Geometría de la esfera de mentira
La geometría de la esfera de mentira es una teoría geométrica de geometría plana o espacial en la que el concepto fundamental es el círculo o esfera . Fue introducido por Sophus Lie en el siglo XIX. [1] La idea principal que conduce a la geometría de la esfera de Lie es que las líneas (o planos) deben considerarse como círculos (o esferas) de radio infinito y que los puntos en el plano (o espacio) deben considerarse como círculos (o esferas). de radio cero.
El espacio de círculos en el plano (o esferas en el espacio), incluidos los puntos y las líneas (o planos) resulta ser una variedad conocida como la cuádrica de Lie (una hipersuperficie cuádrica en el espacio proyectivo ). La geometría de la esfera de Lie es la geometría de la cuadrática de Lie y las transformaciones de Lie que la conservan. Esta geometría puede ser difícil de visualizar porque las transformaciones de Lie no conservan los puntos en general: los puntos se pueden transformar en círculos (o esferas).
Para manejar esto, las curvas en el plano y las superficies en el espacio se estudian utilizando sus elevaciones de contacto , que están determinadas por sus espacios tangentes . Esto proporciona una realización natural del círculo osculante a una curva y las esferas de curvatura de una superficie. También permite un tratamiento natural de los ciclidos de Dupin y una solución conceptual del problema de Apolonio .
La geometría de la esfera de mentira se puede definir en cualquier dimensión, pero el caso del plano y el espacio tridimensional son los más importantes. En el último caso, Lie notó una notable similitud entre el Lie quadric de esferas en 3 dimensiones, y el espacio de líneas en el espacio proyectivo tridimensional, que también es una hipersuperficie cuádrica en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, llamado Plücker. o cuádruple de Klein . Esta similitud llevó a Lie a su famosa "correspondencia línea-esfera" entre el espacio de líneas y el espacio de esferas en un espacio tridimensional. [2]
La observación clave que lleva a la geometría de la esfera de Lie es que los teoremas de la geometría euclidiana en el plano (resp. En el espacio) que solo dependen de los conceptos de círculos (resp. Esferas) y su contacto tangencial tienen una formulación más natural en una forma más general . contexto en el que círculos, líneas y puntos (respectivamente esferas, planos y puntos) se tratan en pie de igualdad. Esto se logra en tres pasos. Primero, se agrega un punto ideal en el infinito al espacio euclidiano para que las líneas (o planos) puedan considerarse como círculos (o esferas) que pasan por el punto en el infinito (es decir, que tienen un radio infinito ). Esta extensión se conoce comogeometría inversa con automorfismos conocidos como "transformaciones de Mobius". En segundo lugar, los puntos se consideran círculos (o esferas) de radio cero. Finalmente, por razones técnicas, los círculos (o esferas), incluidas las líneas (o planos) reciben orientaciones .
Estos objetos, es decir, los puntos, círculos orientados y líneas orientadas en el plano, o los puntos, esferas orientadas y planos orientados en el espacio, a veces se denominan ciclos o ciclos de Lie. Resulta que forman una hipersuperficie cuadrática en un espacio proyectivo de dimensión 4 o 5, que se conoce como el cuadrático de Lie. Las simetrías naturales de esta cuadrática forman un grupo de transformaciones conocidas como transformaciones de Lie. Estas transformaciones no conservan puntos en general: son transformaciones del cuádrice de Lie, no del plano / esfera más el punto en el infinito. Las transformaciones que preservan el punto son precisamente las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Lie que fijan el punto ideal en el infinito son lasTransformaciones de Laguerre de la geometría de Laguerre . Estos dos subgrupos generan el grupo de transformaciones de Lie, y su intersección son las transformadas de Möbius que fijan el punto ideal en el infinito, es decir, los mapas conformes afines.
