El término matemático gavillas perversas se refiere a una cierta categoría abeliana asociada a un espacio topológico X , que puede ser una variedad real o compleja , o un espacio más general estratificado topológicamente , generalmente singular. Este concepto fue introducido en la tesis de Zoghman Mebkhout , ganando más popularidad después del trabajo (independiente) de Joseph Bernstein , Alexander Beilinson y Pierre Deligne (1982) como una formalización de la correspondencia Riemann-Hilbert , que relacionaba la topología de espacios singulares. ( homología de intersección deMark Goresky y Robert MacPherson ) y la teoría algebraica de ecuaciones diferenciales ( cálculo microlocal y módulos D holonómicos de Joseph Bernstein , Masaki Kashiwara y Takahiro Kawai ). Desde el principio quedó claro que las poleas perversas son objetos matemáticos fundamentales en la encrucijada de la geometría algebraica , la topología , el análisis y las ecuaciones diferenciales . También juegan un papel importante en la teoría de números , el álgebra y la teoría de la representación . Las propiedades que caracterizan las poleas perversas ya aparecieron en el artículo de Kashiwara de los años 75 sobre la constructibilidad de soluciones de módulos D holonómicos .
Observaciones preliminares
El nombre de gavilla perversa proviene de una traducción aproximada del francés "faisceaux pervers". [1] La justificación es que las gavillas perversas son complejos de gavillas que tienen varias características en común con las gavillas: forman una categoría abeliana, tienen cohomología , y para construir una, basta con construirla localmente en todas partes. El adjetivo "perversos" se origina en la teoría de la homología de la intersección , [2] y su origen fue explicado por Goresky (2010) .
La definición de Beilinson-Bernstein-Deligne de una gavilla perversa procede a través de la maquinaria de categorías trianguladas en el álgebra homológica y tiene un sabor algebraico muy fuerte, aunque los principales ejemplos que surgen de la teoría de Goresky-MacPherson son de naturaleza topológica porque los objetos simples en la categoría de las poleas perversas son los complejos de cohomología de intersección. Esto motivó a MacPherson a reformular toda la teoría en términos geométricos sobre la base de la teoría Morse . Para muchas aplicaciones de la teoría de la representación, las poleas perversas pueden tratarse como una "caja negra", una categoría con ciertas propiedades formales.
Definición y ejemplos
Una gavilla perversa es un objeto C de la categoría derivada acotada de gavillas con cohomología constructible en un espacio X tal que el conjunto de puntos x con
- o
tiene dimensión como máximo 2 i , para todo i . Aquí j x es el mapa de inclusión del punto x .
Si X es suave y en todas partes de dimensión d , entonces
es una gavilla perversa para cualquier sistema local . [3] Si X es un esquema de intersección plano, localmente completo (por ejemplo, regular) sobre un anillo de valoración discreto henseliano , entonces la gavilla constante se desplazó pores una gavilla étale perversa. [4]
Propiedades
La categoría de gavillas perversas es una subcategoría abeliana de la categoría derivada (no abeliana) de gavillas, igual al núcleo de una estructura t adecuada , y se conserva mediante la dualidad de Verdier .
La categoría derivado delimitada de poleas l-adic perjudiciales en un esquema X es equivalente a la categoría derivado de poleas construibles y de manera similar para poleas en el espacio analítico complejo asociado a un esquema X / C . [5]
Aplicaciones
Las poleas perversas son una herramienta fundamental para la geometría de espacios singulares. Por lo tanto, se aplican en una variedad de áreas matemáticas. En la correspondencia de Riemann-Hilbert , las poleas perversas corresponden a módulos D holonómicos regulares . Esta solicitud establece la noción de gavilla perversa como algo que ocurre "en la naturaleza". El teorema de la descomposición , una extensión de gran alcance de la descomposición dura del teorema de Lefschetz , requiere el uso de poleas perversas. Los módulos de Hodge son, en términos generales, un refinamiento teórico de Hodge de haces perversos. La equivalencia geométrica de Satake identifica gavillas perversas equivariantes en el Grassmanniano afín. con representaciones del grupo dual Langlands de un grupo reductor G - ver Mirković & Vilonen (2007) . En Kiehl y Weissauer (2001) se da una prueba de las conjeturas de Weil utilizando gavillas perversas .
Teoria de las cuerdas
Los campos sin masa en las compactaciones de supercuerdas se han identificado con clases de cohomología en el espacio objetivo (es decir, espacio de Minkowski de cuatro dimensiones con una variedad de Calabi-Yau (CY) de seis dimensiones ). La determinación del contenido de materia e interacción requiere un análisis detallado de la (co) homología de estos espacios: casi todos los campos sin masa en el modelo de física efectiva están representados por ciertos elementos de (co) homología. Sin embargo, se produce una consecuencia preocupante cuando el espacio objetivo es singular . Un espacio objetivo singular significa que solo la variedad CY es singular, ya que el espacio de Minkowski es uniforme. Una variedad CY singular de este tipo se llama coníptico, ya que es una variedad CY que admite singularidades cónicas . Andrew Strominger observó (A. Strominger, 1995) que las coníferas corresponden a agujeros negros sin masa . Los conifolds son objetos importantes en la teoría de cuerdas: Brian Greene explica la física de los conifolds en el capítulo 13 de su libro The Elegant Universe, incluido el hecho de que el espacio puede romperse cerca del cono y su topología puede cambiar. Estos espacios de destino singulares, es decir, conípticos, corresponden a ciertas degeneraciones leves de variedades algebraicas que aparecen en una gran clase de teorías supersimétricas , incluida la teoría de supercuerdas (E. Witten, 1982). Esencialmente, las diferentes teorías de cohomología en espacios de destino singulares producen resultados diferentes, lo que dificulta determinar qué teoría puede favorecer la física. Varias características importantes de la cohomología, que corresponden a los campos sin masa, se basan en las propiedades generales de las teorías de campo, específicamente, las teorías de campo de la hoja del mundo bidimensional supersimétrica (2,2) . Estas propiedades, conocidas como el paquete Kähler (T. Hubsch, 1992), deberían ser válidas para espacios objetivo singulares y uniformes. Paul Green y Tristan Hubsch (P. Green & T. Hubsch, 1988) determinaron que la forma en que se mueve entre espacios de destino CY singulares requiere moverse a través de una pequeña resolución o deformación de la singularidad (T. Hubsch, 1992) y se llamó es la "transición coníptica".
Tristan Hubsch (T. Hubsch, 1997) conjeturó lo que debería ser esta teoría de la cohomología para espacios objetivo singulares. Tristan Hubsch y Abdul Rahman (T. Hubsch y A. Rahman, 2005) trabajaron para resolver la conjetura de Hubsch analizando el caso no transversal del modelo sigma lineal calibrado de Witten (E. Witten, 1993) que induce una estratificación de estas variedades algebraicas. (denominada variedad de estado fundamental) en el caso de singularidades cónicas aisladas . Bajo ciertas condiciones se determinó que esta variedad de estado fundamental era un coníptico (P. Green & T. Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) con singularidades cónicas aisladas sobre una cierta base con una exocurva unidimensional (denominada exo-estratos ) adjunta en cada punto singular . T. Hubsch y A. Rahman determinaron la (co) homología de esta variedad de estados fundamentales en todas las dimensiones, la encontraron compatible con la simetría de espejo y la teoría de cuerdas, pero encontraron una obstrucción en la dimensión media (T. Hubsch y A. Rahman, 2005 ). Esta obstrucción requirió revisar la conjetura de Hubsch de una cohomología singular fibrosa (T. Hubsch, 1997). En el invierno de 2002, T. Hubsch y A. Rahman se reunieron con RM Goresky para discutir esta obstrucción y en discusiones entre RM Goresky y R. MacPherson , R. MacPherson hizo la observación de que había una gavilla tan perversa que podría tener la cohomología eso satisfizo la conjetura de Hubsch y resolvió la obstrucción . RM Goresky y T. Hubsch asesoraron al Ph.D. de A. Rahman. disertación sobre la construcción de una gavilla perversa auto-dual (A. Rahman, 2009) utilizando la construcción en zig-zag de MacPherson - Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). Esta gavilla perversa demostró la conjetura de Hübsch para las singularidades cónicas aisladas , satisfizo la dualidad de Poincarè y se alineó con algunas de las propiedades del paquete de Kähler. La satisfacción de todo el paquete de Kähler por esta gavilla Perverse para estratos de codimensión más alta sigue siendo un problema abierto. Markus Banagl (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) abordó la conjetura de Hubsch a través de espacios de intersección para estratos de codimensión superior inspirados en el trabajo de Hubsch (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green y T. Hubsch , 1988) y el ansatz original de A. Rahman (A. Rahman, 2009) para singularidades aisladas .
Ver también
- Módulo Hodge mixto
- Gavilla perversa mixta
- Homología de intersección
- Cohomología L²
- Conifold
- Teoria de las cuerdas
- Supersimetría
Notas
- ↑ Les faisceaux pervers n'etant ni des faisceaux, ni pervers, la terminologie requiert une explication. BBD, pág. 10
- ^ ¿Cuál es la etimología del término "gavilla perversa"? - MathOverflow
- ^ Beilinson, Bernstein y Deligne (1982 , Proposición 2.2.2, §4.0)
- ↑ Illusie (2003 , Corollaire 2.7)
- ↑ Beilinson (1987 , Teorema 1.3)
Referencias
- Andrea de Cataldo, Mark; Migliorini, Luca (2010). "¿Qué es una gavilla perversa?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 57 (5): 632–634. Señor 2664042 .
- Arinkin, Dmitry; Bezrukavnikov, Roman (2010). "Gavillas coherentes perversas". Revista Matemática de Moscú . 10 (1): 3-29. arXiv : 0902.0349 . Código bibliográfico : 2009arXiv0902.0349A . doi : 10.17323 / 1609-4514-2010-10-1-3-29 . Señor 2668828 . S2CID 14409918 .
- Beilinson, Alexander A. (1987), "Sobre la categoría derivada de haces perversos", teoría K, aritmética y geometría (Moscú, 1984-1986) , Lecture Notes in Mathematics, 1289 , Berlín: Springer, págs. 27-41 , doi : 10.1007 / BFb0078365 , ISBN 978-3-540-18571-0, MR 0923133
- Beilinson, Alexander A .; Bernstein, Joseph ; Deligne, Pierre (1982). "Perversos de Faisceaux". Astérisque (en francés). París: Société Mathématique de France . 100 . Señor 0751966 .
- Brasselet, Jean-Paul (2009), Introducción a la homología de intersección y poleas perversas , Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), MR 2533465
- Bremer, Christopher L .; Sage, Daniel S. (2013), "Condiciones de Serre generalizadas y gavillas coherentes perversas", Journal of Algebra , 392 : 85–96, arXiv : 1106.2616 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2013.06.018 , MR 3085024 , S2CID 14754630
- Goresky, Mark (2010). "¿Cuál es la etimología del término" gavilla perversa "?" .
- Illusie, Luc (2003). "Perversité et variación". Manuscripta Mathematica . 112 (3): 271–295. doi : 10.1007 / s00229-003-0407-z . Señor 2067039 . S2CID 122652995 .
- Kiehl, Reinhardt ; Weissauer, Rainer (2001), Conjeturas de Weil , haces perversos y transformada l'adic de Fourier , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 42 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41457-5, MR 1855066
- MacPherson, Robert (15 de diciembre de 1990). "Homología de intersección y poleas perversas" (PDF) (manuscrito inédito). Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Mirković, Ivan; Vilonen, Kari (2007), "Dualidad geométrica de Langlands y representaciones de grupos algebraicos sobre anillos conmutativos", Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95-143, arXiv : math / 0401222 , doi : 10.4007 / annals.2007.166 .95 , ISSN 0003-486X , MR 2342692 , S2CID 14127684
- Rietsch, Konstanze (2003). "Una introducción a las gavillas perversas". arXiv : math.RT / 0307349 .
- Beilinson, Alexander; Bernstein, Joseph; Deligne, Pierre; Gabber, Ofer (2018). Perversos de Faisceaux . Astérisque. 100 (2ª ed.). ISBN 978-2-85629-878-7.
- Strominger, Andrew (1995). "Agujeros negros sin masa y coníferas en la teoría de cuerdas". Física B nuclear . 451 (1–2): 96–108. arXiv : hep-th / 9504090 . Código Bibliográfico : 1995NuPhB.451 ... 96S . doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00287-3 . S2CID 6035714 .
- Witten, Edward (1982). "Supersimetría y teoría Morse" . Revista de geometría diferencial . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310 / jdg / 1214437492 .
- Witten, Edward (1993). "Fases de n = 2 teorías en dos dimensiones". Física B nuclear . 403 (1–2): 159–222. arXiv : hep-th / 9301042 . Código Bibliográfico : 1993NuPhB.403..159W . doi : 10.1016 / 0550-3213 (93) 90033-L . S2CID 16122549 .
- Green, Paul S .; Hübsch, Tristan (1988). "Conexión de espacios de módulos de Calabi-Yau triple". Comunicaciones en Física Matemática . 119 (3): 431–441. Código bibliográfico : 1988CMaPh.119..431G . doi : 10.1007 / BF01218081 . S2CID 119452483 .
- Hübsch, Tristan (1997). "Sobre una cohomología singular fibrosa". Modern Physics Letters A . A12 (8): 521–533. arXiv : hep-th / 9612075 . Código Bibliográfico : 1997MPLA ... 12..521H . doi : 10.1142 / S0217732397000546 . S2CID 11779832 .
- Hübsch, Tristan (1994). Colectores de Calabi-Yau: un bestiario para físicos . World Scientific. ISBN 978-981-02-1927-7.
- Hübsch, Tristan; Rahman, Abdul (2005). "Sobre la geometría y homología de ciertas variedades estratificadas simples". Revista de Geometría y Física . 53 (1): 31–48. arXiv : matemáticas.AG / 0210394 . Código bibliográfico : 2005JGP .... 53 ... 31H . doi : 10.1016 / j.geomphys.2004.04.010 . ISSN 0393-0440 . Señor 2102048 . S2CID 119584805 .
- MacPherson, Robert; Vilonen, Kari (1986). "Construcciones elementales de poleas perversas". Inventiones Mathematicae . 84 (2): 403–435. Código Bibliográfico : 1986InMat..84..403M . doi : 10.1007 / BF01388812 . S2CID 120183452 .
- Greene, Brian (2003). El Universo Elegante . Norton. ISBN 0-393-05858-1.
- Rahman, Abdul (2009). "Un enfoque de gavilla perversa hacia una teoría de cohomología para la teoría de cuerdas". Avances en Física Teórica y Matemática . 13 (3): 667–693. arXiv : 0704.3298 . doi : 10.4310 / ATMP.2009.v13.n3.a3 . S2CID 14787272 .
- Banagl, Markus (2010). Espacios de intersección, truncamiento de homología espacial y teoría de cuerdas . Apuntes de clase en matemáticas. 1997 . Saltador. ISBN 978-3-642-12588-1.
- Banagl, Markus; Budur, Nerón; Maxim, Laurențiu (2014). "Espacios de intersección, poleas perversas y teoría de cuerdas tipo IIB" . Avances en Física Teórica y Matemática . 18 (2): 363–399. arXiv : 1212.2196 . doi : 10.4310 / ATMP.2014.v18.n2.a3 . Señor 3273317 . S2CID 62773026 .