Ecuaciones de campo de Einstein

Field equations in general relativity

Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Lente gravitacional Ondas gravitacionales Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Calabozo Tiempo espacial Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismos ADM BSSN Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica
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Para la ecuación E = mc ² , consulte Equivalencia masa-energía .

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En la teoría general de la relatividad, las ecuaciones de campo de Einstein ( EFE ; también conocidas como ecuaciones de Einstein ) relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de la materia dentro de él. ^[1]

Las ecuaciones fueron publicadas por primera vez por Einstein en 1915 en forma de una ecuación tensorial ^[2] que relacionaba lacurvatura del espacio-tiempo (expresada por eltensor de Einstein) con la energía local, elmomentoy la tensión dentro de ese espacio-tiempo (expresada por eltensor de tensión-energía). ^[3]

De manera análoga a la forma en que los campos electromagnéticos se relacionan con la distribución de cargas y corrientes a través de las ecuaciones de Maxwell , los EFE relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa-energía, momento y tensión, es decir, determinan el tensor métrico del espacio-tiempo para un dada la disposición de tensión-energía-momento en el espacio-tiempo. La relación entre el tensor métrico y el tensor de Einstein permite que el EFE se escriba como un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales cuando se usa de esta manera. Las soluciones del EFE son los componentes del tensor métrico. El inercialLas trayectorias de partículas y radiación ( geodésicas ) en la geometría resultante se calculan utilizando la ecuación geodésica .

Además de implicar la conservación de la energía local-momento, el EFE se reduce a la ley de gravitación de Newton en el límite de un campo gravitacional débil y velocidades que son mucho menores que la velocidad de la luz . ^[4]

Las soluciones exactas para el EFE solo se pueden encontrar bajo supuestos simplificadores como la simetría . Las clases especiales de soluciones exactas se estudian con mayor frecuencia, ya que modelan muchos fenómenos gravitacionales, como los agujeros negros en rotación y el universo en expansión . Se logra una mayor simplificación al aproximar el espaciotiempo que tiene solo pequeñas desviaciones del espaciotiempo plano , lo que conduce al EFE linealizado . Estas ecuaciones se utilizan para estudiar fenómenos como las ondas gravitacionales .

Forma matemática

Parte de una serie sobre
Tiempo espacial
Relatividad especial Relatividad general
Conceptos del espacio-tiempo Colector espacio-tiempo Principio de equivalencia Transformaciones de Lorentz Espacio Minkowski
Relatividad general Introducción a la relatividad general Matemáticas de la relatividad general Ecuaciones de campo de Einstein
Gravedad clásica Introducción a la gravitación Ley de Newton de la gravitación universal
Matemáticas relevantes Cuatro vectores Derivaciones de la relatividad Diagramas de espacio-tiempo Geometría diferencial Espacio-tiempo curvo Matemáticas de la relatividad general Topología del espacio-tiempo
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Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) se pueden escribir en la forma: ^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

EFE en una pared en Leiden

donde G _μν es el tensor de Einstein , g _μν es el tensor métrico , T _μν es el tensor de tensión-energía , Λ es la constante cosmológica y κ es la constante gravitacional de Einstein.

El tensor de Einstein se define como

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

donde R _μν es el tensor de curvatura de Ricci y R es la curvatura escalar . Este es un tensor simétrico de segundo grado que depende solo del tensor métrico y sus derivadas primera y segunda.

La constante gravitacional de Einstein se define como ^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.077\times 10^{-43}N^{-1},}$

donde G es la constante de Newton de la gravitación y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Por tanto, el EFE también se puede escribir como

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

En unidades estándar, cada término de la izquierda tiene unidades de 1 / longitud ² .

La expresión de la izquierda representa la curvatura del espacio-tiempo determinada por la métrica; la expresión de la derecha representa el contenido de tensión-energía-momento del espacio-tiempo. El EFE puede interpretarse entonces como un conjunto de ecuaciones que dictan cómo el estrés-energía-momento determina la curvatura del espacio-tiempo.

Estas ecuaciones, junto con la ecuación geodésica , ^[8] que dicta cómo la materia en caída libre se mueve a través del espacio-tiempo, forman el núcleo de la formulación matemática de la relatividad general .

El EFE es una ecuación tensorial que relaciona un conjunto de tensores simétricos de 4 × 4 . Cada tensor tiene 10 componentes independientes. Las cuatro identidades de Bianchi reducen el número de ecuaciones independientes de 10 a 6, dejando la métrica con cuatro grados de libertad de fijación de calibre , que corresponden a la libertad de elegir un sistema de coordenadas.

Aunque las ecuaciones de campo de Einstein se formularon inicialmente en el contexto de una teoría de cuatro dimensiones, algunos teóricos han explorado sus consecuencias en n dimensiones. ^[9] Las ecuaciones en contextos fuera de la relatividad general todavía se conocen como ecuaciones de campo de Einstein. Las ecuaciones de campo de vacío (obtenidas cuando T _μν es cero en todas partes) definen las variedades de Einstein .

Las ecuaciones son más complejas de lo que parecen. Dada una distribución especificada de materia y energía en forma de tensor esfuerzo-energía, los EFE se entienden como ecuaciones para el tensor métrico g _μν , ya que tanto el tensor de Ricci como la curvatura escalar dependen de la métrica de una manera no lineal complicada. Cuando están completamente escritos, los EFE son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales hiperbólico-elípticas acopladas, no lineales . ^[10]

Convención de signos

La forma anterior de EFE es el estándar establecido por Misner, Thorne y Wheeler (MTW). ^[11] Los autores analizaron las convenciones que existen y las clasificaron según tres signos ([S1] [S2] [S3]):

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$

El tercer signo anterior está relacionado con la elección de la convención para el tensor de Ricci:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$

Con estas definiciones , Misner, Thorne y Wheeler se clasifican a sí mismos como (+ + +) , mientras que Weinberg (1972) ^[12] es (+ - -) , Peebles (1980) ^[13] y Efstathiou et al. (1990) ^[14] son (- + +) , Rindler (1977), ^{[ cita requerida ]} Atwater (1974), ^{[ cita requerida ]} Collins Martin & Squires (1989) ^[15] y Peacock (1999) ^[16] son (- + -) .

Los autores, incluido Einstein, han utilizado un signo diferente en su definición para el tensor de Ricci, lo que da como resultado que el signo de la constante en el lado derecho sea negativo:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$

El signo del término cosmológico cambiaría en ambas versiones si se usa la convención de signos métricos (+ - - -) en lugar de la convención de signos métricos MTW (- + + +) adoptada aquí.

Formulaciones equivalentes

Tomando la traza con respecto a la métrica de ambos lados del EFE se obtiene

${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$

donde D es la dimensión del espacio-tiempo. Resolviendo para R y sustituyendo esto en el EFE original, se obtiene la siguiente forma equivalente de "rastreo inverso":

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$

En D = 4 dimensiones esto se reduce a

${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$

Revertir la traza nuevamente restauraría el EFE original. La forma de traza inversa puede ser más conveniente en algunos casos (por ejemplo, cuando uno está interesado en el límite de campo débil y puede reemplazar g _μν en la expresión de la derecha con la métrica de Minkowski sin una pérdida significativa de precisión).

La constante cosmológica

Artículo principal: constante cosmológica

En las ecuaciones de campo de Einstein

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$

el término que contiene la constante cosmológica Λ estaba ausente en la versión en la que los publicó originalmente. Luego, Einstein incluyó el término con la constante cosmológica para permitir un universo que no se expande ni se contrae . Este esfuerzo no tuvo éxito porque:

• cualquier solución de estado estacionario deseada descrita por esta ecuación es inestable, y
• Las observaciones de Edwin Hubble mostraron que nuestro universo se está expandiendo .

Einstein luego abandonó Λ , comentando a George Gamow "que la introducción del término cosmológico fue el mayor error de su vida". ^[17]

La inclusión de este término no crea inconsistencias. Durante muchos años se asumió casi universalmente que la constante cosmológica era cero. Observaciones astronómicas más recientes han mostrado una expansión acelerada del universo , y para explicar esto se necesita un valor positivo de Λ . ^{[18] [19]} La constante cosmológica es insignificante a la escala de una galaxia o más pequeña.

Einstein pensó en la constante cosmológica como un parámetro independiente, pero su término en la ecuación de campo también se puede mover algebraicamente al otro lado e incorporar como parte del tensor de tensión-energía:

${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$

Este tensor describe un estado de vacío con una densidad de energía ρ _vac y una presión isotrópica p _vac que son constantes fijas y están dadas por

${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$

donde se supone que Λ tiene la unidad SI m ⁻² y κ se define como antes.

La existencia de una constante cosmológica es, por tanto, equivalente a la existencia de una energía de vacío y una presión de signo opuesto. Esto ha llevado a que los términos "constante cosmológica" y "energía del vacío" se usen indistintamente en la relatividad general.

Características

Conservación de energía e impulso

La relatividad general es consistente con la conservación local de energía y momento expresado como

${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$.

Derivación de la conservación de la energía local-momento

Contratando la identidad diferencial Bianchi ${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$ con g αβ da, usando el hecho de que el tensor métrico es covariantemente constante, es decir, g αβ ; γ = 0 , ${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0}$ La antisimetría del tensor de Riemann permite reescribir el segundo término de la expresión anterior: ${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$ que es equivalente a ${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$ utilizando la definición del tensor de Ricci . Luego, contrae nuevamente con la métrica ${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$ Llegar ${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0}$ Las definiciones del tensor de curvatura de Ricci y la curvatura escalar muestran que ${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0}$ que se puede reescribir como ${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0}$ Una contracción final con g εδ da ${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0}$ que por la simetría del término entre corchetes y la definición del tensor de Einstein , da, después de reetiquetar los índices, ${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$ Usando el EFE, esto da inmediatamente, ${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$

que expresa la conservación local de estrés-energía. Esta ley de conservación es un requisito físico. Con sus ecuaciones de campo, Einstein se aseguró de que la relatividad general sea consistente con esta condición de conservación.

No linealidad

La no linealidad de la EFE distingue la relatividad general de muchas otras teorías físicas fundamentales. Por ejemplo, las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell son lineales en los campos eléctrico y magnético , y distribuciones de carga y corriente (es decir, la suma de dos soluciones también es una solución); otro ejemplo es la ecuación de la mecánica cuántica de Schrödinger , que es lineal en la función de onda .

El principio de correspondencia

La EFE a reducir a la ley de gravedad de Newton utilizando tanto la aproximación de campo débil y la aproximación a cámara lenta . De hecho, la constante G que aparece en el EFE se determina haciendo estas dos aproximaciones.

Derivación de la ley de gravedad de Newton

La gravitación newtoniana se puede escribir como la teoría de un campo escalar, Φ , que es el potencial gravitacional en julios por kilogramo del campo gravitacional g = −∇Φ , ver la ley de la gravedad de Gauss ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$ donde ρ es la densidad de masa. La órbita de una partícula en caída libre satisface ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$ En notación tensorial, estos se convierten en ${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$ En la relatividad general, estas ecuaciones son reemplazadas por las ecuaciones de campo de Einstein en la forma de traza inversa. ${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$ para alguna constante, K , y la ecuación geodésica ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$ Para ver cómo el último se reduce al primero, asumimos que la velocidad de la partícula de prueba es aproximadamente cero. ${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$ y por lo tanto ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$ y que la métrica y sus derivadas son aproximadamente estáticas y que los cuadrados de desviaciones de la métrica de Minkowski son insignificantes. La aplicación de estos supuestos simplificadores a los componentes espaciales de la ecuación geodésica da ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$ donde se han dividido dos factores de dt / dτ . Esto se reducirá a su contraparte newtoniana, siempre que ${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$ Nuestras suposiciones obligan a α = iy las derivadas de tiempo (0) a ser cero. Entonces esto se simplifica a ${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$ que se satisface dejando ${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$ Volviendo a las ecuaciones de Einstein, solo necesitamos el componente tiempo-tiempo ${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$ Los supuestos de campo estático y de baja velocidad implican que ${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \mathrm {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$ Entonces ${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$ y por lo tanto ${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$ De la definición del tensor de Ricci ${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$ Nuestras suposiciones simplificadoras hacen que los cuadrados de Γ desaparezcan junto con las derivadas de tiempo ${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$ Combinando las ecuaciones anteriores juntas ${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$ que se reduce a la ecuación de campo newtoniana proporcionada ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$ que ocurrirá si ${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$

Ecuaciones de campo de vacío

Una moneda conmemorativa suiza de 1979, que muestra las ecuaciones de campo de vacío con constante cosmológica cero (arriba).

Si el tensor de energía-momento T _μν es cero en la región considerada, las ecuaciones de campo también se denominan ecuaciones de campo de vacío . Al establecer T _μν = 0 en las ecuaciones de campo de traza inversa , las ecuaciones de vacío se pueden escribir como

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$

En el caso de una constante cosmológica distinta de cero, las ecuaciones son

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$

Las soluciones de las ecuaciones de campo de vacío se denominan soluciones de vacío . El espacio plano de Minkowski es el ejemplo más simple de una solución de vacío. Los ejemplos no triviales incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr .

Las variedades con un tensor de Ricci que desaparece , R _μν = 0 , se denominan variedades planas de Ricci y variedades con un tensor de Ricci proporcional a la métrica como variedades de Einstein .

Ecuaciones de Einstein-Maxwell

Ver también: ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo

Si el tensor de energía-momento T _μν es el de un campo electromagnético en el espacio libre , es decir, si el tensor de tensión-energía electromagnética

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$

se utiliza, entonces las ecuaciones de campo de Einstein se denominan ecuaciones de Einstein-Maxwell (con constante cosmológica Λ , considerada cero en la teoría de la relatividad convencional):

${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$

Además, las ecuaciones covariantes de Maxwell también son aplicables en el espacio libre:

${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$

donde el punto y coma representa una derivada covariante y los corchetes denotan anti-simetrización . La primera ecuación afirma que la 4- divergencia de la forma 2 F es cero, y la segunda que su derivada exterior es cero. De este último, se sigue por el lema de Poincaré que en un gráfico de coordenadas es posible introducir un potencial de campo electromagnético A _α tal que

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$

en el que la coma denota una derivada parcial. Esto a menudo se toma como equivalente a la ecuación covariante de Maxwell de la que se deriva. ^[20] Sin embargo, existen soluciones globales de la ecuación que pueden carecer de un potencial definido globalmente. ^[21]

Soluciones

Artículo principal: Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espacio-tiempo . Estas métricas describen la estructura del espacio-tiempo, incluido el movimiento inercial de los objetos en el espacio-tiempo. Como las ecuaciones de campo no son lineales, no siempre pueden resolverse por completo (es decir, sin hacer aproximaciones). Por ejemplo, no se conoce una solución completa para un espacio-tiempo con dos cuerpos masivos (que es un modelo teórico de un sistema estelar binario, por ejemplo). Sin embargo, en estos casos se suelen realizar aproximaciones. Estos se conocen comúnmente como aproximaciones post-Newtonianas . Aun así, hay varios casos en los que las ecuaciones de campo se han resuelto por completo, y esos se denominan soluciones exactas . ^[9]

El estudio de soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein es una de las actividades de la cosmología . Conduce a la predicción de agujeros negros y a diferentes modelos de evolución del universo .

También se pueden descubrir nuevas soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein a través del método de marcos ortonormales como pionero en Ellis y MacCallum. ^[22] En este enfoque, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, no lineales. Como discutieron Hsu y Wainwright, ^[23] las soluciones auto-similares a las ecuaciones de campo de Einstein son puntos fijos del sistema dinámico resultante . LeBlanc ^[24] y Kohli y Haslam han descubierto nuevas soluciones utilizando estos métodos . ^[25]

El EFE linealizado

Artículo principal: Gravedad linealizada

La no linealidad del EFE dificulta la búsqueda de soluciones exactas. Una forma de resolver las ecuaciones de campo es hacer una aproximación, a saber, que lejos de la (s) fuente (s) de materia gravitacional, el campo gravitacional es muy débil y el espacio-tiempo se aproxima al del espacio de Minkowski . Luego, la métrica se escribe como la suma de la métrica de Minkowski y un término que representa la desviación de la métrica verdadera de la métrica de Minkowski , ignorando los términos de mayor potencia. Este procedimiento de linealización se puede utilizar para investigar los fenómenos de radiación gravitacional .

Forma polinomial

A pesar de que el EFE tal como está escrito contiene el inverso del tensor métrico, se pueden organizar en una forma que contenga el tensor métrico en forma polinomial y sin su inverso. Primero, el determinante de la métrica en 4 dimensiones se puede escribir

${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$

usando el símbolo Levi-Civita ; y la inversa de la métrica en 4 dimensiones se puede escribir como:

${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$

Sustituir esta definición de la inversa de la métrica en las ecuaciones y luego multiplicar ambos lados por una potencia adecuada de det ( g ) para eliminarla del denominador da como resultado ecuaciones polinómicas en el tensor métrico y su primera y segunda derivadas. La acción de la que se derivan las ecuaciones también se puede escribir en forma polinomial mediante redefiniciones adecuadas de los campos. ^[26]

Ver también

• Acción de Einstein-Hilbert
• Principio de equivalencia
• Soluciones exactas en relatividad general
• Recursos de relatividad general
• Historia de la relatividad general
• Ecuación de Hamilton – Jacobi – Einstein
• Matemáticas de la relatividad general
• Relatividad numérica
• Cálculo de Ricci

Notas

1. Einstein, Albert (1916). "La Fundación de la Teoría General de la Relatividad" . Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode : 1916AnP ... 354..769E . doi : 10.1002 / yp.19163540702 . Archivado desde el original ( PDF ) el 2012-02-06.
2. Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation" . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Consultado el 21 de agosto de 2017 .
3. Misner, Thorne y Wheeler (1973) , p. 916 [cap. 34].
4. Carroll, Sean (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . págs. 151-159. ISBN 0-8053-8732-3.
5. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pag. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
6. Con la elección de la constante gravitacional de Einstein como se da aquí, κ = 8 πG / c ⁴ , el tensor de tensión-energía en el lado derecho de la ecuación debe escribirse con cada componente en unidades de densidad de energía (es decir, energía por volumen , equivalente presión). En la publicación original de Einstein, la elección es κ = 8 πG / c ² , en cuyo caso los componentes del tensor de tensión-energía tienen unidades de densidad de masa.
7. Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). Introducción a la relatividad general (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4. OCLC  1046135 .
8. Weinberg, Steven (1993). Sueños de una teoría final: la búsqueda de las leyes fundamentales de la naturaleza . Prensa Vintage. págs. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
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10. Rendall, Alan D. (2005). "Teoremas de existencia y dinámica global para las ecuaciones de Einstein" . Rev. Relatividad viviente . 8 (1). Número de artículo: 6. arXiv : gr-qc / 0505133 . Código Bibliográfico : 2005LRR ..... 8 .... 6R . doi : 10.12942 / lrr-2005-6 . PMC 5256071 . PMID 28179868 .  
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Referencias

Consulte Recursos de relatividad general .

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• Peacock, John A. (1999). Física cosmológica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521410724.

enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Relatividad general

Wikiversity tiene recursos de aprendizaje sobre la relatividad general

• "Ecuaciones de Einstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial de Caltech sobre relatividad : una sencilla introducción a las ecuaciones de campo de Einstein.
• El significado de la ecuación de Einstein : una explicación de la ecuación de campo de Einstein, su derivación y algunas de sus consecuencias
• Conferencia en video sobre las ecuaciones de campo de Einstein a cargo del profesor de física del MIT, Edmund Bertschinger.
• Arco y andamio: cómo Einstein encontró sus ecuaciones de campo Physics Today noviembre de 2015, Historia del desarrollo de las ecuaciones de campo
• La ecuación de campo de Einstein en la pared del Museo Boerhaave en el centro de Leiden