En matemáticas y especialmente en geometría diferencial , una variedad de Kähler es una variedad con tres estructuras compatibles entre sí: una estructura compleja , una estructura de Riemann y una estructura simpléctica . El concepto fue estudiado por primera vez por Jan Arnoldus Schouten y David van Dantzig en 1930, y luego introducido por Erich Kähler en 1933. La terminología ha sido fijada por André Weil . Geometría de Kählerse refiere al estudio de las variedades de Kähler, su geometría y topología, así como el estudio de las estructuras y construcciones que se pueden realizar en las variedades de Kähler, como la existencia de conexiones especiales como las conexiones de Hermitian Yang-Mills , o métricas especiales como Kähler –Métricas de Einstein .
Cada variedad proyectiva compleja y suave es una variedad de Kähler. La teoría de Hodge es una parte central de la geometría algebraica , probada usando métricas de Kähler.
Dado que los colectores de Kähler están equipados con varias estructuras compatibles, se pueden describir desde diferentes puntos de vista:
Una variedad de Kähler es una variedad simpléctica ( X , ω ) equipada con una estructura casi compleja integrable J que es compatible con la forma simpléctica ω, lo que significa que la forma bilineal
en el espacio tangente de X en cada punto es simétrico y definido positivo (y por lo tanto una métrica de Riemann en X ). [1]
Una variedad de Kähler es una variedad compleja X con una métrica hermitiana h cuya forma 2 asociada ω es cerrada . Con más detalle, h da una forma hermitiana definida positiva en el espacio tangente TX en cada punto de X , y la forma 2 ω está definida por