En la rama matemática de la teoría del alcohol ilegal , un número primo supersingular es un número primo que divide el orden del grupo de monstruos M , que es el grupo simple esporádico más grande . Hay exactamente quince números primos supersingulares: los primeros once primos ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 y 31 ), así como el 41, 47 , 59 y 71 . (secuencia A002267 en la OEIS )
Los números primos no supersingulares son 37 , 43 , 53 , 61 , 67 y cualquier número primo mayor o igual a 73 .
Los números primos supersingulares están relacionados con la noción de curvas elípticas supersingulares de la siguiente manera. Para un número primo p , los siguientes son equivalentes:
- La curva modular X 0 + ( p ) = X 0 ( p ) / w p , donde w p es la involución de Fricke de X 0 ( p ), tiene género cero.
- Cada curva elíptica supersingular en la característica p se puede definir sobre el subcampo principal F p .
- El orden del grupo de monstruos es divisible por p .
La equivalencia se debe a Andrew Ogg . Más precisamente, en 1975 Ogg demostró que los números primos que satisfacen la primera condición son exactamente los 15 primos supersingulares enumerados anteriormente y poco después se enteró de la existencia (entonces conjetura ) de un grupo simple esporádico que tiene exactamente estos primos como divisores primos. Esta extraña coincidencia fue el comienzo de la teoría de la monstruosa luz de luna .
Tres números primos no supersingulares ocurren en el orden de otros dos grupos simples esporádicos: 37 y 67 dividen el orden del grupo de Lyons , y 37 y 43 dividen el orden del cuarto grupo de Janko . De ello se deduce inmediatamente que estos dos no son subquotientes del grupo de Monstruos (son dos de los seis grupos de parias ). El resto de los grupos esporádicos (incluidos los otros cuatro parias, y también el grupo de Tits , si se cuenta entre los esporádicos) tienen órdenes con solo divisores primos supersingulares. De hecho, aparte del grupo Baby Monster , todos tienen órdenes divisibles solo por primos menores o iguales a 31, aunque ningún grupo esporádico, aparte del propio Monster, los tiene a todos como divisores principales. El primo supersingular 47 también divide el orden del grupo Baby Monster, y los otros tres primos supersingulares (41, 59 y 71) no dividen el orden de ningún grupo esporádico que no sea el propio Monstruo.
Todos los primos supersingulares son primos de Chen , pero 37, 53 y 67 también son primos de Chen, y hay infinitos primos de Chen mayores que 73.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Supersingular Prime" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Grupo esporádico" . MathWorld .
- Ogg, AP (1980). "Funciones modulares". En Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey (eds.). La Conferencia de Santa Cruz sobre Grupos Finitos. Celebrada en la Universidad de California, Santa Cruz, California, del 25 de junio al 20 de julio de 1979 . Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc. págs. 521–532. ISBN 0-8218-1440-0.