Función inyectiva

En matemáticas , una función inyectiva (también conocida como inyección o función uno a uno ) es una función f que asigna elementos distintos a elementos distintos; es decir, f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) implica x ₁ = x ₂ . En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de a lo sumo un elemento de su dominio . ^[1] El términoLa función uno a uno no debe confundirse con la correspondencia uno a uno que se refiere a funciones biyectivas , que son funciones tales que cada elemento en el codominio es una imagen de exactamente un elemento en el dominio.

Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que es compatible con las operaciones de las estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes y, en particular, para los espacios vectoriales , un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo . Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías , la definición de monomorfismo difiere de la de homomorfismo inyectivo. ^[2] Por lo tanto, este es un teorema de que son equivalentes para estructuras algebraicas; ver Homomorfismo § Monomorfismo para más detalles.

Una función que no es inyectiva a veces se llama muchos a uno. ^[1]${\ estilo de visualización f}$

Sea una función cuyo dominio es un conjunto Se dice que la función es inyectiva siempre que para todos y en si entonces ; es decir, implica Equivalentemente, si entonces${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización X.}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización b}$${\ estilo de visualización X,}$${\ estilo de visualización f (a) = f (b),}$${\ estilo de visualización a = b}$${\ estilo de visualización f (a) = f (b)}$${\ estilo de visualización a = b.}$${\ estilo de visualización a \ neq b,}$${\displaystyle f(a)\neq f(b).}$

De manera más general, cuando y son ambas la línea real, entonces una función inyectiva es aquella cuya gráfica nunca es intersecada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de la línea horizontal . ^[1]${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización Y}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R},}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Las funciones con inversas a la izquierda son siempre inyecciones. Es decir, dado que existe una función tal que para todo${\ estilo de visualización f: X \ a Y,}$${\ estilo de visualización g: Y \ a X}$${\ estilo de visualización x \ en X,}$

Funciones inyectivas. Interpretación esquemática en el plano cartesiano , definida por el mapeo donde el dominio de la función , el rango de la función y denota la imagen de Cada uno en se asigna exactamente a uno único en Las partes rodeadas de los ejes representan conjuntos de dominio y rango, de acuerdo con el estándar diagramas de arriba.${\ estilo de visualización f: X \ a Y,}$${\ estilo de visualización y = f (x),}$ ${\ estilo de visualización X =}$${\ estilo de visualización Y =}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {im} (f)}$${\ estilo de visualización f.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$

No es una función inyectiva. Aquí y son subconjuntos de y son subconjuntos de : para dos regiones donde la función no es inyectiva porque más de un elemento de dominio puede corresponder a un solo elemento de rango. Es decir, es posible que más de un in se asigne al mismo in .${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X,Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$

Haciendo funciones inyectivas. La función anterior puede reducirse a una o más funciones inyectivas (digamos) y mostrarse mediante curvas sólidas (las partes de trazos largos de la curva inicial ya no se asignan). Observe cómo la regla no ha cambiado, solo el dominio y el rango. y son subconjuntos de y son subconjuntos de : para dos regiones en las que la función inicial se puede convertir en inyectiva para que un elemento de dominio se pueda asignar a un solo elemento de rango. Es decir, sólo uno en los mapas a uno en${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}$${\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X,Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$

La composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.