . Según la versión de GG Joseph sobre " Etnomatemáticas ":
[Su trabajo] toma en cuenta algunas de las objeciones planteadas sobre la trayectoria eurocéntrica clásica. Es muy probable que la conciencia [de las matemáticas indias y árabes] se vea atenuada con desdeñosos rechazos de su importancia en comparación con las matemáticas griegas. Las contribuciones de otras civilizaciones, principalmente China e India, se perciben como prestatarias de fuentes griegas o como contribuciones menores al desarrollo matemático convencional. Lamentablemente, falta una apertura a los hallazgos de investigaciones más recientes, especialmente en el caso de las matemáticas indias y chinas " [87]
El historiador de las matemáticas, Florian Cajori , sugirió que él y otros "sospechan que Diofanto vio por primera vez el conocimiento algebraico de la India". [88] Sin embargo, también escribió que "es cierto que porciones de las matemáticas hindúes son de origen griego". [89]
Más recientemente, como se discutió en la sección anterior, las series infinitas de cálculo para funciones trigonométricas (redescubiertas por Gregory, Taylor y Maclaurin a fines del siglo XVII) fueron descritas (con pruebas y fórmulas para el error de truncamiento) en India, por matemáticos de la escuela de Kerala , notablemente unos dos siglos antes. Algunos académicos han sugerido recientemente que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial desde Kerala por comerciantes y misioneros jesuitas . [90] Kerala estuvo en contacto continuo con China y Arabia y, desde alrededor de 1500, con Europa. Sin duda, la existencia de vías de comunicación y una cronología adecuada hacen posible dicha transmisión. Sin embargo, no existe evidencia directa a través de manuscritos relevantes de que tal transmisión realmente tuvo lugar. [90] Según David Bressoud , "no hay evidencia de que la obra india en serie fuera conocida más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". [78] [91]
Tanto los eruditos árabes como los indios hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. [79] Sin embargo, como lo hicieron Newton y Leibniz , no "combinaron muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostraron la conexión entre los dos y convirtieron el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos". tener hoy ". [79] Las carreras intelectuales de Newton y Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea el suyo; [79] sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatos de Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, aprendieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes que ahora no conocemos". " [79] Se trata de un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y Magreb . Esta investigación se lleva a cabo, entre otros lugares, en el Centre National de Recherche Scientifique en París. [79]
Ver también
- Shulba Sutras
- Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala
- Surya Siddhanta
- Brahmagupta
- Srinivasa Ramanujan
- Manuscrito de Bakhshali
- Lista de matemáticos indios
- Ciencia y tecnología de la India
- Lógica india
- Astronomía india
- Historia de las matematicas
- Lista de números en escrituras hindúes
Notas
- ↑ a b Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007 , p. 1
- ↑ a b c d ( Hayashi , 2005 , págs. 360–361)
- ^ Ifrah 2000 , pág. 346 : "La medida del genio de la civilización india, a la que debemos nuestro moderno sistema (numérico), es tanto mayor cuanto que fue la única en toda la historia que logró este triunfo. Algunas culturas lo lograron, antes que la India. , al descubrir una o, en el mejor de los casos, dos de las características de esta hazaña intelectual. Pero ninguna de ellas logró reunir en un sistema completo y coherente las condiciones necesarias y suficientes para un sistema numérico con el mismo potencial que el nuestro ".
- ^ Plofker 2009 , págs. 44–47
- ^ Bourbaki 1998 , p. 46: "... nuestro sistema decimal, que (por agencia de los árabes) se deriva de las matemáticas hindúes, donde su uso está atestiguado ya desde los primeros siglos de nuestra era. Cabe señalar además que la concepción del cero como un número y no como un simple símbolo de separación) y su introducción en los cálculos, también cuentan entre la contribución original de los hindúes ".
- ^ Bourbaki 1998 , p. 49: La aritmética moderna fue conocida durante la época medieval como "Modus Indorum" o método de los indios. Leonardo de Pisa escribió que, comparado con el método de los indios, todos los demás métodos son un error. Este método de los indios no es otro que nuestra muy simple aritmética de suma, resta, multiplicación y división. Las reglas para estos cuatro procedimientos simples fueron escritas por primera vez por Brahmagupta durante el siglo VII d.C. Sobre este punto, los hindúes ya son conscientes de la interpretación que deben tener los números negativos en determinados casos (una deuda en un problema comercial, por ejemplo). En los siglos siguientes, como se produce una difusión hacia Occidente (por intermedio de los árabes) de los métodos y resultados de las matemáticas griegas e hindúes, uno se acostumbra más al manejo de estos números, y comienza a tener otras "representaciones" para ellos que son geométricas o dinámicas ".
- ^ a b "álgebra" 2007. Enciclopedia concisa de Britannica . Encyclopædia Britannica Online. 16 de mayo de 2007. Cita: "Ciertamente existía en la India un sistema decimal y posicional completo en el siglo IX d. C., pero muchas de sus ideas centrales se habían transmitido mucho antes de esa época a China y al mundo islámico. Aritmética india, además, desarrolló reglas consistentes y correctas para operar con números positivos y negativos y para tratar el cero como cualquier otro número, incluso en contextos problemáticos como la división. Pasaron varios cientos de años antes de que los matemáticos europeos integraran completamente tales ideas en la disciplina en desarrollo del álgebra ".
- ^ ( Pingree 2003 , p. 45) Cita: "La geometría, y su rama de trigonometría, eran las matemáticas que los astrónomos indios usaban con más frecuencia. Los matemáticos griegos usaban el acorde completo y nunca imaginaron el medio acorde que usamos hoy. El medio acorde se utilizó por primera vez Aryabhata hizo que la trigonometría fuera mucho más simple. De hecho, los astrónomos indios del siglo tercero o cuarto, utilizando una tabla de acordes griega preptolemaica, produjeron tablas de senos y versinos, de las cuales era trivial derivar los cosenos. El sistema de trigonometría, producido en la India, fue transmitido a los árabes a finales del siglo VIII y por ellos, en forma expandida, al Occidente latino y al Oriente bizantino en el siglo XII ".
- ↑ ( Bourbaki 1998 , p. 126): "En cuanto a la trigonometría, los geómetras la desprecian y la abandonan a los topógrafos y astrónomos; son estos últimos ( Aristarchus , Hipparchus , Ptolomeo ) quienes establecen las relaciones fundamentales entre los lados y ángulos de una triángulo rectángulo (plano o esférico) y redactar las primeras tablas (consisten en tablas que dan la cuerda del arco recortada en un ánguloen un círculo de radio r , en otras palabras, el número; la introducción del seno, más fácil de manejar, se debe a los matemáticos hindúes de la Edad Media) ".
- ^ Filliozat 2004 , págs. 140-143
- ^ Hayashi 1995
- ↑ a b Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007 , p. 6
- ^ Stillwell 2004 , p. 173
- ^ Bressoud 2002 , p. 12 Cita: "No hay evidencia de que el trabajo indio en series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX. Gold y Pingree afirman [4] que para cuando estas series fueron redescubiertas en Europa, tenían, para todos los propósitos prácticos, se perdió en la India. Las expansiones del seno, coseno y arco tangente se habían transmitido a través de varias generaciones de discípulos, pero seguían siendo observaciones estériles para las que nadie podía encontrar mucha utilidad ".
- ^ Plofker , 2001 , p. 293 Cita: "No es inusual encontrar en las discusiones sobre las matemáticas indias afirmaciones como que" el concepto de diferenciación se entendió [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X) "[Joseph 1991, 300 ], o que "podemos considerar que Madhava fue el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial "(Bag 1979, 294). ... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencia, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde la costa de Malabar en o después del siglo XV. al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285)) ... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o malayalam) y las matemáticas latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad por completo para ver y comprender lo primero. ak del "descubrimiento del principio del cálculo diferencial" de la India oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de ese contexto trigonométrico específico. . El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, sin mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí "
- ^ Pingree 1992 , p. 562 Cita: "Un ejemplo que puedo darles se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor del 1400 d. C., de la serie de potencia infinita de funciones trigonométricas usando argumentos geométricos y algebraicos. Cuando esto fue descrito por primera vez en inglés por Charles Matthew Whish , en el En la década de 1830, fue anunciado como el descubrimiento del cálculo por parte de los indios. Los historiadores occidentales ignoraron esta afirmación y los logros de Mādhava, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubrió el cálculo, pero más tarde porque ya nadie leyó las Transacciones de la Royal Asiatic Society , en la que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos sánscritos correctamente editados, y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie sin el cálculo; pero muchos historiadores todavía lo encuentran imposible concebir el problema y su solución en términos de otra cosa que no sea el cálculo y proclamar que el cálculo es lo que Mādhava encontró. en este caso, la elegancia y el brillo de las matemáticas de Mādhava se distorsionan al quedar enterradas bajo la solución matemática actual de un problema para el que descubrió una solución alternativa y poderosa ".
- ^ Katz 1995 , pp. 173-174 error de harvnb: objetivos múltiples (2 ×): CITEREFKatz1995 ( ayuda ) Cita: "¿Qué tan cerca estuvieron los eruditos islámicos e indios de inventar el cálculo? Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para encontrar integrales de polinomios en el año 1000 d.C., y evidentemente pudieron encontrar tal fórmula para cualquier polinomio en el que estuvieran interesados. Pero, al parecer, no estaban interesados en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en ninguno de los materiales que se han obtenido Los eruditos indios, por otro lado, fueron en 1600 capaces de usar la fórmula de la suma de ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias al calcular series de potencia para las funciones en las que estaban interesados. calcular los diferenciales de estas funciones. De modo que algunas de las ideas básicas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes de Newton. Sin embargo, no parece que los matemáticos islámicos o indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Al parecer, solo estaban interesados en casos específicos en los que se necesitaban estas ideas. ... Por tanto, no hay peligro de que tengamos que reescribir los textos de historia para eliminar la afirmación de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Ciertamente fueron ellos quienes pudieron combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre ellos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy ".
- ^ Sergent, Bernard (1997), Genèse de l'Inde (en francés), París: Payot, p. 113, ISBN 978-2-228-89116-5
- ^ Coppa, A .; et al. (6 de abril de 2006), "Tradición neolítica temprana de la odontología: las puntas de pedernal fueron sorprendentemente efectivas para perforar el esmalte dental en una población prehistórica", Nature , 440 (7085): 755–6, Bibcode : 2006Natur.440..755C , doi : 10.1038 / 440755a , PMID 16598247 , S2CID 6787162 .
- ^ Bisht, RS (1982), "Excavations at Banawali: 1974–77", en Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan Civilization: A Contemporary Perspective , Nueva Delhi: Oxford y IBH Publishing Co., págs. 113-124
- ^ SR Rao (1992). Arqueología Marina, vol. 3 ,. págs. 61-62. Enlace http://drs.nio.org/drs/bitstream/handle/2264/3082/J_Mar_Archaeol_3_61.pdf?sequence=2
- ^ A. Seidenberg, 1978. El origen de las matemáticas. Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, vol 18.
- ↑ ( Staal, 1999 )
- ↑ a b ( Hayashi 2003 , p. 118)
- ↑ a b ( Hayashi , 2005 , p. 363)
- ^ Los triples pitagóricos son triples de números enteros (a, b, c) con la propiedad: a 2 + b 2 = c 2 . Por lo tanto, 3 2 +4 2 = 5 2 , 8 2 +15 2 = 17 2 , 12 2 +35 2 = 37 2 , etc.
- ^ ( Cooke 2005 , p. 198): "El contenido aritmético de los Śulva Sūtras consiste en reglas para encontrar triples pitagóricos como (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) , y (12, 35, 37) . No es seguro qué uso práctico tenían estas reglas aritméticas. La mejor conjetura es que eran parte de un ritual religioso. Se requería que un hogar hindú tuviera tres fuegos encendidos en tres altares diferentes. tres altares debían tener diferentes formas, pero los tres debían tener la misma área. Estas condiciones llevaron a ciertos problemas "diofánticos", un caso particular de los cuales es la generación de triples pitagóricos, de modo que un entero cuadrado sea igual a la suma de otros dos ".
- ^ ( Cooke 2005 , pp. 199-200): "El requisito de tres altares de áreas iguales pero formas diferentes explicaría el interés en la transformación de áreas. Entre otros problemas de transformación de áreas, los hindúes consideraron en particular el problema de cuadrar el círculo El Bodhayana Sutra establece el problema inverso de construir un círculo igual a un cuadrado dado. La siguiente construcción aproximada se da como solución ... este resultado es solo aproximado. Sin embargo, los autores no hicieron distinción entre los dos resultados. En términos que podemos apreciar, esta construcción da un valor para π de 18 (3 - 2 √ 2 ), que es aproximadamente 3.088 ".
- ↑ a b c ( Joseph 2000 , p. 229)
- ↑ a b ( Cooke , 2005 , p. 200)
- ^ El valor de esta aproximación, 577/408, es el séptimo en una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas 3/2, 7/5, 17/12, ... a √ 2 , cuyos numeradores y denominadores se conocían como " números de lado y diámetro "para los antiguos griegos, y en las matemáticas modernas se denominan números de Pell . Si x / y es un término en esta secuencia de aproximaciones, el siguiente es ( x + 2 y ) / ( x + y ). Estas aproximaciones también pueden derivarse truncando larepresentación de fracción continua de √ 2 .
- ^ Neugebauer, O. y A. Sachs. 1945. Textos matemáticos cuneiformes , New Haven, CT, Yale University Press. pag. 45.
- ^ Departamento de Matemáticas, Universidad de Columbia Británica, The Babylonian presentó Plimpton 322 .
- ^ Tres enteros positivosformar un triple pitagórico primitivo si c 2 = a 2 + b 2 y si el factor común más alto de a, b, c es 1. En el ejemplo particular de Plimpton322, esto significa que 13500 2 +12709 2 = 18541 2 y que los tres los números no tienen ningún factor común. Sin embargo, algunos eruditos han cuestionado la interpretación pitagórica de esta tabla; consulte Plimpton 322 para obtener más detalles.
- ↑ a b ( Dani, 2003 )
- ^ Ingerman, Peter Zilahy (1 de marzo de 1967). " " Pānini-Backus Form "sugirió". Comunicaciones de la ACM . 10 (3): 137. doi : 10.1145 / 363162.363165 . ISSN 0001-0782 . S2CID 52817672 .
- ^ "Panini-Backus" . www.infinityfoundation.com . Consultado el 16 de marzo de 2018 .
- ↑ a b ( Fowler 1996 , p. 11)
- ^ a b ( Singh 1936 , págs. 623–624) error de harv: objetivos múltiples (2x): CITEREFSingh1936 ( ayuda )
- ↑ a b ( Filliozat 2004 , p. 137)
- ↑ ( Pingree 1988 , p. 637)
- ↑ ( Staal 1986 )
- ↑ a b c ( Filliozat 2004 , p. 139)
- ↑ a b c d e ( Filliozat 2004 , págs. 140-141)
- ↑ ( Yano , 2006 , p. 146)
- ↑ a b c ( Filliozat 2004 , págs. 143-144)
- ↑ a b ( Pingree 1988 , p. 638)
- ↑ a b c ( Hayashi 2003 , págs. 122-123)
- ↑ a b c ( Hayashi 2003 , p. 119)
- ↑ a b Plofker , 2007 , p. 395
- ^ Plofker , 2007 , p. 395, Plofker 2009 , págs. 47–48
- ↑ ( Hayashi , 2005 , p. 366)
- ↑ a b c Plofker , 2009 , p. 45
- ↑ a b c d Plofker , 2009 , p. 46
- ↑ a b c d e Plofker , 2009 , p. 47
- ↑ ( Pingree 1978 , p. 494)
- ↑ a b Plofker , 2009 , p. 48
- ↑ a b c ( Hayashi , 2005 , p. 371)
- ↑ ( Datta 1931 , p. 566)
- ↑ ( Hayashi 2005 , p. 371) Cita: "Las fechas propuestas hasta ahora para el trabajo de Bakhshali varían desde el siglo III al XII EC, pero un estudio comparativo realizado recientemente ha mostrado muchas similitudes, particularmente en el estilo de exposición y terminología , entre la obra de Bakhshalī y el comentario de Bhāskara I sobre el Āryabhatīya . Esto parece indicar que ambas obras pertenecen casi al mismo período, aunque esto no niega la posibilidad de que algunas de las reglas y ejemplos en la obra de Bakhshālī datan de períodos anteriores ".
- ^ a b Anton, Howard y Chris Rorres. 2005. Álgebra lineal elemental con aplicaciones. 9ª edición. Nueva York: John Wiley and Sons. 864 páginas. ISBN 0-471-66959-8 .
- ^ Devlin, Hannah (13 de septiembre de 2017). "Mucho ruido y pocas nueces: el texto indio antiguo contiene el primer símbolo cero" . The Guardian . ISSN 0261-3077 . Consultado el 14 de septiembre de 2017 .
- ^ Mason, Robyn (14 de septiembre de 2017). "La Unidad Aceleradora de Radiocarbono de Oxford data del origen registrado más antiguo del símbolo cero" . Escuela de Arqueología de la Universidad de Oxford . Archivado desde el original el 14 de septiembre de 2017 . Consultado el 14 de septiembre de 2017 .
- ^ "La datación por carbono encuentra que el manuscrito de Bakhshali contiene los orígenes más antiguos registrados del símbolo 'cero ' " . Biblioteca Bodleian . 14 de septiembre de 2017 . Consultado el 14 de septiembre de 2017 .
- ^ ( Neugebauer y Pingree (eds.) 1970 )
- ^ Cooke, Roger (1997), "Las matemáticas de los hindúes" , La historia de las matemáticas: un curso breve , Wiley-Interscience, p. 197 , ISBN 978-0-471-18082-1,
La palabra Siddhanta medios que los que se prueba o establezcan . Los Sulva Sutras son de origen hindú, pero los Siddhantas contienen tantas palabras de origen extranjero que sin duda tienen sus raíces en Mesopotamia y Grecia.
- ^ Katz, Victor J. (1995), "Ideas de cálculo en el Islam y la India", Revista de matemáticas , 68 (3): 163-174, doi : 10.2307 / 2691411 , JSTOR 2691411 .
- ↑ ( Hayashi , 2005 , p. 369)
- ↑ a b c d ( Hayashi 2003 , págs. 121-122)
- ↑ ( Stillwell , 2004 , p. 77)
- ^ ( Stillwell 2004 , p. 87)
- ↑ a b c d e f ( Stillwell 2004 , págs. 72–73)
- ^ ( Stillwell 2004 , págs. 74–76)
- ^ Gupta, RC (2000), "Historia de las matemáticas en la India" , en Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu (eds.), Students 'Britannica India: Select essays , Popular Prakashan, p. 329
- ^ a b Singh, AN, Mathematics of Dhavala , Lucknow University, archivado desde el original el 11 de mayo de 2011 , consultado el 31 de julio de 2010
- ↑ a b Joseph (2000), pág. 298–300.
- ↑ a b c d e f g h i ( Roy 1990 )
- ↑ a b c ( Bressoud 2002 )
- ^ a b c d e f g ( Katz 1995 ) error de harv: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFKatz1995 ( ayuda )
- ^ Singh, AN Singh (1936), "Sobre el uso de series en matemáticas hindúes", Osiris , 1 : 606–628, doi : 10.1086 / 368443 , S2CID 144760421 .
- ^ ( Whish 1835 )
- ^ Rajagopal, C .; Rangachari, MS (1949), "Un capítulo olvidado de las matemáticas hindúes", Scripta Mathematica , 15 : 201-209.
- ^ Rajagopal, C .; Rangachari, MS (1951), "Sobre la prueba hindú de la serie de Gregory", Ibid. , 17 : 65–74.
- ^ Rajagopal, C .; Venkataraman, A. (1949), "La serie de potencias del seno y el coseno en las matemáticas hindúes", Revista de la Real Sociedad Asiática de Bengala (Ciencia) , 15 : 1-13.
- ^ Rajagopal, C .; Rangachari, MS (1977), "Sobre una fuente sin explotar de las matemáticas medievales de Kerales", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 18 : 89–102, doi : 10.1007 / BF00348142 (inactivo el 31 de mayo de 2021).Mantenimiento de CS1: DOI inactivo a partir de mayo de 2021 ( enlace )
- ^ Rajagopal, C .; Rangachari, MS (1986), "On Medieval Kerala Mathematics", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 35 (2): 91-99, doi : 10.1007 / BF00357622 , S2CID 121678430 .
- ^ Joseph, GG 1997. "Fundamentos del eurocentrismo en matemáticas". En Etnomatemáticas: Desafío del eurocentrismo en la educación matemática (Eds. Powell, AB et al.). Prensa SUNY. ISBN 0-7914-3352-8 . p.67-68.
- ^ Cajori, Florian (1893), "The Hindoos", A History of Mathematics P 86 , Macmillan & Co.,
En álgebra, probablemente hubo un dar y recibir mutuo [entre Grecia e India]. Sospechamos que Diofanto vio por primera vez el conocimiento algebraico de la India.
- ^ Florian Cajori (2010). " Una historia de las matemáticas elementales - con sugerencias sobre los métodos de enseñanza ". p.94. ISBN 1-4460-2221-8
- ^ a b Almeida, DF; John, JK; Zadorozhnyy, A. (2001), "Matemáticas de Keralese: su posible transmisión a Europa y las consecuencias educativas consiguientes", Journal of Natural Geometry , 20 : 77-104.
- ^ Gold, D .; Pingree, D. (1991), "Un trabajo sánscrito hasta ahora desconocido sobre la derivación de Madhava de la serie de potencias para seno y coseno", Historia Scientiarum , 42 : 49-65.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1998), Elementos de la historia de las matemáticas , Berlín, Heidelberg y Nueva York: Springer-Verlag , 301 páginas, ISBN 978-3-540-64767-6.
- Boyer, CB; Merzback (fwd. Por Isaac Asimov), UC (1991), Historia de las Matemáticas , Nueva York: John Wiley and Sons, 736 páginas, ISBN 978-0-471-54397-8.
- Bressoud, David (2002), "Was Calculus Invented in India?", The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.) , 33 (1): 2-13, doi : 10.2307 / 1558972 , JSTOR 1558972.
- Bronkhorst, Johannes (2001), "Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry", Journal of Indian Philosophy , Springer Holanda, 29 (1–2): 43–80, doi : 10.1023 / A: 1017506118885 , S2CID 115779583.
- Burnett, Charles (2006), "La semántica de los números indios en árabe, griego y latín", Journal of Indian Philosophy , Springer-Netherlands, 34 (1-2): 15-30, doi : 10.1007 / s10781-005-8153 -z , S2CID 170783929.
- Burton, David M. (1997), La historia de las matemáticas: una introducción , The McGraw-Hill Companies, Inc., págs. 193–220.
- Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course , Nueva York: Wiley-Interscience, 632 páginas, ISBN 978-0-471-44459-6.
- Dani, SG (25 de julio de 2003), "Sobre las triples pitagóricas en los Śulvasūtras" (PDF) , Current Science , 85 (2): 219-224.
- Datta, Bibhutibhusan (diciembre de 1931), "Early Literary Evidence of the Use of the Zero in India", The American Mathematical Monthly , 38 (10): 566–572, doi : 10.2307 / 2301384 , JSTOR 2301384.
- Datta, Bibhutibhusan; Singh, Avadesh Narayan (1962), History of Hindu Mathematics: A source book , Bombay: Asia Publishing House.
- De Young, Gregg (1995), "La geometría euclidiana en la tradición matemática de la India islámica", Historia Mathematica , 22 (2): 138-153, doi : 10.1006 / hmat.1995.1014.
- Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) (2007), "math, South Asian" , Encyclopædia Britannica Online : 1–12 , consultado el 18 de mayo de 2007.
- Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), "Matemáticas sánscritas antiguas: una tradición oral y una literatura escrita" , en Chemla, Karine ; Cohen, Robert S .; Renn, Jürgen; et al. (eds.), History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science) , Dordrecht: Springer Netherlands, 254 páginas, págs. 137–157, págs. 360–375, doi : 10.1007 / 1-4020- 2321-9_7 , ISBN 978-1-4020-2320-0.
- Fowler, David (1996), "Función de coeficiente binomial", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 1-17, doi : 10.2307 / 2975209 , JSTOR 2975209.
- Hayashi, Takao (1995), The Bakhshali Manuscript, Un antiguo tratado matemático indio , Groningen: Egbert Forsten, 596 páginas, ISBN 978-90-6980-087-5.
- Hayashi, Takao (1997), "Regla de Aryabhata y tabla de diferencias sinusoidales", Historia Mathematica , 24 (4): 396–406, doi : 10.1006 / hmat.1997.2160.
- Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", en Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Enciclopedia complementaria de la historia y la filosofía de las ciencias matemáticas , 1, págs. 118-130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 páginas, ISBN 978-0-8018-7396-6.
- Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", en Flood, Gavin (ed.), The Blackwell Companion to Hinduism , Oxford: Basil Blackwell, 616 páginas, págs. 360–375, págs. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
- Henderson, David W. (2000), "Square roots in the Sulba Sutras" , en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry , 53, págs. 39-45, Washington DC: Mathematical Association of America Notes, 236 páginas, págs. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.
- Joseph, GG (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics , Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 páginas, ISBN 978-0-691-00659-8.
- Katz, Victor J. (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Revista de matemáticas (Math. Assoc. Amer.) , 68 (3): 163-174, doi : 10.2307 / 2691411 , JSTOR 2691411.
- Katz, Victor J., ed. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 páginas, págs. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
- Keller, Agathe (2005), "Haciendo que los diagramas hablen, en el comentario de Bhāskara I sobre el Aryabhaṭīya " (PDF) , Historia Mathematica , 32 (3): 275–302, doi : 10.1016 / j.hm.2004.09.001.
- Kichenassamy, Satynad (2006), "Regla de Baudhāyana para la cuadratura del círculo", Historia Mathematica , 33 (2): 149–183, doi : 10.1016 / j.hm.2005.05.001.
- Pingree, David (1971), "Sobre el origen griego del modelo planetario indio que emplea un epiciclo doble", Journal of Historical Astronomy , 2 (1): 80–85, Bibcode : 1971JHA ..... 2 ... 80P , doi : 10.1177 / 002182867100200202 , S2CID 118053453.
- Pingree, David (1973), "El origen mesopotámico de la astronomía matemática india temprana", Journal of Historical Astronomy , 4 (1): 1–12, Bibcode : 1973JHA ..... 4 .... 1P , doi : 10.1177 / 002182867300400102 , S2CID 125228353.
- Pingree, David ; Staal, Frits (1988), "Trabajo (s) revisado (s): La fidelidad de la tradición oral y los orígenes de la ciencia por Frits Staal", Revista de la American Oriental Society , 108 (4): 637–638, doi : 10.2307 / 603154 , JSTOR 603154.
- Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis ... 83..554P , doi : 10.1086 / 356288 , JSTOR 234257 , S2CID 68570164
- Pingree, David (2003), "La lógica de la ciencia no occidental: descubrimientos matemáticos en la India medieval" , Daedalus , 132 (4): 45–54, doi : 10.1162 / 001152603771338779 , S2CID 57559157.
- Plofker, Kim (1996), "Un ejemplo del método secante de aproximación iterativa en un texto sánscrito del siglo XV", Historia Mathematica , 23 (3): 246-256, doi : 10.1006 / hmat.1996.0026.
- Plofker, Kim (2001), "El" error "en la" aproximación de la serie de Taylor "de la India al seno", Historia Mathematica , 28 (4): 283-295, doi : 10.1006 / hmat.2001.2331.
- Plofker, K. (2007), "Mathematics of India", en Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 685 páginas, págs. 385–514, págs. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
- Plofker, Kim (2009), Matemáticas en India: 500 a. C. – 1800 d . C. , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6.
- Price, John F. (2000), "Geometría aplicada de los Sulba Sutras" (PDF) , en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry , 53, págs. 46–58, Washington DC: Notas de la Asociación Matemática de América, 236 páginas, págs. 46–58, ISBN 978-0-88385-164-7.
- Roy, Ranjan (1990), "Descubrimiento de la fórmula de la serie para por Leibniz, Gregory y Nilakantha ", Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) , 63 (5): 291–306, doi : 10.2307 / 2690896 , JSTOR 2690896.
- Singh, AN (1936), "Sobre el uso de series en matemáticas hindúes", Osiris , 1 (1): 606–628, doi : 10.1086 / 368443 , JSTOR 301627 , S2CID 144760421
- Staal, Frits (1986), La fidelidad de la tradición oral y los orígenes de la ciencia , Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde, NS 49, 8. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 40 páginas.
- Staal, Frits (1995), "El sánscrito de la ciencia", Journal of Indian Philosophy , Springer Países Bajos, 23 (1): 73–127, doi : 10.1007 / BF01062067 , S2CID 170755274.
- Staal, Frits (1999), "Geometría griega y védica", Journal of Indian Philosophy , 27 (1-2): 105-127, doi : 10.1023 / A: 1004364417713 , S2CID 170894641.
- Staal, Frits (2001), "Squares and oblongs in the Veda", Journal of Indian Philosophy , Springer Holanda, 29 (1–2): 256–272, doi : 10.1023 / A: 1017527129520 , S2CID 170403804.
- Staal, Frits (2006), "Lenguajes artificiales en todas las ciencias y civilizaciones", Journal of Indian Philosophy , Springer Países Bajos, 34 (1): 89–141, doi : 10.1007 / s10781-005-8189-0 , S2CID 170968871.
- Stillwell, John (2004), Matemáticas y su historia , Textos de pregrado en matemáticas (2 ed.), Springer, Berlín y Nueva York, 568 páginas, doi : 10.1007 / 978-1-4684-9281-1 , ISBN 978-0-387-95336-6.
- Thibaut, George (1984) [1875], Mathematics in the Making in Ancient India: reimpresiones de 'Sobre las Sulvasutras' y 'Baudhyayana Sulva-sutra', Calcuta y Delhi: KP Bagchi and Company (orig. Revista de la Sociedad Asiática de Bengala), 133 páginas.
- van der Waerden, BL (1983), Geometría y álgebra en civilizaciones antiguas , Berlín y Nueva York: Springer, 223 páginas, ISBN 978-0-387-12159-8
- van der Waerden, BL (1988), "On the Romaka-Siddhānta", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 38 (1): 1–11, doi : 10.1007 / BF00329976 , S2CID 189788738
- van der Waerden, BL (1988), "Reconstrucción de una tabla griega de acordes", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 38 (1): 23–38, Código Bibliográfico : 1988AHES ... 38 ... 23V , doi : 10.1007 / BF00329978 , S2CID 189793547
- Van Nooten, B. (1993), "Números binarios en la antigüedad india", Journal of Indian Philosophy , Springer Netherlands, 21 (1): 31–50, doi : 10.1007 / BF01092744 , S2CID 171039636
- Whish, Charles (1835), "Sobre la cuadratura hindú del círculo y la serie infinita de la proporción de la circunferencia al diámetro exhibida en los cuatro S'ástras, el Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati y Sadratnamála" , Transacciones de la Real Sociedad Asiática de Gran Bretaña e Irlanda , 3 (3): 509–523, doi : 10.1017 / S0950473700001221 , JSTOR 25581775
- Yano, Michio (2006), "Transmisión oral y escrita de las ciencias exactas en sánscrito", Journal of Indian Philosophy , Springer Holanda, 34 (1-2): 143-160, doi : 10.1007 / s10781-005-8175-6 , S2CID 170679879
Otras lecturas
Libros de consulta en sánscrito
- Keller, Agathe (2006), Exponiendo la semilla matemática. Vol. 1: La traducción: Una traducción de Bhaskara I sobre el capítulo matemático de Aryabhatiya , Basilea, Boston y Berlín: Birkhäuser Verlag, 172 páginas, ISBN 978-3-7643-7291-0.
- Keller, Agathe (2006), Exponiendo la semilla matemática. Vol. 2: Los suplementos: una traducción de Bhaskara I sobre el capítulo matemático de Aryabhatiya , Basilea, Boston y Berlín: Birkhäuser Verlag, 206 páginas, ISBN 978-3-7643-7292-7.
- Neugebauer, Otto ; Pingree, David , eds. (1970), The Pañcasiddhāntikā of Varāhamihira , Nueva edición con traducción y comentario, (2 Vols.), Copenhague.
- Pingree, David , ed. (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja , editado, traducido y comentado por D. Pingree, Cambridge, MA: Harvard Oriental Series 48 (2 vols.).
- Sarma, KV , ed. (1976), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa con el comentario de Sūryadeva Yajvan , editado críticamente con Introducción y Apéndices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
- Sen, SN; Bag, AK, eds. (1983), Los Śulbasūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava , con texto, traducción al inglés y comentarios, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
- Shukla, KS, ed. (1976), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa con el comentario de Bhāskara I y Someśvara , editado críticamente con Introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
- Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , editado críticamente con Introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, en colaboración con KV Sarma , Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
enlaces externos
- Ciencias y Matemáticas en India
- Una descripción general de las matemáticas indias , MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University , 2000.
- Matemáticos indios
- Índice de matemáticas de la India antigua , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews, 2004.
- Matemáticas indias: restableciendo el equilibrio , proyectos de estudiantes en la historia de las matemáticas . Ian Pearce. Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews, 2002.
- Matemáticas indias en En nuestro tiempo en la BBC
- InSIGHT 2009 , un taller sobre ciencias tradicionales de la India para escolares realizado por el departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Anna, Chennai, India.
- Matemáticas en la India antigua por R. Sridharan
- Métodos combinatorios en la India antigua
- Matemáticas antes de S. Ramanujan