En matemáticas , un espacio topológico es, a grandes rasgos, un espacio geométrico en el que se define la cercanía pero, en general, no se puede medir mediante una distancia numérica. Más específicamente, un espacio topológico es un conjunto de puntos , junto con un conjunto de vecindarios para cada punto, que satisface un conjunto de axiomas que relacionan puntos y vecindarios.
Un espacio topológico es el tipo más general de espacio matemático que permite la definición de límites , continuidad y conectividad . [1] Otros espacios, como los espacios euclidianos , los espacios métricos y las variedades , son espacios topológicos con estructuras , propiedades o restricciones adicionales .
Aunque son muy generales, los espacios topológicos son un concepto fundamental utilizado en prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas. La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos por derecho propio se denomina topología de conjuntos de puntos o topología general .
Historia
Alrededor de 1735 , Leonhard Euler descubrió la fórmula relacionar el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo y, por tanto, de un grafo plano . El estudio y generalización de esta fórmula, concretamente por Cauchy y L'Huilier , está en el origen de la topología . En 1827 , Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales de superficies curvas que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna: "Se dice que una superficie curva posee una curvatura continua en uno de sus puntos A, si la dirección de todas las líneas rectas trazadas desde A hasta puntos de la superficie a una distancia infinitamente pequeña de A se desvían infinitamente poco desde un mismo plano que pasa por A. " [2]
Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataron desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y nunca se consideraron los problemas topológicos". [3] " Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema de la topología de superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricas) para decidir la equivalencia de superficies, es decir, para decidir si dos superficies son homeomórfico o no ". [3]
El tema está claramente definido por Felix Klein en su " Programa Erlangen " (1872): las invariantes geométricas de transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había utilizado el término en correspondencia algunos años antes en lugar de utilizar anteriormente "Analysis situs". La base de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creada por Henri Poincaré . Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894 . [4] En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano .
Los espacios topológicos fueron definidos por primera vez por Felix Hausdorff en 1914 en su seminal "Principios de la teoría de conjuntos". Los espacios métricos habían sido definidos a principios de 1906 por Maurice Fréchet , aunque fue Hausdorff quien introdujo el término "espacio métrico". [ cita requerida ]
Definiciones
La utilidad de la noción de topología se demuestra por el hecho de que existen varias definiciones equivalentes de esta estructura. Así se elige la axiomatización adecuada para la aplicación. El más utilizado es el de conjuntos abiertos , pero quizás más intuitivo es el de barrios, por lo que se da primero.
Definición a través de barrios
Esta axiomatización se debe a Felix Hausdorff . Dejarser un conjunto; los elementos deSuelen denominarse puntos , aunque pueden ser cualquier objeto matemático. Permitimosestar vacío. Dejarser una función que asigne a cada (apunta en una colección no vacía de subconjuntos de Los elementos de se llamarán barrios de con respecto a (o, simplemente, barrios de). La funciónse denomina topología de vecindad si se satisfacen los axiomas siguientes [5] ; y entonces con se llama espacio topológico .
- Si es un barrio de (es decir, ), luego Es decir, cada punto pertenece a cada uno de sus barrios.
- Si es un subconjunto de e incluye un barrio de luego es un barrio de Es decir, cada superconjunto de una vecindad de un punto es de nuevo un barrio de
- La intersección de dos barrios de es un barrio de
- Cualquier barrio de incluye un barrio de tal que es una vecindad de cada punto de
Los tres primeros axiomas de los barrios tienen un significado claro. El cuarto axioma tiene un uso muy importante en la estructura de la teoría, el de vincular las vecindades de diferentes puntos de
Un ejemplo estándar de tal sistema de vecindarios es para la línea real donde un subconjunto de se define como una vecindad de un número real si incluye un intervalo abierto que contiene
Dada tal estructura, un subconjunto de se define como abierto si es un vecindario de todos los puntos en Los conjuntos abiertos entonces satisfacen los axiomas que se dan a continuación. Por el contrario, cuando se dan los conjuntos abiertos de un espacio topológico, las vecindades que satisfacen los axiomas anteriores pueden recuperarse definiendo ser un barrio de Si incluye un conjunto abierto tal que [6]
Definición mediante sets abiertos
A el espacio topológico es un par ordenado dónde es un conjunto yes una colección de subconjuntos desatisfaciendo los siguientes axiomas : [7]
- El conjunto vacío y en sí mismo pertenece a
- Cualquier unión arbitraria (finita o infinita) de miembros de pertenece a
- La intersección de cualquier número finito de miembros de pertenece a
Los elementos de se llaman conjuntos abiertos y la colecciónse llama topología en Un subconjunto se dice que está cerrado ensi y solo si su complemento es un elemento de
Ejemplos de topologías
- Dado la topología trivial o indiscreta enes la familia que consta de solo los dos subconjuntos de requerido por los axiomas forma una topología de
- Dado la familia
- Dado la topología discreta enes el conjunto de poder de cual es la familia que consta de todos los posibles subconjuntos de En este caso el espacio topológico se llama espacio discreto .
- Dado el conjunto de enteros, la familia de todos los subconjuntos finitos de los enteros más en sí misma no es una topología, porque (por ejemplo) la unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero no es finita pero tampoco es toda de y entonces no puede estar en
Definición a través de conjuntos cerrados
Usando las leyes de Morgan , los axiomas anteriores que definen conjuntos abiertos se convierten en axiomas que definen conjuntos cerrados :
- El conjunto vacío y esta cerrado.
- La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados también está cerrada.
- También se cierra la unión de cualquier número finito de conjuntos cerrados.
Usando estos axiomas, otra forma de definir un espacio topológico es como un conjunto junto con una colección de subconjuntos cerrados de Así, los conjuntos en la topología son los conjuntos cerrados, y sus complementos en son los conjuntos abiertos.
Otras definiciones
Hay muchas otras formas equivalentes de definir un espacio topológico: es decir, los conceptos de vecindad, o el de conjuntos abiertos o cerrados pueden reconstruirse a partir de otros puntos de partida y satisfacer los axiomas correctos.
Otra forma de definir un espacio topológico es utilizando los axiomas de cierre de Kuratowski , que definen los conjuntos cerrados como los puntos fijos de un operador en el conjunto de potencia de
Una red es una generalización del concepto de secuencia . Una topología está completamente determinada si para cada red ense especifica el conjunto de sus puntos de acumulación .
Comparación de topologías
Se puede colocar una variedad de topologías en un conjunto para formar un espacio topológico. Cuando cada conjunto en una topología también está en una topología y es un subconjunto de Nosotros decimos eso es más fino que y es más grueso queUna prueba que se basa solo en la existencia de ciertos conjuntos abiertos también será válida para cualquier topología más fina y, de manera similar, una prueba que se base solo en que ciertos conjuntos no estén abiertos se aplica a cualquier topología más burda. Los términos más grande y más pequeño a veces se usan en lugar de más fino y más grueso, respectivamente. Los términos más fuerte y más débil también se utilizan en la literatura, pero con poco acuerdo sobre el significado, por lo que siempre se debe estar seguro de la convención del autor al leer.
La colección de todas las topologías en un conjunto fijo dado forma una celosía completa : si es una colección de topologías en entonces el encuentro de es la intersección de y la unión de es el encuentro de la colección de todas las topologías en que contienen todos los miembros de
Funciones continuas
Una función entre espacios topológicos se llama continuo si para todos y cada uno de los vecindarios de hay un barrio de tal que Esto se relaciona fácilmente con la definición habitual en análisis. Equivalentemente,es continua si la imagen inversa de cada conjunto abierto está abierta. [8] Este es un intento de capturar la intuición de que no hay "saltos" o "separaciones" en la función. Un homeomorfismo es una biyección que es continua y cuya inversa también es continua. Dos espacios se denominan homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorfos son esencialmente idénticos. [9]
En la teoría de categorías , una de las categorías fundamentales es Top , que denota la categoría de espacios topológicos cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son funciones continuas. El intento de clasificar los objetos de esta categoría ( hasta homeomorfismo ) por invariantes tiene áreas motivados de investigación, como la teoría homotopy , teoría de la homología , y K-teoría .
Ejemplos de espacios topológicos
Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le asigna una topología diferente, se lo considera un espacio topológico diferente. A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta en la que cada subconjunto está abierto. Las únicas secuencias o redes convergentes en esta topología son las que eventualmente son constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y todo el espacio están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en los espacios topológicos generales, los límites de las secuencias no necesitan ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.
Espacios métricos
Los espacios métricos incorporan una métrica , una noción precisa de distancia entre puntos.
A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Esta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normalizado . En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.
Hay muchas formas de definir una topología en el conjunto de números reales . La topología estándar enes generado por los intervalos abiertos . El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base o base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos de la base. En particular, esto significa que un conjunto está abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, los espacios euclidianos se le puede dar una topología. En la topología habitual enlos conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas . Similar,el conjunto de números complejos , y tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas.
Espacios de proximidad
Los espacios de proximidad proporcionan una noción de cercanía de dos conjuntos.
Espacios uniformes
Los espacios uniformes axiomatizan ordenando la distancia entre puntos distintos.
Espacios funcionales
Un espacio topológico en el que los puntos son funciones se denomina espacio funcional .
Espacios de Cauchy
Los espacios de Cauchy axiomatizan la capacidad de probar si una red es Cauchy . Los espacios de Cauchy proporcionan un escenario general para estudiar las terminaciones .
Espacios de convergencia
Los espacios de convergencia capturan algunas de las características de la convergencia de los filtros .
Sitios de Grothendieck
Los sitios de Grothendieck son categorías con datos adicionales que axiomatizan si una familia de flechas cubre un objeto. Los sitios son un escenario general para definir poleas .
Otros espacios
Si es un filtro en un set luego es una topología en
Muchos conjuntos de operadores lineales en el análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.
Cualquier campo local tiene una topología nativa, y esto puede extenderse a espacios vectoriales sobre ese campo.
Cada variedad tiene una topología natural ya que es localmente euclidiana. De manera similar, cada simplex y cada complejo simplicial hereda una topología natural de.
La topología de Zariski se define algebraicamente en el espectro de un anillo o una variedad algebraica . En o los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas .
Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas .
El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene importantes relaciones con la teoría de la computación y la semántica.
Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado . Estos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos se utilizan a veces para proporcionar ejemplos o contraejemplos de conjeturas sobre los espacios topológicos en general.
A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Ésta es la topología T 1 más pequeña de cualquier conjunto infinito. [ cita requerida ]
A cualquier conjunto se le puede dar la topología contable , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.
A la línea real también se le puede asignar la topología de límite inferior . Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos. Esta topología en es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y solo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él.
Si es un número ordinal , entonces el conjuntopuede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos y dónde y son elementos de
Espacio exterior de un grupo libre Consiste en las llamadas "estructuras gráficas métricas marcadas" del volumen 1 en [10]
Construcciones topológicas
A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología del subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio más grande con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto , que es generada por las imágenes inversas de conjuntos abiertos de los factores bajo las asignaciones de proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consiste en todos los productos de conjuntos abiertos. Para los productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas sus proyecciones, excepto una finita, son el espacio completo.
Un espacio de cociente se define de la siguiente manera: si es un espacio topológico y es un conjunto, y si es una función sobreyectiva , entonces la topología del cociente en es la colección de subconjuntos de que tienen imágenes inversas abiertas debajo En otras palabras, la topología de cociente es la mejor topología en para cual es continuo. Un ejemplo común de una topología de cociente es cuando se define una relación de equivalencia en el espacio topológico El mapa es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia .
La topología de Vietoris en el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de un espacio topológicollamado así por Leopold Vietoris , se genera por la siguiente base: para cada-tupla de sets abiertos en construimos un conjunto de bases que consta de todos los subconjuntos de la unión de los que tienen intersecciones no vacías con cada
La topología Fell en el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de un espacio polaco localmente compacto es una variante de la topología de Vietoris y lleva el nombre del matemático James Fell. Se genera por la siguiente base: para cada-tupla de sets abiertos en y para cada set compacto el conjunto de todos los subconjuntos de que son disjuntos de y tener intersecciones no vacías con cada es miembro de la base.
Clasificación de espacios topológicos
Los espacios topológicos pueden clasificarse ampliamente, hasta el homeomorfismo, por sus propiedades topológicas . Una propiedad topológica es una propiedad de espacios que es invariante bajo homeomorfismos. Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos basta con encontrar una propiedad topológica que no compartan. Ejemplos de tales propiedades incluyen conectividad , compacidad y varios axiomas de separación . Para invariantes algebraicos, consulte topología algebraica .
Espacios topológicos con estructura algebraica
Para cualquier objeto algebraico podemos introducir la topología discreta, bajo la cual las operaciones algebraicas son funciones continuas. Para cualquier estructura que no sea finita, a menudo tenemos una topología natural compatible con las operaciones algebraicas, en el sentido de que las operaciones algebraicas siguen siendo continuas. Esto conduce a conceptos tales como grupos topológicos , espacios vectoriales topológicos , anillos topológicos y campos locales .
Espacios topológicos con estructura de orden
- Espectral . Un espacio es espectral si y solo si es el espectro principal de un anillo ( teorema de Hochster ).
- Reserva de especialización . En un espacio, el preorden de especialización (o canónico ) se define por si y solo si dónde denota un operador que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski .
Ver también
- Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
- Álgebra de Heyting completa : el sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico dado ordenados por inclusión es un álgebra de Heyting completa.
- Espacio compacto : nociones topológicas de que todos los puntos están "cercanos"
- Espacio de convergencia : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
- Espacio hausdorff
- Espacio de Hilbert : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
- Hemicontinuidad
- Subespacio lineal
- Espacio cuasitopológico
- Subespacio relativamente compacto
- Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura agregada
Citas
- ^ Schubert 1968 , p. 13
- ^ Gauss 1827 .
- ↑ a b Gallier y Xu, 2013 .
- ^ J. Stillwell, Matemáticas y su historia
- ^ Brown 2006 , sección 2.1.
- ^ Brown 2006 , sección 2.2.
- ^ Armstrong 1983 , definición 2.1.
- ^ Armstrong 1983 , teorema 2.6.
- ^ Munkres, James R (2015). Topología . págs. 317–319. ISBN 978-93-325-4953-1.
- ^ Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). "Módulos de gráficos y automorfismos de grupos libres" ( PDF ) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91-119. doi : 10.1007 / BF01388734 .
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enlaces externos
- "Espacio topológico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]