En matemáticas, el álgebra de Iwasawa Λ ( G ) de un grupo profinito G es una variación del anillo de grupo de G con coeficientes p -ádicos que tienen en cuenta la topología de G. Más precisamente, Λ ( G ) es el límite inverso de la anillos de grupo Z p ( G / H ) como H corre a través de las abiertas subgrupos normales de G . Las álgebras conmutativas de Iwasawa fueron introducidas por Iwasawa ( 1959) en su estudio de las extensiones de Z p en la teoría de Iwasawa , y las álgebras de Iwasawa no conmutativas de grupos analíticos compactos p -ádicos fueron introducidas por Lazard (1965) .
Iwasawa álgebra de los enteros p -ádicos
En el caso especial cuando el grupo profinita G es isomorfo al grupo aditivo del anillo de p -enteros ádicos Z p , el álgebra de Iwasawa Λ ( G ) es isomorfo al anillo de la serie formal de potencias Z p [[ T ]] en una variable sobre Z p . El isomorfismo se da mediante la identificación de 1 + T con un generador de topológica de G . Este anillo es un anillo local regular noetheriano completo bidimensional y, en particular, un dominio de factorización único .
Se deduce del teorema de preparación de Weierstrass para series de potencias formales sobre un anillo local completo que los ideales principales de este anillo son los siguientes:
- Altura 0: el ideal cero.
- Altura 1: el ideal ( p ) y los ideales generados por polinomios distinguidos irreductibles (polinomios con coeficiente 1 principal y todos los demás coeficientes divisibles por p ).
- Altura 2: el ideal máximo ( p , T ).
Módulos finamente generados
El rango de un módulo generado de forma finita es el número de veces que el módulo Z p [[ T ]] aparece en él. Esto está bien definido y es aditivo para secuencias breves y exactas de módulos generados finitamente. El rango de un módulo generado finitamente es cero si y solo si el módulo es un módulo de torsión, lo que ocurre si y solo si el soporte tiene una dimensión como máximo 1.
Muchos de los módulos sobre este álgebra que ocurren en la teoría de Iwasawa son módulos de torsión generados finitamente. La estructura de dichos módulos se puede describir como sigue. Un cuasi-isomorfismo de módulos es un homomorfismo cuyo núcleo y cokernel son ambos grupos finitos, en otras palabras módulos con soporte ya sea vacío o con el ideal primo de altura 2. Para cualquier módulo de torsión generado de forma finita hay un cuasi-isomorfismo a una suma finita de módulos de la forma Z p [[ T ]] / ( f n ) donde f es un generador de un ideal primo de altura 1. Además, el número de veces que ocurre cualquier módulo Z p [[ T ]] / ( f ) en el módulo está bien definido y es independiente de la serie de composición. Por tanto, el módulo de torsión tiene una serie de potencia característica , una serie de potencia formal dada por el producto de la serie de potencia f n , que se define unívocamente hasta la multiplicación por una unidad. El ideal generado por la serie de potencia característica se denomina ideal característico del módulo Iwasawa. De manera más general, cualquier generador del ideal característico se denomina serie de potencia característica.
El invariante μ de un módulo de torsión generado finitamente es el número de veces que el módulo Z p [[ T ]] / ( p ) aparece en él. Este invariante es aditivo en secuencias breves exactas de módulos de torsión generados finitamente (aunque no es aditivo en secuencias breves exactas de módulos generados finitamente). Se desvanece si y solo si el módulo de torsión generado finitamente se genera finitamente como un módulo sobre el subanillo Z p . El invariante λ es la suma de los grados de los polinomios distinguidos que ocurren. En otras palabras, si el módulo es pseudoisomórfico para
donde los f j son polinomios distinguidos, entonces
y
En términos de la serie de potencias características, el invariante μ es el mínimo de las valoraciones ( p -ádicas) de los coeficientes y el invariante λ es la potencia de T en la que ese mínimo ocurre primero.
Si el rango, el invariante μ y el invariante λ de un módulo generado finitamente desaparecen, el módulo es finito (y viceversa); en otras palabras, su grupo abeliano subyacente es un grupo p abeliano finito . Estos son los módulos generados de forma finita cuyo soporte tiene dimensión como máximo 0. Dichos módulos son artinianos y tienen una longitud bien definida, que es finita y aditiva en secuencias cortas y exactas.
Teorema de iwasawa
Escriba ν n para el elemento 1 + γ + γ 2 + ... + γ p n –1 donde γ es un generador topológico de Γ. Iwasawa ( 1959 ) mostró que si X es un módulo de torsión generado finitamente sobre el álgebra de Iwasawa y X / ν n X tiene orden p e n entonces
para n suficientemente grande, donde μ, λ y c dependen solo de X y no de n . El argumento original de Iwasawa era ad hoc, y Serre (1958) señaló que el resultado de Iwasawa podía deducirse de los resultados estándar sobre la estructura de módulos sobre anillos noetherianos integralmente cerrados, como el álgebra de Iwasawa.
En particular, esto se aplica al caso en el que e n es la mayor potencia de p dividiendo el orden del grupo de clases ideal del campo ciclotómico generado por las raíces de la unidad de orden p n +1 . El teorema de Ferrero-Washington establece que μ = 0 en este caso.
Álgebras de Iwasawa de rango superior y no conmutativas
Las álgebras de Iwasawa más generales tienen la forma
donde G es un grupo de Lie compacto p -ádico. El caso anterior corresponde a. Una clasificación de módulos sobre hasta pseudo-isomorfismo es posible en caso de [1]
Para G no conmutativo ,-los módulos se clasifican hasta los denominados módulos pseudo-nulos. [2]
Referencias
- ^ Bourbaki, Nicolas (1972), Álgebra conmutativa , París: Hermann, Teoremas 4, 5, §VII.4.4.
- ^ Coates, John; Schneider, Peter; Sujatha, Ramdorai (2003), "Módulos sobre álgebras de Iwasawa", J. Inst. Matemáticas. Jussieu , 2 (1): 73–108, arXiv : math / 0110342 , doi : 10.1017 / S1474748003000045 , Zbl 1061.11060
- Ardakov, K .; Brown, KA (2006), "Propiedades de la teoría de anillos de las álgebras de Iwasawa: una encuesta" , Documenta Mathematica : 7–33, arXiv : math / 0511345 , Bibcode : 2005math ..... 11345A , ISSN 1431-0635 , MR 2290583
- Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-extensions of algebraic number fields", Bulletin of the American Mathematical Society , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN 0002 -9904 , MR 0124316
- Lazard, Michel (1965), "Groupes analytiques p-adiques" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 26 (26): 389–603, ISSN 1618-1913 , MR 0209286
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), "Capítulo 5", Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (1ª ed.), Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001
- Serre, Jean-Pierre (1958), "Classes des corps cyclotomiques (d'après K. Iwasawa) Exp.174", Séminaire Bourbaki, vol. 5 , París: Société Mathématique de France , págs. 83–93, MR 1603459