En matemáticas , el decimocuarto problema de Hilbert , es decir, el número 14 de los problemas de Hilbert propuestos en 1900, pregunta si ciertas álgebras son finitamente generadas .
El ajuste es el siguiente: Supongamos que k es un campo y sea K un subcampo del campo de funciones racionales en n variables,
Después de que se obtuvieron algunos resultados que confirmaban la conjetura de Hilbert en casos especiales y para ciertas clases de anillos (en particular, la conjetura fue probada incondicionalmente para n = 1 y n = 2 por Zariski en 1954), en 1959 Masayoshi Nagata encontró un contraejemplo a la conjetura de Hilbert. El contraejemplo de Nagata es un anillo de invariantes convenientemente construido para la acción de un grupo algebraico lineal .
El problema surgió originalmente en la teoría de la invariante algebraica . Aquí, el anillo R se da como un anillo (adecuadamente definido) de invariantes polinómicos de un grupo algebraico lineal sobre un campo k que actúa algebraicamente sobre un anillo polinomial k [ x 1 , ..., x n ] (o más generalmente, sobre un álgebra finitamente generada definida sobre un campo). En esta situación el campo K es el campo de funciones racionales (cocientes de polinomios) en las variables x i que son invariantes bajo la acción dada del grupo algebraico, el anillo Res el anillo de polinomios que son invariantes bajo la acción. Un ejemplo clásico en el siglo XIX fue el extenso estudio (en particular por Cayley , Sylvester , Clebsch , Paul Gordan y también Hilbert) de invariantes de formas binarias en dos variables con la acción natural del grupo lineal especial SL 2 ( k ) sobre él. . El propio Hilbert demostró la generación finita de anillos invariantes en el caso del campo de los números complejos para algunos grupos de Lie semisimples clásicos (en particular, el grupo lineal generalsobre los números complejos) y acciones lineales específicas sobre anillos de polinomios, es decir, acciones provenientes de representaciones de dimensión finita del grupo de Lie. Este resultado de finitud fue posteriormente extendido por Hermann Weyl a la clase de todos los grupos de Lie semisimples. Un ingrediente principal en la prueba de Hilbert es el teorema de la base de Hilbert aplicado al ideal dentro del anillo polinomial generado por los invariantes.
La formulación de Zariski del decimocuarto problema de Hilbert pregunta si, para una variedad algebraica cuasi-afín X sobre un campo k , posiblemente asumiendo X normal o suave , el anillo de funciones regulares en X se genera finitamente sobre k .
Se demostró [1] que la formulación de Zariski es equivalente al problema original, para X normal. (Ver también: teorema de finitud de Zariski ).