En la teoría de las superficies de Riemann y la geometría hiperbólica , el grupo de triángulos (2,3,7) es particularmente importante. Esta importancia se debe a su conexión con las superficies de Hurwitz , es decir, las superficies de Riemann del género g con el orden más grande posible, 84 ( g - 1), de su grupo de automorfismos.
Una nota sobre terminología: el "grupo de triángulos (2,3,7)" se refiere con mayor frecuencia, no al grupo de triángulos completo Δ (2,3,7) (el grupo de Coxeter con el triángulo de Schwarz (2,3,7) o una realización como un grupo de reflexión hiperbólico ), sino más bien al grupo de triángulos ordinarios (el grupo de von Dyck ) D (2,3,7) de mapas que preservan la orientación (el grupo de rotación), que es el índice 2.
Los subgrupos normales libres de torsión del grupo triangular (2,3,7) son grupos fucsianos asociados con superficies de Hurwitz , como el cuartico de Klein , la superficie de Macbeath y el primer triplete de Hurwitz .
Construcciones
Construcción hiperbólica
Para construir el grupo de triángulos, comience con un triángulo hiperbólico con ángulos π / 2, π / 3, π / 7. Este triángulo, el triángulo hiperbólico de Schwarz más pequeño , teja el plano mediante reflejos en sus lados. Considere entonces el grupo generado por reflexiones en los lados del triángulo, que (desde las baldosas del triángulo) es un grupo cristalográfico no euclidiano (subgrupo discreto de isometrías hiperbólicas) con este triángulo para el dominio fundamental ; el mosaico asociado es el mosaico heptagonal bisecado de orden 3 . El grupo del triángulo (2, 3, 7) se define como el subgrupo del índice 2 que consiste en las isometrías que preservan la orientación, que es un grupo fucsiano (grupo NEC que preserva la orientación).
Azulejos uniformes heptagonales / triangulares | |||||||||||
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Simetría: [7,3], (* 732) | [7,3] + , (732) | ||||||||||
{7,3} | t {7,3} | r {7,3} | t {3,7} | {3,7} | rr {7,3} | tr {7,3} | sr {7,3} | ||||
Duales uniformes | |||||||||||
V7 3 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V3 7 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 |
Presentación de grupo
Tiene una presentación en términos de un par de generadores, g 2 , g 3 , módulo las siguientes relaciones:
Geométricamente, estos corresponden a rotaciones por , y sobre los vértices del triángulo de Schwarz.
Álgebra de cuaternión
El grupo de triángulos (2, 3, 7) admite una presentación en términos del grupo de cuaterniones de la norma 1 en un orden adecuado en un álgebra de cuaterniones . Más específicamente, el grupo de triángulos es el cociente del grupo de cuaterniones por su centro ± 1.
Sea η = 2cos (2π / 7). Entonces de la identidad
vemos que Q (η) es una extensión totalmente real cúbico de Q . El grupo de triángulo hiperbólico (2,3,7) es un subgrupo del grupo de elementos de norma 1 en el álgebra de cuaterniones generado como un álgebra asociativa por el par de generadores i , j y relaciones i 2 = j 2 = η , ij = - ji . Se elige un orden de cuaterniones de Hurwitz adecuado en el álgebra de cuaterniones. Aquí el orden es generado por elementos
De hecho, el pedido es un módulo Z [η] libre sobre la base. Aquí los generadores satisfacen las relaciones
que descienden a las relaciones apropiadas en el grupo del triángulo, después de cociente por el centro.
Relación con SL (2, R)
Al extender los escalares de Q (η) a R (a través de la incrustación estándar), se obtiene un isomorfismo entre el álgebra de cuaterniones y el álgebra M (2, R ) de matrices reales de 2 por 2. La elección de un isomorfismo concreto permite exhibir el grupo triangular (2,3,7) como un grupo fucsiano específico en SL (2, R ) , específicamente como un cociente del grupo modular . Esto se puede visualizar por los mosaicos asociados, como se muestra a la derecha: el mosaico (2,3,7) en el disco de Poincaré es un cociente del mosaico modular en el semiplano superior.
Sin embargo, para muchos propósitos, los isomorfismos explícitos son innecesarios. Así, las trazas de los elementos del grupo (y por tanto también las longitudes de traslación de los elementos hiperbólicos que actúan en el semiplano superior , así como las sístoles de los subgrupos fucsianos) se pueden calcular mediante la traza reducida en el álgebra de cuaterniones y la fórmula
Referencias
Otras lecturas
- Elkies, ND (1998). "Cálculos de la curva de Shimura". En Buhler, JP (ed.). Teoría algorítmica de números. HORMIGAS 1998 . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 1423 . Saltador. págs. 1-47. arXiv : matemáticas.NT / 0005160 . doi : 10.1007 / BFb0054850 . ISBN 978-3-540-69113-6.
- Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U. (2007). "Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia". J. Geom diferencial. 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG / 0505007 .