La función vectorial de dimensión infinita se refiere a una función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita , como un espacio de Hilbert o un espacio de Banach .
Estas funciones se aplican en la mayoría de las ciencias, incluida la física .
Ejemplo
Colocar para todo entero positivo k y todo número real t . Entonces la función f, definida para números reales t por la fórmula
- ,
toma valores que se encuentran en el espacio vectorial de dimensión infinita X (o) de secuencias con valores reales. Por ejemplo,
A medida que un número de diferentes topologías se puede definir en el espacio X , no podemos hablar de la derivada de f sin definir la topología de X o el concepto de limitación en el X .
Además, para cualquier conjunto A , existen espacios vectoriales de dimensión infinita que tienen la dimensión (Hamel) de la cardinalidad de A (por ejemplo, el espacio de funcionescon un número finito de elementos distintos de cero, donde K es el campo deseado de escalares ). Además, el argumento t podría estar en cualquier conjunto en lugar del conjunto de números reales.
Integral y derivada
Si, por ejemplo, , donde X es un espacio de Banach u otro espacio vectorial topológico , la derivada de f se puede definir de la manera estándar:.
La mensurabilidad de f se puede definir de varias formas, las más importantes de las cuales son la mensurabilidad de Bochner y la mensurabilidad débil .
Las integrales más importantes de f se denominan integral de Bochner (cuando X es un espacio de Banach) e integral de Pettis (cuando X es un espacio vectorial topológico). Ambas integrales conmutan con funcionales lineales . TambiénSe han definido espacios para tales funciones.
La mayoría de los teoremas sobre integración y diferenciación de funciones escalares se pueden generalizar a funciones con valores vectoriales, a menudo utilizando esencialmente las mismas demostraciones. Quizás la excepción más importante es que las funciones absolutamente continuas no necesitan ser iguales a las integrales de sus (ae) derivadas (a menos que, por ejemplo, X sea un espacio de Hilbert); ver el teorema del radón-Nikodym
Derivado
Funciones con valores en un espacio de Hilbert
Si f es una función de números reales con valores en un espacio de Hilbert X , entonces la derivada de f en un punto t se puede definir como en el caso de dimensión finita:
La mayoría de los resultados del caso de dimensión finita también son válidos en el caso de dimensión infinita también, mutatis mutandis. La diferenciación también se puede definir para funciones de varias variables (p. Ej., o incluso , donde Y es un espacio vectorial de dimensión infinita).
NB Si X es un espacio de Hilbert, entonces se puede mostrar fácilmente que cualquier derivada (y cualquier otro límite) se puede calcular por componentes: si
(es decir, , dónde es una base ortonormal del espacio X ), y existe, entonces
- .
Sin embargo, la existencia de una derivada de componentes no garantiza la existencia de una derivada, ya que la convergencia de componentes en un espacio de Hilbert no garantiza la convergencia con respecto a la topología real del espacio de Hilbert.
Otros espacios vectoriales de dimensión infinita
La mayor parte de la bodega anteriormente para otros espacios vectoriales topológicos X también. Sin embargo, no se dan tantos resultados clásicos en la configuración del espacio de Banach , por ejemplo, una función absolutamente continua con valores en un espacio de Banach adecuado no necesita tener una derivada en ninguna parte. Además, en la mayoría de los espacios de Banach no hay bases ortonormales.
Referencias
- Einar Hille y Ralph Phillips: "Análisis funcional y semi grupos", Amer. Matemáticas. Soc. Coloq. Publ. Vol. 31, Providence, RI, 1957.