Función de varias variables complejas
La teoría de funciones de varias variables complejas [ aclaración necesaria ] es la rama de las matemáticas que se ocupa de las funciones de valores complejos . El nombre del campo que se ocupa de las propiedades de función de varias variables complejas se llama varias variables complejas (y espacio analítico ), que se ha convertido en un nombre común para todo ese campo de estudio y la Clasificación de asignaturas de matemáticas tiene, como encabezado de nivel superior . Una función son n -tuplas de números complejos, clásicamente estudiadas en el espacio de coordenadas complejas .
Como en el análisis complejo de funciones de una variable , que es el caso n = 1 , las funciones estudiadas son holomorfas o analíticas complejas de modo que, localmente, son series de potencias en las variables z i . De manera equivalente, son límites de polinomios localmente uniformes ; o soluciones locales a las ecuaciones n - dimensionales de Cauchy-Riemann . Para una variable compleja, cada dominio [nota 1] ( ), es el dominio de la holomorfiade alguna función, en otras palabras, cada dominio tiene una función para la cual es el dominio de la holomorfia. [ref 1] [ref 2] Para varias variables complejas, este no es el caso; existen dominios ( ) que no son el dominio de la holomorfia de ninguna función, por lo que no siempre es el dominio de la holomorfia, por lo que el dominio de la holomorfia es uno de los temas en este campo. [ref 1] Parchear los datos locales de funciones meromórficas , es decir, el problema de crear una función meromórfica global a partir de ceros y polos, se denomina problema de Cousin. Además, los fenómenos interesantes que ocurren en varias variables complejas son fundamentalmente importantes para el estudio de variedades complejas compactas y variedades proyectivas complejas () y tiene un sabor diferente a la geometría analítica compleja en o sobre variedades de Stein .
Muchos ejemplos de tales funciones eran familiares en las matemáticas del siglo XIX; funciones abelianas , funciones theta y algunas series hipergeométricas . Naturalmente, también es candidata la misma función de una variable que depende de algún parámetro complejo. La teoría, sin embargo, durante muchos años no se convirtió en un campo completo en el análisis matemático , ya que sus fenómenos característicos no fueron descubiertos. El teorema de preparación de Weierstrass ahora se clasificaría como álgebra conmutativa ; justificó la imagen local, la ramificación , que aborda la generalización de los puntos de ramificación deTeoría de la superficie de Riemann .
