En matemáticas , especialmente en el área de la topología conocida como teoría del nudo , un nudo invertible es un nudo que puede deformarse continuamente sobre sí mismo, pero con su orientación invertida. Un nudo no invertible es cualquier nudo que no tiene esta propiedad. La invertibilidad de un nudo es invariante . Un enlace invertible es el enlace equivalente a un nudo invertible.
Solo hay cinco tipos de simetría de nudos, indicados por quiralidad e invertibilidad: completamente quiral, reversible, positivamente anfiquiral no invertible, negativamente anfiquiral no invertible y completamente anfiquiral invertible. [1]
Fondo
Numero de cruces | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | Secuencia OEIS |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nudos no invertibles | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 33 | 187 | 1144 | 6919 | 38118 | 226581 | 1309875 | A052402 |
Nudos invertibles | 1 | 1 | 2 | 3 | 7 | 20 | 47 | 132 | 365 | 1032 | 3069 | 8854 | 26712 | 78830 | A052403 |
Se sabe desde hace mucho tiempo que la mayoría de los nudos simples, como el nudo de trébol y el nudo en forma de ocho, son invertibles. En 1962 Ralph Fox conjeturó que algunos nudos eran no invertibles, pero no se probó que existieran nudos no invertibles hasta que Hale Trotter descubrió una familia infinita de nudos de pretzel que no eran invertibles en 1963. [2] Ahora se sabe casi todos los nudos son no invertibles. [3]
Nudos invertibles
Se sabe que todos los nudos con un número de cruce de 7 o menos son invertibles. No se conoce ningún método general que pueda distinguir si un nudo dado es invertible. [4] El problema se puede traducir a términos algebraicos, [5] pero desafortunadamente no existe un algoritmo conocido para resolver este problema algebraico.
Si un nudo es invertible y anfiquiral , es completamente anfiquiral. El nudo más simple con esta propiedad es el nudo en forma de ocho. Un nudo quiral que es invertible se clasifica como un nudo reversible. [6]
Nudos fuertemente invertibles
Una forma más abstracta de definir un nudo invertible es decir que hay un homeomorfismo que conserva la orientación de la 3-esfera que toma el nudo hacia sí mismo pero invierte la orientación a lo largo del nudo. Al imponer la condición más fuerte de que el homeomorfismo también sea una involución , es decir, que tenga un período 2 en el grupo de homeomorfismo de la 3-esfera, llegamos a la definición de un nudo fuertemente invertible . Todos los nudos con el túnel número uno, como el nudo de trébol y el nudo en forma de ocho , son fuertemente invertibles. [7]
Nudos no invertibles
El ejemplo más simple de un nudo no invertible es el nudo 8 17 (notación de Alexander-Briggs) o .2.2 ( notación de Conway ). El nudo pretzel 7, 5, 3 no es invertible, como lo son todos los nudos de pretzel de la forma (2 p + 1), (2 q + 1), (2 r + 1), donde p , q , y r son enteros distintos, que es la familia infinita que Trotter ha demostrado que no es invertible. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), "Los primeros 1,701,936 nudos" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi : 10.1007 / BF03025227 , MR 1646740 , archivado desde el original (PDF) en 2013-12 -15.
- ^ a b Trotter, HF (1963), "Existen nudos no invertibles", Topología , 2 : 275–280, doi : 10.1016 / 0040-9383 (63) 90011-9 , MR 0158395.
- ^ Murasugi, Kunio (2007), Teoría de los nudos y sus aplicaciones , Springer, p. 45, ISBN 9780817647186.
- ^ Weisstein, Eric W. "Nudo invertible" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.
- ^ Kuperberg, Greg (1996), "Detección de la invertibilidad del nudo", Journal of Knot Theory y sus ramificaciones , 5 (2): 173–181, arXiv : q-alg / 9712048 , doi : 10.1142 / S021821659600014X , MR 1395778.
- ^ Clark, W. Edwin; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico; Yeatman, Timothy (2013), Quandle colorantes de nudos y aplicaciones , arXiv : 1312.3307 , Bibcode : 2013arXiv1312.3307C.
- ^ Morimoto, Kanji (1995), "Hay nudos cuyos números de túnel descienden bajo suma conectada", Proceedings of the American Mathematical Society , 123 (11): 3527–3532, doi : 10.1090 / S0002-9939-1995-1317043-4 , JSTOR 2161103 , MR 1317043. Ver en particular el Lema 5.
enlaces externos
- Jablan, Slavik y Sazdanovic, Radmila. Teoría básica de grafos: nudo y eslabones no invertibles , LinKnot .
- Explicación con un video , Nrich.Maths.org .