En matemáticas , el formalismo resolutivo es una técnica para aplicar conceptos desde el análisis complejo al estudio del espectro de operadores en espacios de Banach y espacios más generales. La justificación formal de las manipulaciones se puede encontrar en el marco del cálculo funcional holomórfico .
El resolutivo captura las propiedades espectrales de un operador en la estructura analítica del funcional . Dado un operador A , el resolutivo puede definirse como
Entre otros usos, el solvente se puede utilizar para resolver las ecuaciones integrales no homogéneas de Fredholm ; un enfoque comúnmente utilizado es una solución en serie, la serie de Liouville-Neumann .
El resolvente de A se puede utilizar para obtener directamente la información acerca de la descomposición espectral de A . Por ejemplo, supongamos que λ es un aislado valor propio en el espectro de A . Es decir, suponga que existe una curva cerrada simpleen el plano complejo que separa lambda del resto del espectro de la A . Entonces el residuo
define un operador de proyección en el λ espacio característico de A .
El Hille-Yosida teorema relaciona el resolvente a través de una transformada de Laplace a una integral sobre la uniparamétrica grupo de transformaciones generadas por A . [1] Así, por ejemplo, si A es un hermitiano , entonces U ( t ) = exp ( itA ) es un grupo de un solo parámetro de operadores unitarios. El resolutivo de iA se puede expresar como la transformada de Laplace
Historia
El primer uso importante del operador resolutivo como una serie en A (cf. Serie Liouville-Neumann ) fue por Ivar Fredholm , en un artículo histórico de 1903 en Acta Mathematica que ayudó a establecer la teoría del operador moderno .
El nombre resolutivo fue dado por David Hilbert .
Identidad resolutiva
Para todo z, w en ρ ( A ) , el conjunto resolutivo de un operador A , tenemos que la primera identidad resolutiva (también llamada identidad de Hilbert) se cumple: [2]
(Tenga en cuenta que Dunford y Schwartz, citados, definen el resolutivo como ( zI −A ) −1 , en cambio, de modo que la fórmula anterior difiere en signo del de ellos).
La segunda identidad resolutiva es una generalización de la primera identidad resolutiva anterior, útil para comparar los resolutivos de dos operadores distintos. Dados los operadores A y B , ambos definidos en el mismo espacio lineal, yz en ρ ( A ) ∩ ρ ( B ) se cumple la siguiente identidad, [3]
Resolutivo compacto
Al estudiar un operador ilimitado A : H → H en un espacio de Hilbert H , si existe tal que es un operador compacto , decimos que A tiene resolutivo compacto. El espectrode tal A es un subconjunto discreto de. Si además A es autoadjunto , entonces y existe una base ortonormal de autovectores de A con autovaloresrespectivamente. También,no tiene un punto de acumulación finito . [4]
Ver también
Referencias
- Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988), Operadores lineales, Parte I Teoría general , Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
- Fredholm, Erik I. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007 / bf02421317
- Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1957), Análisis funcional y semigrupos , Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1031-6.
- Kato, Tosio (1980), Teoría de la perturbación para operadores lineales (2a ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5.
- Taylor, Michael E. (1996), Ecuaciones diferenciales parciales I , Nueva York, NY: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4