En matemáticas, el principio de absorción limitante (LAP) es un concepto de la teoría del operador y la teoría de la dispersión que consiste en elegir el resolutivo "correcto" de un operador lineal en el espectro esencial en función del comportamiento del resolutivo cerca del espectro esencial. El término se utiliza a menudo para indicar que el resolutivo, cuando no se considera en el espacio original (que suele ser elespacio ), pero en ciertos espacios ponderados (generalmente, ver más abajo), tiene un límite cuando el parámetro espectral se acerca al espectro esencial. Este concepto se desarrolló a partir de la idea de introducir parámetros complejos en la ecuación de Helmholtz. para seleccionar soluciones particulares. Esta idea se le atribuye a Vladimir Ignatowski , quien estaba considerando la propagación y absorción de las ondas electromagnéticas en un cable. [1] La relación con la absorción se remonta a la expresión para el campo eléctrico utilizado por Ignatowsky: la absorción corresponde a una parte imaginaria distinta de cero , y la ecuación satisfecha por viene dada por la ecuación de Helmholtz (o ecuación de onda reducida ), con que tiene una parte imaginaria distinta de cero (y por lo tanto ya no pertenece al espectro de ).
Se puede considerar al operador de Laplace en una dimensión, que es un operador ilimitado actuando en y definido en el dominio , el espacio Sobolev . Describamos su resolutivo ,. Dada la ecuación
- ,
luego, para el parámetro espectral del conjunto resolutivo , la solución es dado por dónde es la convolución de f con la solución fundamental G :
donde la solución fundamental viene dada por
Para obtener un operador acotado en , se necesita usar la rama de la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva (que decae para un valor absoluto grande de x ), de modo que la convolución de G con tiene sentido.
También se puede considerar el límite de la solución fundamental como se acerca al espectro de , dada por . Asumir que enfoques , Con algo . Dependiendo de si enfoques en el plano complejo desde arriba () o desde abajo () del eje real, habrá dos expresiones limitantes diferentes: Cuándo enfoques desde arriba y Cuándo enfoques desde abajo. El resolutivo (convolución con ) corresponde a ondas salientes de la ecuación de Helmholtz no homogénea , tiempo corresponde a las ondas entrantes. Esto está directamente relacionado con el principio de amplitud límite : para encontrar qué solución corresponde a las ondas salientes, se considera la ecuación de onda no homogénea
con cero datos iniciales . Una solución particular a la ecuación de Helmholtz no homogénea correspondiente a las ondas salientes se obtiene como el límite depor grandes tiempos. [2]
Dejar ser un operador lineal en un espacio de Banach , definido en el dominio . Para los valores del parámetro espectral del conjunto resolutivo del operador,, el resolutivo está acotado cuando se considera como un operador lineal que actúa desde a sí mismo, , pero su límite depende del parámetro espectral y tiende al infinito como se acerca al espectro del operador, . Más precisamente, existe la relación
Muchos científicos se refieren al "principio de absorción limitante" cuando quieren decir que el resolutivo de un operador particular A , cuando se considera que actúa en ciertos espacios ponderados, tiene un límite (y / o permanece uniformemente acotado) como parámetro espectral se acerca al espectro esencial, . Por ejemplo, en el ejemplo anterior del operador de Laplace en una dimensión,, definido en el dominio , por , ambos operadores con los granos integrales no están delimitados en (es decir, como operadores de a sí mismo), pero ambos estarán delimitados cuando se consideren operadores
donde los espacios se definen como espacios de funciones integrables localmente , de modo que su-norma,
es finito. [3] [4]