Topología de baja dimensión
En matemáticas , la topología de baja dimensión es la rama de la topología que estudia variedades , o más generalmente espacios topológicos, de cuatro o menos dimensiones . Los temas representativos son la teoría de la estructura de 3 variedades y 4 variedades, teoría de nudos y grupos de trenzas . Esto se puede considerar como parte de la topología geométrica . También se puede usar para referirse al estudio de espacios topológicos de dimensión 1, aunque esto se considera más típicamente parte de la teoría del continuo .
Varios avances que comenzaron en la década de 1960 tuvieron el efecto de enfatizar las dimensiones bajas en topología. La solución de Stephen Smale , en 1961, de la conjetura de Poincaré en cinco o más dimensiones hizo que las dimensiones tres y cuatro parecieran las más difíciles; y de hecho requerían nuevos métodos, mientras que la libertad de dimensiones superiores significaba que las preguntas podían reducirse a métodos computacionales disponibles en la teoría de la cirugía . La conjetura de geometrización de Thurston , formulada a fines de la década de 1970, ofrecía un marco que sugería que la geometría y la topología estaban estrechamente entrelazadas en dimensiones bajas, y la prueba de geometrización de Thurston para variedades de Haken.utilizó una variedad de herramientas de áreas de las matemáticas que anteriormente solo estaban débilmente vinculadas. El descubrimiento de Vaughan Jones del polinomio de Jones a principios de la década de 1980 no solo llevó la teoría de los nudos en nuevas direcciones, sino que dio lugar a conexiones aún misteriosas entre la topología de baja dimensión y la física matemática . En 2002, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura tridimensional de Poincaré, utilizando el flujo de Ricci de Richard S. Hamilton , una idea perteneciente al campo del análisis geométrico .
Una superficie es una variedad topológica bidimensional . Los ejemplos más familiares son los que surgen como los límites de los objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R 3 , por ejemplo, la superficie de una pelota . Por otro lado, hay superficies, como la botella de Klein , que no se pueden incrustar en el espacio euclidiano tridimensional sin introducir singularidades o auto-intersecciones.
El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conectada es homeomorfa para algún miembro de una de estas tres familias:
Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conectada de 0 tori. El número g de toros involucrados se llama género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conectada de g tori es 2 - 2 g .
Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1 y, en general, la característica de Euler de la suma conectada de k de ellos es 2 - k .
