En matemáticas, especialmente en teoría de categorías , la mónada de codensidad es una construcción fundamental que asocia una mónada a una amplia clase de functores .
Definición
La mónada de codensidad de un funtor se define como la extensión Kan correcta de G a lo largo de sí misma, siempre que exista esta extensión Kan. Así, por definición, es en particular un funtor
- La estructura de la mónada en proviene de la propiedad universal de la extensión Kan derecha.
La mónada de codensidad existe siempre que D es una categoría pequeña (tiene sólo un conjunto, en oposición a una clase propia , de morfismos) y C posee todos los límites (pequeños, es decir, indexados por conjuntos). También existe siempre que G tiene un adjunto izquierdo.
Mediante la fórmula general que calcula las extensiones Kan derechas en términos de fines , la mónada de codensidad viene dada por la siguiente fórmula:
dónde denota el conjunto de morfismos en C entre los objetos indicados y la integral denota el final. Por lo tanto, la mónada de codensidad equivale a considerar mapas de c a un objeto en la imagen de G , y mapas del conjunto de tales morfismos a G ( d ), compatibles para todos los posibles d . Así, como señala Avery, [1] las mónadas de codensidad comparten cierto parentesco con el concepto de integración y doble dualización.
Ejemplos de
Mónadas de codensidad de contiguos derechos
Si el funtor G admite un adjunto izquierdo F , la mónada de codensidad viene dada por el compuesto, junto con la unidad estándar y los mapas de multiplicación.
Ejemplos concretos de functores que no admiten un adjunto izquierdo
En varios casos interesantes, el functor G es una inclusión de una subcategoría completa que no admite un adjunto izquierdo. Por ejemplo, la mónada codensity de la inclusión de FINSET en Set es la mónada ultrafiltro asociar a cualquier conjunto M el conjunto de ultrafiltros en M . Esto fue probado por Kennison y Gildenhuys, [2] aunque sin usar el término "codensidad". En esta formulación, la declaración es revisada por Leinster. [3]
Leinster analiza un ejemplo relacionado: [4] la mónada de codensidad de la inclusión de espacios vectoriales de dimensión finita (sobre un campo fijo k ) en todos los espacios vectoriales es la mónada de doble dualización dada al enviar un espacio vectorial V a su doble dual
Así, en este ejemplo, la fórmula final mencionado anteriormente simplifica a considerar (en la notación anterior) sólo un objeto d , es decir, un espacio de vector unidimensional, en contraposición a considerar todos los objetos en D . Adámek [5] muestran que, en una serie de situaciones, la mónada de codensidad de la inclusión
de objetos finamente presentados (también conocidos como objetos compactos ) es una mónada de doble dualización con respecto a un objeto cogenerador suficientemente agradable . Se recupera tanto la inclusión de conjuntos finitos en conjuntos (donde un cogenerador es el conjunto de dos elementos), como también la inclusión de espacios vectoriales de dimensión finita en espacios vectoriales (donde el cogenerador es el campo base).
Sipoş mostró que las álgebras sobre la mónada de codensidad de la inclusión de conjuntos finitos (considerados como espacios topológicos discretos ) en espacios topológicos son equivalentes a los espacios de piedra . [6] Avery muestra que la mónada Giry surge como la codensity MÓNADA de los operadores de olvido naturales entre determinadas categorías de espacios vectoriales convexas a espacios medibles . [1]
Relación con la dualidad de Isbell
Di Liberti [7] muestra que la mónada de codensidad está estrechamente relacionada con la dualidad de Isbell : para una pequeña categoría C dada , la dualidad de Isbell se refiere a la adjunción
entre la categoría de prehaces sobre C (es decir, funtores de la categoría opuesto de C a los conjuntos) y la categoría opuesto de copresheaves en C . La mónada
inducida por esta adjunción se muestra que es la mónada de codensidad de la incrustación de Yoneda
A la inversa, se muestra que la mónada de codensidad de una subcategoría K densa pequeña completa en una categoría C cocompleta está inducida por la dualidad de Isbell. [8]
Ver también
Referencias
- Di Liberti, Ivan (2019), Codensity: Isbell duality, pro-objects, compactness and accessibility , arXiv : 1910.01014
- Leinster, Tom (2013). "Codensidad y la mónada del ultrafiltro". Teoría y aplicaciones de categorías . 28 : 332–370. arXiv : 1209.3606 . Código Bib : 2012arXiv1209.3606L .
Notas al pie
- ^ a b Avery, Tom (2016). "Codensidad y la mónada de Giry". Revista de álgebra pura y aplicada . 220 (3): 1229-1251. arXiv : 1410.4432 . doi : 10.1016 / j.jpaa.2015.08.017 .
- ^ Kennison, JF; Gildenhuys, Dion (1971). "Compleción de ecuaciones, triples inducidos por modelo y pro-objetos". Revista de álgebra pura y aplicada . 1 (4): 317–346. doi : 10.1016 / 0022-4049 (71) 90001-6 .
- ^ Leinster , 2013 , §3.
- ^ Leinster , 2013 , §7.
- ^ Adámek, Jirí; Sousa, Lurdes (2019). D-Ultrafilters y sus mónadas . arXiv : 1909.04950 .
- ^ Sipoş, Andrei (2018). "Codensidad y espacios pétreos". Mathematica Slovaca . 68 : 57–70. arXiv : 1409.1370 . doi : 10.1515 / ms-2017-0080 .
- ^ Di Liberti 2019 .
- ^ Di Liberti 2019 , §2.