La constante matemática e se puede representar de diversas formas como un número real . Dado que e es un número irracional (vea la prueba de que e es irracional ), no se puede representar como el cociente de dos números enteros , pero se puede representar como una fracción continua . Usando el cálculo , e también puede representarse como una serie infinita , un producto infinito u otros tipos de límites de una secuencia .
Como una fracción continua Euler demostró que el número e se representa como la fracción continua infinita simple [1] (secuencia A003417 en la OEIS ):
mi = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , ... , 1 , 2 norte , 1 , ... ] . {\ displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots, 1,2n, 1, \ ldots].} Su convergencia se puede triplicar [ aclaración necesaria ] [ cita requerida ] permitiendo solo un número fraccionario:
mi = [ 1 ; 1 / 2 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , 60 , 17 , ... , 4 ( 4 norte - 1 ) , 4 norte + 1 , ... ] . {\ displaystyle e = [1; 1 / 2,12,5,28,9,44,13,60,17, \ ldots, 4 (4n-1), 4n + 1, \ ldots].} Aquí hay algunas expansiones de fracciones continuas generalizadas infinitas de e . El segundo se genera a partir del primero mediante una simple transformación de equivalencia .
mi = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + ⋱ = 2 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + ⋱ {\ Displaystyle e = 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {2} {3 + {\ cfrac {3} {4 + {\ cfrac {4} { 5+ \ ddots}}}}}}}}}} = 2 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {3} {3 + {\ cfrac {4} {4 + {\ cfrac {5} {5 + {\ cfrac {6} {6+ \ ddots \,}}}}}}}}}}} mi = 2 + 1 1 + 2 5 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ = 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ {\ Displaystyle e = 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {2} {5 + {\ cfrac {1} {10 + {\ cfrac {1} {14 + {\ cfrac {1} { 18+ \ ddots \,}}}}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {10 + {\ cfrac { 1} {14 + {\ cfrac {1} {18+ \ ddots \,}}}}}}}}}}} Este último, equivalente a [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...], es un caso especial de una fórmula general para la función exponencial :
mi X / y = 1 + 2 X 2 y - X + X 2 6 y + X 2 10 y + X 2 14 y + X 2 18 y + ⋱ {\ displaystyle e ^ {x / y} = 1 + {\ cfrac {2x} {2y-x + {\ cfrac {x ^ {2}} {6y + {\ cfrac {x ^ {2}} {10y + {\ cfrac {x ^ {2}} {14y + {\ cfrac {x ^ {2}} {18y + \ ddots}}}}}}}}}}}
Como una serie infinita El número e se puede expresar como la suma de las siguientes series infinitas :
mi X = ∑ k = 0 ∞ X k k ! {\ Displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}}} para cualquier número real x . En el caso especial donde x = 1 o −1, tenemos:
mi = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! {\ Displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}}} , [2] y mi - 1 = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k k ! . {\ Displaystyle e ^ {- 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.} Otras series incluyen las siguientes:
mi = [ ∑ k = 0 ∞ 1 - 2 k ( 2 k ) ! ] - 1 {\ Displaystyle e = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1-2k} {(2k)!}} \ right] ^ {- 1}} [3] mi = 1 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 k ! {\ Displaystyle e = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k + 1} {k!}}} mi = 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 ) ! {\ Displaystyle e = 2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k + 1} {(2k + 1)!}}} mi = ∑ k = 0 ∞ 3 - 4 k 2 ( 2 k + 1 ) ! {\ Displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {3-4k ^ {2}} {(2k + 1)!}}} mi = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k ) 2 + 1 ( 3 k ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k + 1 ) 2 + 1 ( 3 k + 1 ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k + 2 ) 2 + 1 ( 3 k + 2 ) ! {\ Displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(3k) ^ {2} +1} {(3k)!}} = \ sum _ {k = 0} ^ { \ infty} {\ frac {(3k + 1) ^ {2} +1} {(3k + 1)!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(3k + 2) ) ^ {2} +1} {(3k + 2)!}}} mi = [ ∑ k = 0 ∞ 4 k + 3 2 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! ] 2 {\ Displaystyle e = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {4k + 3} {2 ^ {2k + 1} \, (2k + 1)!}} \ right] ^ {2}} mi = ∑ k = 0 ∞ k norte B norte ( k ! ) {\ Displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {n}} {B_ {n} (k!)}}} dónde B norte {\ Displaystyle B_ {n}} es el n º número de Bell . La consideración de cómo poner límites superiores en e conduce a esta serie descendente:
mi = 3 - ∑ k = 2 ∞ 1 k ! ( k - 1 ) k = 3 - 1 4 - 1 36 - 1 288 - 1 2400 - 1 21600 - 1 211680 - 1 2257920 - ⋯ {\ Displaystyle e = 3- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k! (k-1) k}} = 3 - {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {36}} - {\ frac {1} {288}} - {\ frac {1} {2400}} - {\ frac {1} {21600}} - {\ frac {1 } {211680}} - {\ frac {1} {2257920}} - \ cdots} que da al menos un dígito correcto (o redondeado) por término. Es decir, si 1 ≤ n , entonces
mi < 3 - ∑ k = 2 norte 1 k ! ( k - 1 ) k < mi + 0,6 ⋅ 10 1 - norte . {\ Displaystyle e <3- \ sum _ {k = 2} ^ {n} {\ frac {1} {k! (k-1) k}} De manera más general, si x no está en {2, 3, 4, 5, ...}, entonces
mi X = 2 + X 2 - X + ∑ k = 2 ∞ - X k + 1 k ! ( k - X ) ( k + 1 - X ) . {\ Displaystyle e ^ {x} = {\ frac {2 + x} {2-x}} + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {-x ^ {k + 1}} {k! (kx) (k + 1-x)}} \ ,.}
Como un producto infinito El número e también se da por varios productos infinitas formas incluyendo Pippenger producto 's
mi = 2 ( 2 1 ) 1 / 2 ( 2 3 4 3 ) 1 / 4 ( 4 5 6 5 6 7 8 7 ) 1 / 8 ⋯ {\ Displaystyle e = 2 \ left ({\ frac {2} {1}} \ right) ^ {1/2} \ left ({\ frac {2} {3}} \; {\ frac {4} { 3}} \ right) ^ {1/4} \ left ({\ frac {4} {5}} \; {\ frac {6} {5}} \; {\ frac {6} {7}} \ ; {\ frac {8} {7}} \ right) ^ {1/8} \ cdots} y el producto de Guillera [4] [5]
mi = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 2 2 1 ⋅ 3 ) 1 / 2 ( 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 ) 1 / 3 ( 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ) 1 / 4 ⋯ , {\ Displaystyle e = \ left ({\ frac {2} {1}} \ right) ^ {1/1} \ left ({\ frac {2 ^ {2}} {1 \ cdot 3}} \ right) ^ {1/2} \ left ({\ frac {2 ^ {3} \ cdot 4} {1 \ cdot 3 ^ {3}}} \ right) ^ {1/3} \ left ({\ frac {2 ^ {4} \ cdot 4 ^ {4}} {1 \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5}} \ right) ^ {1/4} \ cdots,} donde el n- ésimo factor es la n- ésima raíz del producto
∏ k = 0 norte ( k + 1 ) ( - 1 ) k + 1 ( norte k ) , {\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n \ Choose k}},} así como el producto infinito
mi = 2 ⋅ 2 ( en ( 2 ) - 1 ) 2 ⋯ 2 en ( 2 ) - 1 ⋅ 2 ( en ( 2 ) - 1 ) 3 ⋯ . {\ Displaystyle e = {\ frac {2 \ cdot 2 ^ {(\ ln (2) -1) ^ {2}} \ cdots} {2 ^ {\ ln (2) -1} \ cdot 2 ^ {( \ ln (2) -1) ^ {3}} \ cdots}}.} De manera más general, si 1 < B < e 2 (que incluye B = 2, 3, 4, 5, 6 o 7), entonces
mi = B ⋅ B ( en ( B ) - 1 ) 2 ⋯ B en ( B ) - 1 ⋅ B ( en ( B ) - 1 ) 3 ⋯ . {\ Displaystyle e = {\ frac {B \ cdot B ^ {(\ ln (B) -1) ^ {2}} \ cdots} {B ^ {\ ln (B) -1} \ cdot B ^ {( \ ln (B) -1) ^ {3}} \ cdots}}.}
Como límite de una secuencia
En trigonometría Trigonométricamente, e se puede escribir en términos de la suma de dos funciones hiperbólicas ,
mi X = pecado ( X ) + aporrear ( X ) , {\ Displaystyle e ^ {x} = \ sinh (x) + \ cosh (x),} en x = 1 .
Notas ^ Sandifer, Ed (febrero de 2006). "¿Cómo lo hizo Euler? ¿Quién demostró que e es irracional?" (PDF) . MAA en línea . Consultado el 23 de abril de 2017 . ^ Brown, Stan (27 de agosto de 2006). "Es la ley también - las leyes de los logaritmos" . Oak Road Systems. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2008 . Consultado el 14 de agosto de 2008 . ^ Fórmulas 2-7: HJ Brothers , Mejora de la convergencia de la aproximación de la serie de Newton para e , The College Mathematics Journal , vol. 35, núm. 1, (2004), págs. 34–39. ^ J. Sondow, Un producto más rápido para pi y una nueva integral para ln pi / 2 , Amer. Matemáticas. Mensual 112 (2005) 729–734. ^ J. Guillera y J. Sondow, Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas a través de continuaciones analíticas del trascendente de Lerch , Ramanujan Journal 16 (2008), 247-270. ^ HJ Brothers y JA Knox, Nuevas aproximaciones de forma cerrada a la constante logarítmica e , The Mathematical Intelligencer , vol. 20, núm. 4, (1998), págs. 25-29. ^ SM Ruiz 1997