En geometría , las líneas centrales son ciertas líneas rectas especiales que se encuentran en el plano de un triángulo . La propiedad especial que distingue una línea recta como una línea central se manifiesta a través de la ecuación de la línea en coordenadas trilineales . Esta propiedad especial también está relacionada con el concepto de centro del triángulo . El concepto de vía central fue introducido por Clark Kimberling en un artículo publicado en 1994. [1] [2]
Definición
Sea ABC un triángulo plano y sean ( x : y : z ) las coordenadas trilineales de un punto arbitrario en el plano del triángulo ABC .
Una línea recta en el plano del triángulo ABC cuya ecuación en coordenadas trilineales tiene la forma
- f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0
donde el punto con coordenadas trilineales ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )) es un centro de triángulo, es una línea central en el plano del triángulo ABC relativo al triángulo ABC . [2] [3] [4]
Líneas centrales como polares trilineales
La relación geométrica entre una línea central y su centro de triángulo asociado se puede expresar utilizando los conceptos de polares trilineales y conjugados isogonales .
Sea X = ( u ( a , b , c ): v ( a , b , c ): w ( a , b , c )) un centro de triángulo. La recta cuya ecuación es
- x / u ( a , b , c ) + y / v ( a , b , c ) y + z / w ( a , b , c ) = 0
es la trilineal polar del centro triángulo X . [2] [5] También el punto Y = (1 / u ( a , b , c ): 1 / v ( a , b , c ): 1 / w ( a , b , c )) es el conjugado isogonal de el centro del triángulo X .
Así, la línea central dada por la ecuación
- f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0
es el polar trilineal del conjugado isogonal del centro del triángulo ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )).
Construcción de líneas centrales
Sea X cualquier centro triangular del triángulo ABC .
- Dibuja las líneas AX , BX y CX y sus reflejos en las bisectrices internas de los ángulos en los vértices A , B , C respectivamente.
- Las líneas reflejadas son concurrentes y el punto de concurrencia es el conjugado isogonal Y de X .
- Deje que los cevianos AY , BY , CY se encuentren con las líneas laterales opuestas del triángulo ABC en A ' , B' , C ' respectivamente. El triángulo A ' B ' C 'es el triángulo ceviano de Y .
- El triángulo ABC y el triángulo ceviano A ' B ' C 'están en perspectiva y deje que DEF sea el eje de la perspectiva de los dos triángulos. La línea DEF es la trilineal polar del punto Y . La línea DEF es la línea central asociado con el centro del triángulo X .
Algunas líneas centrales nombradas
Sea X n el n- ésimo centro del triángulo en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling . La línea central asociada con X n se denota por L n . Algunas de las líneas centrales nombradas se dan a continuación.
Línea central asociada con X 1 , el incentro: Eje antiortico
La línea central asociada con el incentro X 1 = (1: 1: 1) (también denotado por I ) es
- x + y + z = 0.
Esta línea es el eje antiortico del triángulo ABC . [6]
- El conjugado isogonal del incentro de un triángulo ABC es el incentro mismo. Entonces el eje antiortico, que es la línea central asociada con el incentro, es el eje de la perspectividad del triángulo ABC y su triángulo incentral (el triángulo ceviano del incentro del triángulo ABC ).
- El eje antiórtico del triángulo ABC es el eje de la perspectiva del triángulo ABC y el triángulo excentral I 1 I 2 I 3 del triángulo ABC . [7]
- El triángulo cuyas líneas laterales son externamente tangentes a los excirculos del triángulo ABC es el triángulo extangents del triángulo ABC . Un triángulo ABC y su triángulo extangente están en perspectiva y el eje de la perspectividad es el eje antiortico del triángulo ABC .
Línea central asociada con X 2 , el centroide: eje de Lemoine
Las coordenadas trilineales del centroide X 2 (también denotado por G ) del triángulo ABC son (1 / a : 1 / b : 1 / c ). Entonces, la línea central asociada con el centroide es la línea cuya ecuación trilineal es
- x / a + y / b + z / c = 0.
Esta línea es el eje de Lemoine , también llamada línea de Lemoine , del triángulo ABC .
- El conjugado isogonal del centroide X 2 es el punto simmediano X 6 (también denotado por K ) que tiene coordenadas trilineales ( a : b : c ). Entonces, el eje de Lemoine del triángulo ABC es el polar trilineal del punto simmediano del triángulo ABC .
- El triángulo tangencial del triángulo ABC es el triángulo T A T B T C formado por las tangentes a la circunferencia del triángulo ABC en sus vértices. El triángulo ABC y su triángulo tangencial están en perspectiva y el eje de la perspectiva es el eje de Lemoine del triángulo ABC .
Línea central asociada con X 3 , el circuncentro: eje órtico
Las coordenadas trilineales del circuncentro X 3 (también denotado por O ) del triángulo ABC son (cos A : cos B : cos C ). Entonces, la línea central asociada con el circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es
- x cos A + y cos B + z cos C = 0.
Esta línea es el eje órtico del triángulo ABC . [8]
- El conjugado isogonal del circuncentro X 6 es el ortocentro X 4 (también denotado por H ) que tiene coordenadas trilineales (sec A : sec B : sec C ). Entonces, el eje órtico del triángulo ABC es el polar trilineal del ortocentro del triángulo ABC . El eje órtico de triángulo ABC es el eje de perspectivity de triángulo ABC y su triángulo órtico H A H B H C .
Línea central asociada con X 4 , el ortocentro
Las coordenadas trilineales del ortocentro X 4 (también denotado por H ) del triángulo ABC son (sec A : sec B : sec C ). Entonces, la línea central asociada con el circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es
- x seg A + y seg B + z seg C = 0.
- El conjugado isogonal del ortocentro de un triángulo es el circuncentro del triángulo. Entonces, la línea central asociada con el ortocentro es el polar trilineal del circuncentro.
Línea central asociada con X 5 , el centro de nueve puntos
Las coordenadas trilineales del centro de nueve puntos X 5 (también denotado por N ) del triángulo ABC son (cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B )). [9] Entonces, la línea central asociada con el centro de nueve puntos es la línea cuya ecuación trilineal es
- x cos ( B - C ) + y cos ( C - A ) + z cos ( A - B ) = 0.
- El conjugado isogonal del centro de nueve puntos del triángulo ABC es el punto Kosnita X 54 del triángulo ABC . [10] [11] Entonces, la línea central asociada con el centro de nueve puntos es el polar trilineal del punto Kosnita.
- El punto de Kosnita se construye de la siguiente manera. Sea O el circuncentro del triángulo ABC . Sean O A , O B , O C los circuncentros de los triángulos BOC , COA , AOB respectivamente. Las líneas AO A , BO B , CO C son concurrentes y el punto de concurrencia es el punto Kosnita del triángulo ABC . El nombre se debe a J Rigby. [12]
Línea central asociada con X 6 , el punto simbólico: Línea en el infinito
Las coordenadas trilineales del punto simmediano X 6 (también denotado por K ) del triángulo ABC son ( a : b : c ). Entonces, la línea central asociada con el punto simmediano es la línea cuya ecuación trilineal es
- una x + segundo y + c z = 0.
- Esta línea es la línea del infinito en el plano del triángulo ABC .
- El conjugado isogonal del punto simmediano del triángulo ABC es el centroide del triángulo ABC . Por tanto, la línea central asociada con el punto simmediano es el polar trilineal del centroide. Este es el eje de la perspectividad del triángulo ABC y su triángulo medial .
Algunas líneas centrales más nombradas
Línea Euler
La línea de Euler del triángulo ABC es la línea que pasa por el centroide, el circuncentro, el ortocentro y el centro de nueve puntos del triángulo ABC . La ecuación trilineal de la línea de Euler es
- x sin 2 A sin ( B - C ) + y sin 2 B sin ( C - A ) + z sin 2 C sin ( C - A ) = 0.
Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X 647 .
Línea Nagel
La línea de Nagel del triángulo ABC es la línea que pasa por el centroide, el incentro, el centro de Spieker y el punto de Nagel del triángulo ABC . La ecuación trilineal de la línea de Nagel es
- x una ( segundo - do ) + y segundo ( do - una ) + z do ( una - segundo ) = 0.
Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X 649 .
Eje de Brocard
El eje de Brocard del triángulo ABC es la línea que pasa por el circuncentro y el punto simmediano del triángulo ABC . Su ecuación trilineal es
- x sin ( B - C ) + y sin ( C - A ) + z sin ( A - B ) = 0.
Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X 523 .
Ver también
Referencias
- ^ Kimberling, Clark (junio de 1994). "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo". Revista de Matemáticas . 67 (3): 163–187. doi : 10.2307 / 2690608 .
- ^ a b c Kimberling, Clark (1998). Centros de triángulos y triángulos centrales . Winnipeg, Canadá: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. p. 285.
- ^ Weisstein, Eric W. "Línea central" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 24 de junio de 2012 .
- ^ Kimberling, Clark. "Glosario: enciclopedia de centros triangulares" . Archivado desde el original el 23 de abril de 2012 . Consultado el 24 de junio de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Trilinear Polar" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 28 de junio de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Eje Antiorthic" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 28 de junio de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Eje Antiorthic" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 26 de junio de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Orthic Axis" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram .
- ^ Weisstein, Eric W. "Centro de nueve puntos" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 29 de junio de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Kosnita Point" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 29 de junio de 2012 .
- ^ Darij Grinberg (2003). "En el punto de Kosnita y el triángulo de reflexión" (PDF) . Foro Geometricorum . 3 : 105-111 . Consultado el 29 de junio de 2012 .
- ^ J. Rigby (1997). "Breves notas sobre algunos teoremas geométricos olvidados". Matemáticas e informática trimestral . 7 : 156-158.