En análisis matemático , un conjunto nulo es un conjunto medible que tiene medida cero . Esto se puede caracterizar como un conjunto que puede cubrirse mediante una unión contable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.
La noción de conjunto nulo no debe confundirse con el conjunto vacío como se define en la teoría de conjuntos . Aunque el conjunto vacío tiene una medida de Lebesgue cero, también hay conjuntos no vacíos que son nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto contable no vacío de números reales tiene la medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.
De manera más general, en un espacio de medida dado , un conjunto nulo es un conjunto tal que .
Cada subconjunto contable de los números reales (es decir, finito o infinito numerable) es nulo. Por ejemplo, el conjunto de números naturales es contable, teniendo cardinalidad ( aleph-zero o aleph-null ), es nulo. Un caso especial de esto son los números racionales, que son contables y, por tanto, nulos.
Sin embargo, hay algunos conjuntos incontables, como el conjunto de Cantor , que son nulos.
Supongamos que es un subconjunto de la línea real tal que
donde U n son intervalos y | U | es la longitud de U , entonces A es un conjunto nulo, [1] también conocido como conjunto de contenido cero.
En terminología del análisis matemático , esta definición requiere que haya una secuencia de cubiertas abiertas de A para las cuales el límite de las longitudes de las cubiertas es cero.
El conjunto vacío es siempre un conjunto nulo. De manera más general, cualquier unión contable de conjuntos nulos es nula. Cualquier subconjunto medible de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo. En conjunto, estos hechos demuestran que el m -null [ explicación adicional necesaria ] conjuntos de X forman un sigma-ideales en X . De manera similar, los conjuntos m nulos mensurables forman un sigma-ideal del sigma-álgebra de conjuntos mensurables. Por tanto, los conjuntos nulos se pueden interpretar como conjuntos insignificantes , definiendo una noción de casi todas partes .
La medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud , área o volumen a subconjuntos del espacio euclidiano .
Un subconjunto N de tiene una medida de Lebesgue nula y se considera un conjunto nulo en si y solo si:
Esta condición se puede generalizar utilizando n - cubos en lugar de intervalos. De hecho, se puede hacer que la idea tenga sentido en cualquier variedad de Riemann , incluso si no hay una medida de Lebesgue allí.
Por ejemplo:
Si λ es la medida de Lebesgue y π es la medida de Lebesgue , entonces la medida del producto . En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia se ha denominado teorema de Fubini : [2]
Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de la integral de Lebesgue : si las funciones f y g son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces f es integrable si y solo si g lo es, y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de espacios L p como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren sólo en conjuntos nulos.
Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son medibles es completa . Cualquier medida incompleta se puede completar para formar una medida completa afirmando que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida completa; en algunas construcciones, se define como la finalización de una medida Borel incompleta .
La medida de Borel no está completa. Una construcción simple es comenzar con el conjunto K estándar de Cantor , que es cerrado, por lo tanto Borel medible, y que tiene medida cero, y encontrar un subconjunto F de K que no sea Borel medible. (Dado que la medida de Lebesgue está completa, esta F es, por supuesto, mensurable en Lebesgue).
Primero, tenemos que saber que cada conjunto de medidas positivas contiene un subconjunto no medible. Deje que f sea la función de Cantor , una función continua que es constante de forma local en K c , y monótonamente creciente en [0, 1], con f (0) = 0 y f (1) = 1 . Obviamente, f ( K c ) es contable, ya que contiene un punto por componente de K c . Por tanto, f ( K c ) tiene medida cero, entonces f ( K ) tiene medida uno. Necesitamos un estrictofunción monótona , así que considere g ( x ) = f ( x ) + x . Dado que g ( x ) es estrictamente monótono y continuo, es un homeomorfismo . Además, g ( K ) tiene medida uno. Sea E ⊂ g ( K ) no medible, y sea F = g −1 ( E ) . Como g es inyectiva, tenemos que F ⊂ K , y entonces Fes un conjunto nulo. Sin embargo, si fuera Borel medible, entonces g ( F ) también sería Borel medible (aquí usamos el hecho de que la preimagen de un Borel establecido por una función continua es medible; g ( F ) = ( g −1 ) −1 ( F ) es la preimagen de F a través de la función continua h = g −1 .) Por lo tanto, F es un conjunto medible nulo, pero no Borel.
En un separable espacio de Banach ( X , +) , la operación del grupo mueve cualquier subconjunto A ⊂ X a la traduce A + x para cualquier x ∈ X . Cuando hay una medida de probabilidad μ en el σ-álgebra de los subconjuntos de Borel de X , tal que para todo x , μ ( A + x ) = 0 , entonces A es un conjunto nulo de Haar . [3]
El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de traduce, asociándola con la invariancia completa encontrada con la medida de Haar .
Algunas propiedades algebraicas de los grupos topológicos se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar. [4] Se han utilizado conjuntos nulos de Haar en grupos polacos para mostrar que cuando A no es un conjunto escaso , A −1 A contiene una vecindad abierta del elemento de identidad . [5] Esta propiedad lleva el nombre de Hugo Steinhaus ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus .