En geometría diferencial , una métrica de Kähler-Einstein en una variedad compleja es una métrica de Riemann que es a la vez una métrica de Kähler y una métrica de Einstein . Se dice que una variedad es Kähler-Einstein si admite una métrica de Kähler-Einstein. El caso especial más importante de estos son las variedades Calabi-Yau , que son Kähler y Ricci-flat .
El problema más importante para esta área es la existencia de métricas de Kähler-Einstein para variedades compactas de Kähler. Este problema se puede dividir en tres casos dependiendo del signo de la primera clase Chern de la variedad Kähler:
- Cuando la primera clase de Chern es negativa, Aubin y Yau demostraron que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein.
- Cuando la primera clase de Chern es cero, Yau demostró la conjetura de Calabi de que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein. Shing-Tung Yau fue galardonado con su medalla Fields debido a este trabajo. Eso lleva al nombre de variedades Calabi-Yau.
- El tercer caso, el caso positivo o Fano, es el más difícil. En este caso, hay una obstrucción no trivial a la existencia. En 2012, Chen, Donaldson y Sun demostraron que en este caso la existencia es equivalente a un criterio algebro-geométrico llamado K-estabilidad . Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society. [1] [2] [3]
Cuando la primera clase de Chern no es definida, o tenemos una dimensión de Kodaira intermedia, entonces encontrar la métrica canónica permanece como un problema abierto, lo que se denomina conjetura de Algebrización a través del Programa Analítico de Modelo Mínimo.
Definición
Variedades de Einstein
Suponer es una variedad de Riemann . En física, las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales en el tensor métrico que describen cómo el colector debe curvarse debido a la existencia de masa o energía, una cantidad encapsulada por el tensor esfuerzo-energía . En un vacío donde no hay masa ni energía, es decir, las ecuaciones de campo de Einstein se simplifican. A saber, la curvatura de Ricci de es simétrico -tensor, como es la métrica sí mismo, y las ecuaciones se reducen a
para una función suave . Es decir, la curvatura de Ricci se vuelve proporcional a la métrica. Una variedad de Riemannresolver la ecuación anterior se llama variedad de Einstein .
Se puede probar usando las identidades de Bianchi que el funcionamiento suave, si existe, es automáticamente una función constante .
Colectores Kähler
Cuando la variedad de Riemann es también una variedad compleja , es decir, viene con una estructura casi compleja integrable , es posible solicitar una compatibilidad entre la estructura métrica y la compleja estructura . Hay muchas formas equivalentes de formular esta condición de compatibilidad, y una interpretación sucinta es preguntar que, dónde es la conexión Levi-Civita de la métrica. Un triplese llama variedad de Kähler .
Métricas de Kähler-Einstein
Una variedad Kähler-Einstein es aquella que combina las propiedades anteriores de ser Kähler y admitir una métrica de Einstein. La combinación de estas propiedades implica una simplificación de la ecuación de Einstein en términos de estructura compleja. Es decir, en una variedad de Kähler se puede definir la forma de Ricci , una-forma , por la expresión
dónde son campos vectoriales tangentes a.
La estructura casi compleja efectivo ser antisimétrico, y la condición de compatibilidad combinado con la identidad Bianchi implica que es una forma diferencial cerrada . Asociado a la métrica de Riemannes la forma de Kähler definido por una expresión similar . Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein para se puede reescribir como
la ecuación de Kähler-Einstein.
Dado que se trata de una igualdad de formas diferenciales cerradas, implica una igualdad de las clases de cohomología de De Rham asociadas. y . La primera clase es la primera clase Chern de, . Por lo tanto, una condición necesaria para la existencia de una solución a la ecuación de Kähler-Einstein es que, para algunos . Esta es una condición topológica necesaria en el colector Kähler.
Tenga en cuenta que desde la curvatura de Ricci es invariante bajo escala , si hay una métrica tal que , siempre se puede normalizar a una nueva métrica con , es decir . Por lo tanto, la ecuación de Kähler-Einstein se escribe a menudo
dependiendo del signo de la constante topológica .
Transformación de la ecuación en una ecuación compleja de Monge-Ampere
La situación de las variedades compactas de Kähler es especial, porque la ecuación de Kähler-Einstein se puede reformular como una ecuación compleja de Monge-Ampere para un potencial de Kähler suave en. [4] Supongamos que existe una métrica de Kähler. Entonces la forma Ricci de viene dado en coordenadas locales por la fórmula
Por suposición y están en la misma clase de cohomología, por lo que -lema de la teoría de Hodge implica que existe una función suave tal que .
Cualquier otra métrica está relacionado con por un potencial de Kähler tal que . Entonces se sigue que si es la forma de Ricci con respecto a , luego
Así para hacer Necesitamos encontrar tal que
Esto ciertamente será cierto si se prueba la misma ecuación después de eliminar las derivadas. , y de hecho esta es una ecuación equivalente por el -lema hasta cambiar por la adición de una función constante. En particular, después de eliminary exponenciando, la ecuación se transforma en la ecuación compleja de Monge-Ampere
Esta ecuación diferencial parcial es similar a las ecuaciones de Monge-Ampere y se puede estudiar utilizando herramientas del análisis convexo . Su comportamiento es muy sensible al signo de la constante topológica..
Existencia
El problema de existencia para las métricas de Kähler-Einstein se puede dividir en tres casos distintos, dependiendo del signo de la constante topológica . Desde la forma de Kähleres siempre una forma diferencial positiva , el signo de depende de si la clase de cohomología es positivo, negativo o cero. En geometría algebraica esto se entiende en términos del paquete canónico de: si y solo si el paquete canónico es un paquete de líneas amplio , y si y solo si es amplio. Si es un paquete de líneas trivial, entonces . Cuando el colector de Kähler es compacto , el problema de la existencia se ha resuelto por completo.
El caso
Cuando el colector Kähler satisface la suposición topológica , el paquete canónico es amplio y, por lo tanto, debe ser negativo. Si se satisface la suposición topológica necesaria, existe una métrica de Kähler tal que , luego Aubin y Yau demostraron que siempre existe un Kähler-Einstein. [5] [6] La existencia de una métrica de Kähler que satisface el supuesto topológico es una consecuencia de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi .
Teorema (Aubin, Yau): Un colector compacto de Kähler con siempre admite una métrica de Kähler-Einstein.
El caso
Cuando el paquete canónico es trivial, por lo que , se dice que el múltiple es Calabi-Yau . Estas variedades son de especial importancia en física, donde deberían aparecer como el trasfondo de cuerdas en la teoría de supercuerdas en 10 dimensiones. Matemáticamente, esto corresponde al caso donde, es decir, cuando la variedad riemanniana es Ricci piso .
La existencia de una métrica de Kähler-Einstein fue probada en este caso por Yau, utilizando un método de continuidad similar al caso donde . [7] El supuesto de suposición topológicaintroduce nuevas dificultades en el método de la continuidad, y por su prueba de existencia, y la prueba relacionada de la conjetura de Calabi , Yau recibió la medalla Fields .
Teorema (Yau): una variedad de Kähler compacta con un paquete canónico trivial, una variedad de Calabi-Yau, siempre admite una métrica de Kähler-Einstein y, en particular, admite una métrica plana de Ricci.
El caso
Cuando el paquete anticanónico es amplio, o equivalentemente , se dice que el colector es Fano. En contraste con el caso, en este caso no siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. Se observó por Akito Futaki que hay posibles obstrucciones a la existencia de una solución dada por los campos de vectores holomórficas de, y es una condición necesaria que el invariante de Futaki de estos campos vectoriales no sea negativo. [8] De hecho, mucho antes Matsushima y Lichnerowicz habían observado que otra condición necesaria es que el álgebra de Lie de los campos vectoriales holomórficosdebe ser reductivo . [9] [10]
Yau conjeturó en 1993, en analogía con el problema similar de existencia de métricas de Hermite-Einstein en paquetes de vectores holomórficos , que la obstrucción a la existencia de una métrica de Kähler-Einstein debería ser equivalente a una cierta condición de estabilidad algebro-geométrica similar a estabilidad de la pendiente de los haces de vectores. [11] En 1997, Tian Gang propuso una posible condición de estabilidad, que llegó a conocerse como K-estabilidad . [12]
La conjetura de Yau fue resuelta en 2012 por Chen - Donaldson - Sun utilizando técnicas muy diferentes del método clásico de continuidad del caso., [1] [2] [3] y al mismo tiempo por Tian. [13] [14] Chen-Donaldson-Sun han cuestionado la prueba de Tian, alegando que contiene inexactitudes matemáticas y material que debería atribuirse a ellos. [a] Tian ha disputado estas afirmaciones. [b] El premio Veblen 2019 fue otorgado a Chen – Donaldson – Sun por su prueba. [15] Donaldson fue galardonado con el Premio Breakthrough 2015 en Matemáticas en parte por su contribución a la prueba, [16] y el Premio Breakthrough 2021 New Horizons fue otorgado a Sun en parte por su contribución. [17]
Teorema (Chen – Donaldson – Sun): un colector Fano compacto admite una métrica de Kähler-Einstein si y solo si el par es K-poliestable.
Una prueba basada en la línea del método de continuidad que resolvió el caso. más tarde fue proporcionada por Datar-Székelyhidi, y ahora se conocen varias otras pruebas. [18] [19] Ver la conjetura de Yau – Tian – Donaldson para más detalles.
El flujo de Kähler-Ricci y el programa de modelo mínimo
Un programa central en geometría biracional es el programa de modelo mínimo , que busca generar modelos de variedades algebraicas dentro de cada clase de biracionalidad, que en cierto sentido son mínimos , generalmente porque minimizan ciertas medidas de complejidad (como el género aritmético en el caso de curvas). En dimensiones más altas, se busca un modelo mínimo que tiene nef haz canónica . Una forma de construir modelos mínimos es contraer ciertas curvas dentro de una variedad algebraica que tienen auto-intersección negativa. Estas curvas deben considerarse geométricamente como subvariedades en las que tiene una concentración de curvatura negativa.
En este sentido, el programa del modelo mínimo puede verse como una analogía del flujo de Ricci en geometría diferencial, donde las regiones donde la curvatura se concentra se expanden o contraen para reducir la variedad Riemanniana original a una con curvatura uniforme (precisamente, a una nueva Variedad de Riemann que tiene una curvatura de Ricci uniforme, es decir, una variedad de Einstein). En el caso de 3 variedades, Grigori Perelman lo utilizó para probar la conjetura de Poincaré .
En el entorno de los colectores Kähler, Cao anotó por primera vez el flujo Kähler-Ricci . [20] Aquí se corrige una métrica de Kähler con forma de Ricci y estudia el flujo geométrico para una familia de métricas de Kähler. parametrizado por :
Cuando una variedad proyectiva es de tipo general , el modelo mínimoadmite una mayor simplificación de un modelo canónico , con amplio paquete canónico. En entornos donde solo hay singularidades leves ( orbifold ) en este modelo canónico, es posible preguntarse si el flujo de Kähler-Ricci de converge a una métrica de Kähler-Einstein (posiblemente levemente singular) en , que debería existir por el resultado de la existencia de Yau y Aubin para .
Cascini y La Nave, [21] y aproximadamente al mismo tiempo Tian – Zhang demostraron un resultado preciso en este sentido . [22]
Teorema: el flujo de Kähler-Ricci en una variedad proyectiva de tipo general existe para todo el tiempo, y como mucho después de un número finito de formaciones de singularidad, si el modelo canónico de tiene en el peor de los casos singularidades orbifold, entonces el flujo de Kähler-Ricci en converge a la métrica de Kähler-Einstein en , hasta una función acotada que se aleja suavemente de una subvariedad analítica de .
En el caso de que la variedad es de dimensión dos, por lo que es una superficie de tipo general, se obtiene convergencia a la métrica de Kähler-Einstein en .
Más tarde, Jian Song y Tian estudiaron el caso donde la variedad proyectiva tiene singularidades log-terminal. [23]
Flujo de Kähler-Ricci y existencia de métricas de Kähler-Einstein
Es posible dar una prueba alternativa del teorema de Chen-Donaldson-Sun sobre la existencia de métricas de Kähler-Einstein en una variedad de Fano suave utilizando el flujo de Kähler-Ricci, y esto fue llevado a cabo en 2018 por Chen-Sun-Wang. [24] Es decir, si la variedad de Fano es K-poliestable, entonces el flujo de Kähler-Ricci existe para siempre y converge a una métrica de Kähler-Einstein en la variedad de Fano.
Generalizaciones y nociones alternativas
Métricas de Kähler de curvatura escalar constante
Cuando el paquete canónico no es trivial, amplio o anti-amplio, no es posible pedir una métrica de Kähler-Einstein, ya que la clase no puede contener una métrica de Kähler, por lo que nunca se puede satisfacer la condición topológica necesaria. Esto se sigue del teorema de incrustación de Kodaira .
Una generalización natural de la ecuación de Kähler-Einstein a la configuración más general de una variedad de Kähler compacta arbitraria es preguntar que la métrica de Kähler tiene una curvatura escalar constante (se dice que la métrica es cscK ). La curvatura escalar es la traza total del tensor de curvatura de Riemann , una función suave en la variedad, y en el caso de Kähler, la condición de que la curvatura escalar sea constante admite una transformación en una ecuación similar a la ecuación compleja de Monge-Ampere de la configuración de Kähler-Einstein. Muchas técnicas del caso de Kähler-Einstein continúan con la configuración cscK, aunque con mayor dificultad, y se conjetura que una condición de estabilidad algebro-geométrica similar debería implicar la existencia de soluciones a la ecuación en esta configuración más general.
Cuando la variedad compacta de Kähler satisface los supuestos topológicos necesarios para que la condición de Kähler-Einstein tenga sentido, la ecuación de Kähler de curvatura escalar constante se reduce a la ecuación de Kähler-Einstein.
Métricas de Hermite-Einstein
En lugar de preguntar la curvatura de Ricci de la conexión Levi-Civita en el haz tangente de una variedad de Kähleres proporcional a la métrica en sí, se puede hacer esta pregunta sobre la curvatura de una conexión de Chern asociada a una métrica hermitiana en cualquier paquete de vectores holomórficos sobre(tenga en cuenta que la conexión Levi-Civita en el haz tangente holomórfico es precisamente la conexión Chern de la métrica hermitiana que proviene de la estructura de Kähler). La ecuación resultante se llama ecuación de Hermite-Einstein, y es de especial importancia en la teoría de gauge , donde aparece como un caso especial de las ecuaciones de Yang-Mills , que provienen de la teoría cuántica de campos , en contraste con las ecuaciones regulares de Einstein que vienen de la relatividad general .
En el caso en el que el paquete de vectores holomórficos es nuevamente el paquete tangente holomórfico y la métrica hermitiana es la métrica de Kähler, la ecuación de Hermite-Einstein se reduce a la ecuación de Kähler-Einstein. Sin embargo, en general, la geometría de la variedad de Kähler es a menudo fija y solo se permite que varíe la métrica del haz, y esto hace que la ecuación de Hermite-Einstein sea más fácil de estudiar que la ecuación de Kähler-Einstein en general. En particular, una caracterización algebro-geométrica completa de la existencia de soluciones viene dada por la correspondencia Kobayashi-Hitchin .
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