En matemáticas , los bastidores y los quandles son conjuntos con operaciones binarias que satisfacen axiomas análogos a los movimientos de Reidemeister utilizados para manipular diagramas de nudos .
Si bien se utilizan principalmente para obtener invariantes de nudos, pueden verse como construcciones algebraicas por derecho propio. En particular, la definición de cuandle axiomatiza las propiedades de conjugación en un grupo .
Historia
En 1943, Mituhisa Takasaki (高崎 光 久) introdujo una estructura algebraica a la que llamó Kei (圭), que más tarde se conocería como un dilema involutivo. [1] Su motivación fue encontrar una estructura algebraica no asociativa para capturar la noción de un reflejo en el contexto de la geometría finita . La idea fue redescubierta y generalizada en la correspondencia (no publicada) de 1959 entre John Conway y Gavin Wraith , [2] quienes en ese momento eran estudiantes de pregrado en la Universidad de Cambridge . Es aquí donde aparecen por primera vez las definiciones modernas de quandles y de bastidores. Wraith se había interesado en estas estructuras (que inicialmente denominó secuenciales ) mientras estaba en la escuela. [3] Conway les cambió el nombre a los destrozos , en parte como un juego de palabras con el nombre de su colega, y en parte porque surgen como los restos (o 'destrozos y ruinas') de un grupo cuando uno descarta la estructura multiplicativa y considera solo la estructura de conjugación . El "estante" ortográfico ahora se ha vuelto frecuente.
Estos constructos surgieron nuevamente en la década de 1980: en un artículo de 1982 de David Joyce [4] (donde se acuñó el término quandle ), [5] en un artículo de 1982 de Sergei Matveev (bajo el nombre de groupoids distributivos ) [6] y en un Documento de conferencia de 1986 de Egbert Brieskorn (donde se denominaron conjuntos automórficos ). [7] Se puede encontrar una descripción detallada de los bastidores y sus aplicaciones en la teoría de nudos en el artículo de Colin Rourke y Roger Fenn . [8]
Rejillas
Un bastidor puede definirse como un conjunto con una operación binaria tal que por cada la ley de autodistribución sostiene:
y por cada existe un único tal que
Esta definición, aunque concisa y de uso común, es subóptima para ciertos propósitos porque contiene un cuantificador existencial que no es realmente necesario. Para evitar esto, podemos escribir el único tal que como Entonces tenemos
y por lo tanto
y
Usando esta idea, un estante se puede definir de manera equivalente como un conjunto con dos operaciones binarias y tal que para todos
- (ley autodistributiva izquierda)
- (derecho derecho de autodistribución)
Es conveniente decir que el elemento está actuando desde la izquierda en la expresión y actuando desde la derecha en la expresión Los axiomas de rack tercero y cuarto dicen que estas acciones de izquierda y derecha son inversas entre sí. Con esto, podemos eliminar cualquiera de estas acciones de la definición de rack. Si eliminamos la acción de la derecha y mantenemos la de la izquierda, obtenemos la definición concisa dada inicialmente.
En la literatura se utilizan muchas convenciones diferentes sobre bastidores y quandles. Por ejemplo, muchos autores prefieren trabajar con la acción correcta . Además, el uso de los símbolos y de ninguna manera es universal: muchos autores usan notación exponencial
y
mientras muchos otros escriben
Sin embargo, otra definición equivalente de un bastidor es que es un conjunto en el que cada elemento actúa a la izquierda y a la derecha como automorfismos del bastidor, siendo la acción de la izquierda la inversa de la derecha. En esta definición, el hecho de que cada elemento actúe como automorfismos codifica las leyes de autodistribución izquierda y derecha, y también estas leyes:
que son consecuencia de las definiciones dadas anteriormente.
Quandles
Un quandle se define como un rack, tal que para todos
o equivalente
Ejemplos y aplicaciones
Cada grupo da un quandle donde las operaciones provienen de la conjugación:
De hecho, toda ley de ecuación satisfecha por la conjugación en un grupo se sigue de los axiomas del cuadrilátero. Entonces, uno puede pensar en un quandle como lo que queda de un grupo cuando olvidamos la multiplicación, la identidad y las inversas, y solo recordamos la operación de conjugación.
Cada nudo domesticado en tres dimensiones del espacio euclidiano tiene un 'quandle fundamental'. Para definir esto, se puede notar que el grupo fundamental del complemento de nudos, o grupo de nudos , tiene una presentación (la presentación de Wirtinger ) en la que las relaciones solo involucran conjugación. Por lo tanto, esta presentación también se puede utilizar como presentación de un quandle. El quandle fundamental es un invariante de nudos muy poderoso. En particular, si dos nudos tienen isomorfos quandles fundamentales entonces hay un homeomorfismo del espacio euclidiano tridimensional, que puede ser la orientación de marcha atrás , teniendo un nudo a otro.
Pueden obtenerse invariantes de nudos menos potentes pero más fáciles de calcular contando los homomorfismos desde el quandle de nudos hasta un quandle fijo Dado que la presentación de Wirtinger tiene un generador para cada hebra en un diagrama de nudos , estos invariantes se pueden calcular contando formas de etiquetar cada hebra por un elemento desujeto a ciertas limitaciones. Pueden construirse invariantes más sofisticados de este tipo con la ayuda de la cohomología de quandle .
El Los quandles de Alexander también son importantes, ya que se pueden usar para calcular el polinomio de Alexander de un nudo. Dejar ser un módulo sobre el ring de polinomios de Laurent en una variable. Entonces el quandle de Alexander es convertido en un dilema con la acción izquierda dada por
Los bastidores son una generalización útil de los quandles en topología, ya que mientras que los quandles pueden representar nudos en un objeto lineal redondo (como una cuerda o un hilo), los bastidores pueden representar cintas, que pueden estar torcidas o anudadas.
Un dilema se dice que es involutivo si para todos
o equivalente,
Cualquier espacio simétrico da un dilema involutivo, donde es el resultado de 'reflexionar mediante '.
Ver también
Referencias
- ^ Takasaki, Mituhisa (1943). "Abstracciones de funciones simétricas". Revista matemática de Tohoku . 49 : 143-207.
- ^ Conway, John H .; Wraith, Gavin (1959). "(correspondencia no publicada)". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Espectro, Gavin. "Una historia personal sobre nudos" . Archivado desde el original el 13 de marzo de 2006.
- ^ Joyce, David (1982). " Una clasificación invariante de nudos: el quandle de nudos " . Revista de álgebra pura y aplicada . 23 : 37–65. doi : 10.1016 / 0022-4049 (82) 90077-9 .
- ^ Báez, Juan. "El origen de la palabra 'Quandle ' " . El Café de categoría n . Consultado el 5 de junio de 2015 .
- ^ Matveev, Sergei (1984). " Grupóides distributivos en teoría de nudos ". Matemáticas. URSS Sbornik . 47 : 73–83. doi : 10.1070 / SM1984v047n01ABEH002630 .
- ^ Brieskorn, Egbert (1988). " Conjuntos y singularidades automórficas ". En "Trenzas (Santa Cruz, CA, 1986)", Matemática Contemporánea . 78 : 45-115. doi : 10.1090 / conm / 078/975077 .
- ^ Rourke, Colin; Fenn, Roger (1992). " Racks y enlaces en codimensión 2 ". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 1 (4): 343–406. doi : 10.1142 / S0218216592000203 .
enlaces externos
- Knot Quandaries Quelled by Quandles : una introducción de pregrado a los quandles y otros invariantes de nudos
- Una encuesta de Quandle Ideas por Scott Carter
- Invariantes de nudos derivados de Quandles y Racks por Seiichi Kamada
- Estantes, estantes, ejes y Quandles , pág. 56 de Lie 2-Algebras por Alissa Crans
- https://ncatlab.org/nlab/show/quandle