En la teoría de anillos , un subcampo de la álgebra abstracta , un anillo de Kasch derecho es un anillo R para el que cada sencillo derecha R módulo es isomorfo a un ideal justo de R . [1] De manera análoga , se define la noción de anillo de Kasch izquierdo , y las dos propiedades son independientes entre sí.
Los anillos de Kasch reciben su nombre en honor al matemático Friedrich Kasch . Kasch originalmente llamó anillos Artinianos cuyos ideales propios tienen anillos en S de aniquiladores distintos de cero . ( Kasch 1954 ) ( Morita 1966 ) Las caracterizaciones siguientes muestran que los anillos de Kasch generalizan los anillos en S.
Definición
Las definiciones equivalentes se introducirán solo para la versión de la derecha, en el entendimiento de que los análogos de la izquierda también son verdaderos. Las condiciones de Kasch tienen algunas declaraciones equivalentes que utilizan el concepto de aniquiladores , y este artículo utiliza la misma notación que aparece en el artículo sobre aniquiladores.
Además de la definición dada en la introducción, las siguientes propiedades son definiciones equivalentes para que un anillo R sea Kasch correcto. Aparecen en ( Lam 1999 , p. 281):
- Por cada simple derecho R módulo S , hay un módulo distinto de cero homomorfismo de M en R .
- Los ideales derechos máximos de R son aniquiladores derechos de los elementos del anillo, es decir, cada uno tiene la formadonde x está en R .
- Para cualquier T ideal máximo derecho de R ,.
- Para cualquier T ideal correcto correcto de R ,.
- Para cualquier T ideal máximo derecho de R ,.
- R no tiene ideales correctos densos excepto el propio R.
Ejemplos de
El contenido a continuación se puede encontrar en referencias como ( Faith 1999 , p. 109) , ( Lam 1999 , §§8C, 19B), ( Nicholson y Yousif 2003 , p.51) .
- Sea R un anillo semiprimario con el radical J de Jacobson . Si R es conmutativo, o si R / J es un anillo simple , entonces R es Kasch derecha (e izquierda). En particular, los anillos conmutativos Artinianos son Kasch derecho e izquierdo.
- Para un anillo de división k , considere un cierto subanillo R del anillo de matriz de cuatro por cuatro con entradas de k . El subanillo R consta de matrices de la siguiente forma:
- Este es un anillo artiniano derecho e izquierdo que es Kasch derecho, pero no Kasch izquierdo.
- Deje que S sea el anillo de series de potencia de dos variables noncommuting X y Y con coeficientes de un campo F . Sea el ideal A el ideal generado por los dos elementos YX e Y 2 . El anillo cociente S / A es un anillo local que está a la derecha de Kasch pero no a la izquierda de Kasch.
- Suponga que R es un producto directo de anillo de un número infinito de anillos distintos de cero etiquetados como A k . La suma directa de la A k forma una ideales adecuada de R . Se comprueba fácilmente que los aniquiladores izquierdo y derecho de este ideal son cero, por lo que R no es Kasch derecho o izquierdo.
- El anillo de matriz triangular superior (o inferior) de dos por dos no es Kasch derecho o izquierdo.
- Un anillo con zócalo cero derecho (es decir) no puede tener razón, Kasch, ya que el anillo no contiene ideales mínimos mínimos . Entonces, por ejemplo, los dominios que no son anillos de división no son Kasch a la derecha ni a la izquierda.
Referencias
- ^ Este ideal es necesariamente un ideal mínimo de derecho .
- Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of 20th century asociative álgebra , Mathematical Surveys and Monographs, 65 , Providence, RI: American Mathematical Society, pp. Xxxiv + 422, ISBN 978-0-8218-0993-8, MR 1657671
- Kasch, Friedrich (1954), "Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen" , Math. Ana. (en alemán), 127 : 453–474, doi : 10.1007 / bf01361137 , ISSN 0025-5831 , MR 0062724
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Morita, Kiiti (1966), "On S -rings en el sentido de F. Kasch", Nagoya Math. J. , 27 (2): 687–695, doi : 10.1017 / S0027763000026477 , ISSN 0027-7630 , MR 0199230
- Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Cuasi-Frobenius rings , Cambridge Tracts in Mathematics, 158 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. Xviii + 307, doi : 10.1017 / CBO9780511546525 , ISBN 978-0-521-81593-2, Señor 2003785