Función débilmente mensurable

En matemáticas —específicamente en análisis funcional— una función débilmente mensurable que toma valores en un espacio de Banach es una función cuya composición con cualquier elemento del espacio dual es una función mensurable en el sentido usual (fuerte). Para espacios separables , las nociones de mensurabilidad débil y fuerte coinciden.

Definición

Si es un espacio medible y es un espacio de Banach sobre un campo (que son los números reales o números complejos ), entonces se dice que es débilmente medible si, para cada funcional lineal continuo, la función${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$

$${\displaystyle g\circ f\colon X\to \mathbb {K} \quad {\text{ defined by }}\quad x\mapsto g(f(x))}$$

es una función medible con respecto a y el álgebra de Borel habitual en${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Una función medible en un espacio de probabilidad generalmente se denomina variable aleatoria (o vector aleatorio si toma valores en un espacio vectorial como el espacio de Banach ). Por lo tanto, como un caso especial de la definición anterior, si es un espacio de probabilidad, entonces una función se llama variable aleatoria débil ( valorada) (o vector aleatorio débil ) si, para cada funcional lineal continuo, la función${\displaystyle B}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}})}$${\displaystyle Z:\Omega \to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$

$${\displaystyle g\circ Z\colon \Omega \to \mathbb {K} \quad {\text{ defined by }}\quad \omega \mapsto g(Z(\omega ))}$$

es una variable aleatoria valorada (es decir, función medible) en el sentido habitual, con respecto a y el álgebra de Borel habitual en${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Propiedades

La relación entre la medición y la mensurabilidad débil está dada por el siguiente resultado, conocido como Pettis teorema ' o Pettis teorema mensurabilidad .

Se dice que una función se valora casi con seguridad de manera separable (o esencialmente se valora de manera separable ) si existe un subconjunto con tal que sea ​​separable.${\displaystyle f}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle \mu (N)=0}$${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq B}$

Teorema  (Pettis, 1938)  :  una función definida en un espacio de medida y que toma valores en un espacio de Banach es (fuertemente) medible (que equivale ae el límite de una secuencia de funciones medibles con valores contables) si y solo si es débilmente mensurables y casi con seguridad valorados separadamente.${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle B}$

En el caso de que sea ​​separable, dado que cualquier subconjunto de un espacio de Banach separable es separable en sí mismo, se puede tomar arriba como vacío, y se deduce que las nociones de mensurabilidad débil y fuerte concuerdan cuando es separable.${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$

Ver también

• Función medible de Bochner
• Integral de Bochner
• Espacio de Bochner  - Concepto matemático
• Pettis integral
• Medida vectorial

Referencias

• Pettis, BJ (1938). "Sobre la integración en espacios vectoriales" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 44 (2): 277-304. doi : 10.2307 / 1989973 . ISSN  0002-9947 . Señor  1501970 .
• Showalter, Ralph E. (1997). "Teorema III.1.1". Operadores monótonos en el espacio de Banach y ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Estudios y monografías de matemáticas 49. Providence, RI: American Mathematical Society. pag. 103 . ISBN 0-8218-0500-2. Señor  1422252 .