En matemáticas , el decimocuarto problema de Hilbert , es decir, el número 14 de los problemas de Hilbert propuestos en 1900, se pregunta si ciertas álgebras se generan de forma finita .
La configuración es la siguiente: suponga que k es un campo y sea K un subcampo del campo de funciones racionales en n variables,
- k ( x 1 , ..., x n ) sobre k .
Considere ahora la k -álgebra R definida como la intersección
Hilbert conjeturó que todas esas álgebras se generan de forma finita sobre k .
Después de que se obtuvieron algunos resultados que confirmaban la conjetura de Hilbert en casos especiales y para ciertas clases de anillos (en particular, la conjetura fue probada incondicionalmente para n = 1 yn = 2 por Zariski en 1954), en 1959 Masayoshi Nagata encontró un contraejemplo a la conjetura de Hilbert. El contraejemplo de Nagata es un anillo de invariantes adecuadamente construido para la acción de un grupo algebraico lineal .
Historia
El problema surgió originalmente en la teoría invariante algebraica . Aquí el anillo R se da como un anillo (adecuadamente definido) de invariantes polinomiales de un grupo algebraico lineal sobre un campo k que actúa algebraicamente sobre un anillo polinomial k [ x 1 , ..., x n ] (o más generalmente, sobre un álgebra generada finitamente definida sobre un campo). En esta situación el campo K es el campo de funciones racionales (cocientes de polinomios) en las variables x i que son invariantes bajo la acción dada del grupo algebraico, el anillo R es el anillo de polinomios que son invariantes bajo la acción. Un ejemplo clásico en el siglo XIX fue el extenso estudio (en particular por Cayley , Sylvester , Clebsch , Paul Gordan y también Hilbert) de invariantes de formas binarias en dos variables con la acción natural del grupo lineal especial SL 2 ( k ) sobre él. . El propio Hilbert demostró la generación finita de anillos invariantes en el caso del campo de números complejos para algunos grupos de Lie semi-simples clásicos (en particular el grupo lineal general sobre los números complejos) y acciones lineales específicas sobre anillos polinomiales, es decir, acciones provenientes de representaciones de dimensión finita del grupo de Lie. Este resultado de finitud fue ampliado más tarde por Hermann Weyl a la clase de todos los grupos de Lie semi-simples. Un ingrediente importante en la demostración de Hilbert es el teorema de la base de Hilbert aplicado al ideal dentro del anillo polinomial generado por las invariantes.
Formulación de Zariski
La formulación de Zariski del decimocuarto problema de Hilbert pregunta si, para una variedad algebraica cuasi afín X sobre un campo k , posiblemente asumiendo X normal o suave , el anillo de funciones regulares en X se genera finitamente sobre k .
Se demostró que la formulación de Zariski [1] es equivalente al problema original, para X normal. (Véase también: teorema de finitud de Zariski .)
Éfendiev FF (Fuad Efendi) proporcionó un algoritmo simétrico que genera una base de invariantes de formas n-arias de grado r. [2]
El contraejemplo de Nagata
Nagata (1958) dio el siguiente contraejemplo al problema de Hilbert. El campo k es un campo que contiene 48 elementos a 1 i , ..., a 16 i , para i = 1, 2, 3 que son algebraicamente independientes sobre el campo primo. El anillo R es el anillo polinomial k [ x 1 , ..., x 16 , t 1 , ..., t 16 ] en 32 variables. El espacio vectorial V es un espacio vectorial de 13 dimensiones sobre k que consta de todos los vectores ( b 1 , ..., b 16 ) en k 16 ortogonales a cada uno de los tres vectores ( a 1 i , ..., a 16 i ) para i = 1, 2, 3. El espacio vectorial V es un grupo algebraica unipotente conmutativa 13-dimensional bajo la adición, y sus elementos actúan en R mediante la fijación de todos los elementos t j y teniendo x j a x j + b j t j . Entonces, el anillo de elementos de R invariante bajo la acción del grupo V no es un k -álgebra finitamente generada .
Varios autores han reducido los tamaños del grupo y el espacio vectorial en el ejemplo de Nagata. Por ejemplo, Totaro (2008) mostró que sobre cualquier campo hay una acción de la suma G3
ade tres copias del grupo aditivo en k 18 cuyo anillo de invariantes no se genera finitamente.
Ver también
Referencias
- Bibliografía
- Nagata, Masayoshi (1960), "Sobre el decimocuarto problema de Hilbert" , Proc. Internat. Congreso de Matemáticas. 1958 , Cambridge University Press , págs. 459–462, MR 0116056 , archivado desde el original el 17 de julio de 2011
- Nagata, Masayoshi (1965), Conferencias sobre el decimocuarto problema de Hilbert (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 31 , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0215828
- Totaro, Burt (2008), "El problema número 14 de Hilbert sobre campos finitos y una conjetura sobre el cono de curvas", Compositio Mathematica , 144 (5): 1176-1198, arXiv : 0808.0695 , doi : 10.1112 / S0010437X08003667 , ISSN 0010-437X , MR 2457523
- O. Zariski, Interpretations algebrico-geometriques du quatorzieme probleme de Hilbert , Bulletin des Sciences Mathematiques 78 (1954), págs. 155-168.
- Notas al pie
- ^ Winkelmann, Jörg (2003), "Anillos invariantes y cocientes cuasiafines", Math. Z. , 244 (1): 163-174, arXiv : math / 0007076 , doi : 10.1007 / s00209-002-0484-9 .
- ^ Éfendiev, FF (1992). "Construcción explícita de elementos del anillo S (n, r) de invariantes de formas n-arias de grado R". Notas matemáticas . 51 (2): 204–207. doi : 10.1007 / BF02102130 .