En matemáticas , un espacio topológico X es secuencialmente compacto si cada secuencia de puntos en X tiene un convergente subsecuencia convergente a un punto en X .
Cada espacio métrico es naturalmente un espacio topológico, y para los espacios métricos, las nociones de compacidad y compacidad secuencial son equivalentes (si se supone una elección contable ). Sin embargo, existen espacios topológicos secuencialmente compactos que no son compactos, y espacios topológicos compactos que no son secuencialmente compactos.
Ejemplos y propiedades
El espacio de todos los números reales con la topología estándar no es secuencialmente compacto; la secuencia ( s n ) dada por s n = n para todos los números naturales n es una secuencia que no tiene subsecuencia convergente.
Si un espacio es un espacio métrico , entonces es secuencialmente compacto si y solo si es compacto . [1] El primer ordinal incontable con la topología de orden es un ejemplo de un espacio topológico secuencialmente compacto que no es compacto. El producto decopias del intervalo de unidad cerrada es un ejemplo de un espacio compacto que no es secuencialmente compacto. [2]
Nociones relacionadas
Se dice que un espacio topológico X es compacto de punto límite si cada subconjunto infinito de X tiene un punto límite en X , y compacta numerable si cada cubierta abierta contable tiene una sub cubierta finita. En un espacio métrico , las nociones de compacidad secuencial, compacidad del punto límite, compacidad contable y compacidad son todas equivalentes (si se asume el axioma de elección ).
En un espacio secuencial (Hausdorff), la compacidad secuencial es equivalente a la compacidad contable. [3]
También existe la noción de una compactación secuencial de un punto: la idea es que las secuencias no convergentes deberían converger todas hacia el punto extra. [4]
Ver también
- Teorema de Bolzano-Weierstrass : una secuencia acotada en el espacio euclidiano de dimensión finita tiene una subsecuencia convergente
- Espacio Fréchet-Urysohn
- Mapas de cobertura de secuencia
- Espacio secuencial : un espacio topológico que se puede caracterizar en términos de secuencias.
Notas
- ^ Willard, 17G, p. 125.
- ^ Steen y Seebach, ejemplo 105 , págs. 125-126.
- ^ Engelking, Topología general, Teorema 3.10.31
KP Hart, Jun-iti Nagata, JE Vaughan (editores), Enciclopedia de topología general, Capítulo d3 (por P. Simon) - ^ Brown, Ronald, "Mapas secuencialmente adecuados y una compactación secuencial", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.
Referencias
- Munkres, James (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr .; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.