En matemáticas, un sistema de Lagrange es un par ( Y , L ) , que consiste en una suave haz de fibras Y → X y una función de Lagrange densidad L , que produce la Euler-Lagrange operador diferencial que actúa sobre las secciones de Y → X .
En la mecánica clásica , muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de dicho sistema lagrangiano es un haz de fibras Q → ℝ sobre el eje del tiempo ℝ . En particular, Q = ℝ × M si un marco de referencia es fijo. En la teoría de campo clásica , todos los sistemas de campo son lagrangianos.
Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange
Una densidad de Lagrange L (o, simplemente, una función de Lagrange ) de orden r se define como un n -forma , n = dim X , en la r -order jet colector J r Y de Y .
Una función de Lagrange L puede introducirse como un elemento de la BIComplex variacional del diferencial graduada álgebra O * ∞ ( Y ) de formas exteriores sobre colectores de chorro de Y → X . El operador co-límite de este bicomplejo contiene el operador variacional δ que, actuando sobre L , define el operador asociado de Euler-Lagrange δL .
En coordenadas
Dadas las coordenadas del haz x λ , y i en un haz de fibras Y y las coordenadas adaptadas x λ , y i , y i Λ , (Λ = ( λ 1 , ..., λ k ) , | Λ | = k ≤ r ) en los colectores de chorro J r Y , un Lagrangiano L y su operador de Euler-Lagrange leyeron
dónde
denotar las derivadas totales.
Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma
Ecuaciones de Euler-Lagrange
El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagrange δL = 0 .
Cohomología y teoremas de Noether
La cohomología del bicomplejo variacional conduce a la denominada fórmula variacional
dónde
es el diferencial total y θ L es un equivalente Lepage de L . El primer teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.
Colectores graduados
Extendido a variedades graduadas , el bicomplejo variacional proporciona una descripción de sistemas lagrangianos graduados de variables pares e impares. [1]
Formulaciones alternativas
De manera diferente, los lagrangianos, los operadores de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones .
Mecanica clasica
En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad M o varios haces de fibras Q sobre ℝ . Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento . [2] [3]
Ver también
Referencias
- ↑ Sardanashfully 2013
- ^ Arnold , 1989 , p. 83
- ^ Giachetta, Mangiarotti y Sardanashfully 2011 , p. 7
- Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de la mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , 60 (segunda ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
- Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashntly, G. (1997). Nuevos métodos lagrangianos y hamiltonianos en teoría de campos . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.
- Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashntly, G. (2011). Formulación geométrica de la mecánica clásica y cuántica . World Scientific. doi : 10.1142 / 7816 . ISBN 978-981-4313-72-8.
- Olver, P. (1993). Aplicaciones de los grupos de mentira a las ecuaciones diferenciales (2 ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
- Sardanashntly, G. (2013). "Formalismo graduado lagrangiano". En t. J. Geom. Métodos Mod. Phys . World Scientific. 10 (5): 1350016. arXiv : 1206.2508 . doi : 10.1142 / S0219887813500163 . ISSN 0219-8878 .
enlaces externos
- Sardanashntly, G. (2009). "Paquetes de fibra, colectores de chorro y teoría lagrangiana. Conferencias para teóricos". arXiv : 0908.1886 . Código Bibliográfico : 2009arXiv0908.1886S . Cite journal requiere
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