En matemáticas , el concepto de irreductibilidad se utiliza de varias formas.
- Un polinomio sobre un campo puede ser un polinomio irreducible si no se puede factorizar sobre ese campo.
- En álgebra abstracta , irreducible puede ser una abreviatura de elemento irreducible de un dominio integral ; por ejemplo, un polinomio irreducible .
- En la teoría de la representación , una representación irreductible es una representación no trivial sin subrepresentaciones propias no triviales. De manera similar, un módulo irreducible es otro nombre para un módulo simple .
- Absolutamente irreductible es un término que se aplica para significar irreductible , incluso después de cualquier extensión finita del campo de coeficientes. Se aplica en diversas situaciones, por ejemplo, a la irreductibilidad de una representación lineal o de una variedad algebraica ; donde significa lo mismo que irreductible sobre un cierre algebraico .
- En álgebra conmutativa , un anillo conmutativo R es irreducible si su espectro principal , es decir, el espacio topológico Spec R , es un espacio topológico irreducible .
- Una matriz es irreducible si no es similar a través de una permutación a una matriz triangular superior de bloque (que tiene más de un bloque de tamaño positivo). (Reemplazando entradas distintas de cero en la matriz por una, y viendo la matriz como la matriz de adyacencia de un gráfico dirigido , la matriz es irreducible si y solo si dicho gráfico dirigido está fuertemente conectado ) . Aquí se da una definición detallada .
- Además, una cadena de Markov es irreductible si existe una probabilidad distinta de cero de transición (incluso si es en más de un paso) de cualquier estado a cualquier otro estado.
- En la teoría de colectores , un n -manifold es irreducible si cualquier incorporado ( n - 1) -sphere Bounds un incrustado n -ball. Implícito en esta definición está el uso de una categoría adecuada , como la categoría de variedades diferenciables o la categoría de variedades lineales por partes. Las nociones de irreductibilidad en álgebra y teoría de variedades están relacionadas. Un n- múltiple se llama primo , si no se puede escribir como una suma conectada de dos n- múltiple (ninguno de los cuales es una n- esfera). Por tanto, una variedad irreductible es prima, aunque lo contrario no se cumple. Desde la perspectiva de un algebrista, las variedades primarias deberían llamarse "irreductibles"; sin embargo, el topólogo (en particular el topólogo de tres variedades ) encuentra más útil la definición anterior. Los únicos 3 colectores compactos conectados que son primos pero no irreductibles son el paquete trivial de 2 esferas sobre S 1 y el paquete retorcido de 2 esferas sobre S 1 . Consulte, por ejemplo, Descomposición principal (3 distribuidores) .
- Un espacio topológico es irreductible si no es la unión de dos subconjuntos cerrados adecuados. Esta noción se utiliza en geometría algebraica , donde los espacios están equipados con la topología de Zariski ; no tiene mucha importancia para los espacios de Hausdorff . Véase también componente irreducible , variedad algebraica .
- En álgebra universal , irreducible puede referirse a la incapacidad de representar una estructura algebraica como una composición de estructuras más simples usando una construcción de producto; por ejemplo, subdirectamente irreductible .
- A 3-colector es P²-irreducible si es irreducible y no contiene 2 caras ( plano proyectivo real ).
- Una fracción irreducible (o fracción en términos mínimos) es una fracción vulgar en la que el numerador y el denominador son más pequeños que los de cualquier otra fracción equivalente.