En matemáticas, una derivación de un anillo conmutativo se llama una derivación localmente nilpotente ( LND ) si cada elemento de es aniquilado por algún poder de .
Una motivación para el estudio de derivaciones localmente nilpotentes proviene del hecho de que algunos de los contraejemplos del decimocuarto problema de Hilbert se obtienen como los núcleos de una derivación en un anillo polinomial. [1]
Sobre un campo de característica cero, para dar una derivación localmente nilpotente en el dominio integral , generado finitamente sobre el campo, equivale a dar una acción del grupo aditivo a la variedad afín . En términos generales, una variedad afín que admite "muchas" acciones del grupo aditivo se considera similar a un espacio afín. [ vago ] [2]
Definición
Dejar ser un anillo . Recuerde que una derivación de es un mapa satisfaciendo la regla de Leibniz para cualquier . Sies un álgebra sobre un campo, adicionalmente requerimos ser - estar -lineal, entonces .
Una derivación se llama una derivación localmente nilpotente (LND) si para cada, existe un entero positivo tal que .
Si está calificado , decimos que una derivación localmente nilpotentees homogéneo (de grado) Si para cada .
El conjunto de derivaciones localmente nilpotentes de un anillo. se denota por . Tenga en cuenta que este conjunto no tiene una estructura obvia: tampoco está cerrado bajo la adición (por ejemplo, si, luego pero , entonces ) ni bajo multiplicación por elementos de (p.ej , pero ). Sin embargo, si luego implica [3] y si, luego .
Relación con -comportamiento
Dejar ser un álgebra sobre un campo de característica cero (p. ej. ). Entonces hay una correspondencia uno a uno entre los localmente nilpotentes-derivaciones en y las acciones del grupo aditivo de en la variedad afín , como sigue. [3] A-acción en corresponde a un -Homomorfismo de álgebra . Cualquiera tal determina una derivación localmente nilpotente de tomando su derivada en cero, es decir dónde denota la evaluación en . Por el contrario, cualquier derivación localmente nilpotente determina un homomorfismo por
Es fácil ver que las acciones conjugadas corresponden a derivaciones conjugadas, es decir, si y luego y
El algoritmo del kernel
El álgebra consta de las invariantes de la correspondiente -acción. Está algebraica y factorialmente cerrada en. [3] Un caso especial del decimocuarto problema de Hilbert pregunta si se genera de forma finita, o, si , si el cociente es afín. Según el teorema de la finitud de Zariski , [4] es cierto si. Por otro lado, esta pregunta no es trivial incluso para, . Parala respuesta, en general, es negativa. [5] El casoEsta abierto. [3]
Sin embargo, en la práctica sucede a menudo que se sabe que se genera finitamente: en particular, por el teorema de Maurer-Weitzenböck, [6] es el caso de LND lineales del álgebra polinómica sobre un campo de característica cero (por lineal queremos decir homogéneo de grado cero con respecto al estándar calificación).
Asumir se genera de forma finita. Si es un álgebra generada finitamente sobre un campo de característica cero, entonces se puede calcular utilizando el algoritmo de van den Essen, [7] de la siguiente manera. Elija una porción local , es decir, un elemento y pon . Dejarser el mapa de Dixmier dado por. Ahora para cada, eligió un número entero mínimo tal que , poner y definir inductivamente ser el subanillo de generado por . Por inducción, se demuestra que se generan finitamente y si luego , entonces para algunos . Encontrar los generadores de cada uno y comprobando si es un cálculo estándar que utiliza bases de Gröbner . [7]
Teorema de la rebanada
Asumir que admite una rebanada , es decir tal que . El teorema de la rebanada [3] afirma que es un álgebra polinomial y .
Para cualquier porción local podemos aplicar el teorema de la rebanada a la localización , y así obtener que es localmente un álgebra polinomial con una derivación estándar. En términos geométricos, si un cociente geométrico es afín (por ejemplo, cuando por el teorema de Zariski ), entonces tiene un subconjunto abierto de Zariski tal que es isomorfo sobre a , dónde actúa por traducción sobre el segundo factor.
Sin embargo, en general no es cierto que es localmente trivial. Por ejemplo, [8] deje. Luego es un anillo de coordenadas de una variedad singular, y las fibras del mapa del cociente sobre puntos singulares son bidimensionales.
Si luego es una curva. Para describir el-acción, es importante comprender la geometría . Suponga además que y eso es suave y contráctil (en cuyo casoes suave y también contráctil [9] ) y eligeser mínimo (con respecto a la inclusión). Entonces Kalimán demostró [10] que cada componente irreducible dees una curva polinomial , es decir, su normalización es isomorfa a. La curvapara la acción dada por la derivación (2,5) de Freudenburg (ver más abajo ) es una unión de dos líneas en, entonces puede no ser irreductible. Sin embargo, se conjetura quees siempre contractible . [11]
Ejemplos de
- Ejemplo 1
Las derivaciones de coordenadas estándar de un álgebra polinomial son localmente nilpotentes. El correspondiente-las acciones son traducciones: , por .
- Ejemplo 2 (derivación homogénea (2,5) de Freudenburg [12] )
Dejar , , y deja ser la derivación jacobiana . Luego y (ver más abajo ); es decir,no aniquila ninguna variable. El conjunto de puntos fijos del correspondiente-acción es igual a .
- Ejemplo 3
Considerar . La derivación localmente nilpotente de su anillo de coordenadas corresponde a una acción natural de en mediante la multiplicación a la derecha de matrices triangulares superiores. Esta accin da un no trivial-paquete sobre . Sin embargo, sientonces este paquete es trivial en la categoría suave [13]
LND del álgebra polinomial
Dejar ser un campo de característica cero (usando el teorema de Kambayashi uno puede reducir la mayoría de los resultados al caso [14] ) y dejar ser un álgebra polinomial.
(-acciones en un plano afín)
- Teorema de Rentschler
Cada LND de se puede conjugar a para algunos . Este resultado está estrechamente relacionado con el hecho de que todo automorfismo de un plano afín es dócil y no se sostiene en dimensiones superiores. [15]
(-acciones en un 3-espacio afín)
- Teorema de Miyanishi
El núcleo de cada LND no trivial de es isomorfo a un anillo polinomial en dos variables; es decir, un conjunto de puntos fijos de todos los elementos no triviales-acción en es isomorfo a . [16] [17]
En otras palabras, para cada allí existe tal que (pero, en contraste con el caso , no es necesariamente un anillo polinomial sobre ). En este caso, es una derivación jacobiana: . [18]
- Teorema de Zurkowski
Asumir que y es homogéneo en relación con alguna calificación positiva de tal que son homogéneos. Luego para algunos homogéneos . Además, [18] si son relativamente primos, entonces también son relativamente importantes. [19] [3]
- Teorema de bonnet
Un morfismo cociente de un -La acción es sobreyectiva . En otras palabras, para cada, la incrustación induce un morfismo sobreyectivo . [20] [10]
Esto ya no es cierto para , por ejemplo, la imagen de un mapa de cocientes por un -acción (que corresponde a un LND dado por es igual a .
- Kaliman 's teorema
Cada acción libre de punto fijo de en se conjuga con una traducción. En otras palabras, cada tal que la imagen de genera la unidad ideal (o, de manera equivalente, define un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte), admite un segmento. Este resultado responde a una de las conjeturas de la lista de Kraft . [10]
Nuevamente, este resultado no es cierto para : [21] p . Ej., Considere el. Los puntos y están en la misma órbita del correspondiente -acción si y solo si ; por lo tanto, el cociente (topológico) no es ni siquiera de Hausdorff, y mucho menos homeomorfo para.
- Teorema del ideal principal
Dejar . Luegoes fielmente plana sobre. Además, el ideales principal en. [14]
Derivaciones triangulares
Dejar ser cualquier sistema de variables de ; es decir,. Una derivación dese llama triangular con respecto a este sistema de variables, si y por . Una derivación se llama triangulable si está conjugada con una triangular o, de manera equivalente, si es triangular con respecto a algún sistema de variables. Toda derivación triangular es localmente nilpotente. Lo contrario es cierto para por el teorema de Rentschler anterior, pero no es cierto para .
- El ejemplo de Bass
La derivación de dada por no es triangulable. [22] De hecho, el conjunto de puntos fijos del correspondiente-la acción es un cono cuádrico , mientras que por el resultado de Popov, [23] un conjunto de puntos fijos de un triangulable-la acción es isomorfa a por alguna variedad afín ; y por tanto no puede tener una singularidad aislada.
- Teorema de Freudenburg
La condición geométrica necesaria anterior fue generalizada más tarde por Freudenburg. [24] Para expresar su resultado, necesitamos la siguiente definición:
Una broma de es un número máximo tal que existe un sistema de variables tal que . Definir como menos el corank de .
Tenemos y si y solo si en algunas coordenadas, para algunos . [24]
Teorema: Si es triangulable, entonces cualquier hipersuperficie contenida en el conjunto de puntos fijos del correspondiente -la acción es isomorfa a . [24]
En particular, LND de rango máximo no puede ser triangulable. Tales derivaciones existen para: el primer ejemplo es la derivación homogénea (2,5) (ver arriba), y se puede generalizar fácilmente a cualquier. [12]
Invariante de Makar-Limanov
La intersección de los núcleos de todas las derivaciones localmente nilpotentes del anillo de coordenadas o, de manera equivalente, el anillo de invariantes de todos -acciones, se llama "invariante de Makar-Limanov" y es un invariante algebraico importante de una variedad afín. Por ejemplo, es trivial para un espacio afín; pero para el triple cúbico Koras-Russell , que es difeomórfico a, No lo es. [25]
Referencias
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Otras lecturas
- A Nowicki, el decimocuarto problema de hilbert para derivaciones polinomiales