El orden de cuaterniones de Hurwitz es un orden específico en un álgebra de cuaterniones sobre un campo numérico adecuado . El orden es de particular importancia en la teoría de superficies de Riemann , en relación con las superficies con simetría máxima , es decir, las superficies de Hurwitz . [1] El orden del cuaternión de Hurwitz fue estudiado en 1967 por Goro Shimura , [2] pero noam Elkies lo describió explícitamente por primera vez en 1998. [3] Para un uso alternativo del término, ver cuaternión de Hurwitz (ambos usos son actuales en la literatura ).
Definición
Dejar ser el subcampo real máximo de dónde es una séptima raíz de unidad primitiva . El anillo de enteros de es , donde el elemento se puede identificar con lo positivo real . Dejarser el álgebra de cuaterniones o álgebra de símbolos
así que eso y en También deja y . Dejar
Luego es un orden máximo de, descrito explícitamente por Noam Elkies . [4]
Estructura del módulo
El orden también es generado por elementos
y
De hecho, el pedido es gratuito. -módulo sobre la base . Aquí los generadores satisfacen las relaciones
que descienden a las relaciones apropiadas en el grupo de triángulos (2,3,7) , después de cociente por el centro.
Subgrupos de congruencia principales
El subgrupo de congruencia principal definido por un ideal es por definición el grupo
- modificación
es decir, el grupo de elementos de norma reducida 1 en equivalente a 1 módulo el ideal . El grupo fucsiano correspondiente se obtiene como la imagen del subgrupo de congruencia principal bajo una representación de P SL (2, R) .
Solicitud
El orden fue utilizado por Katz, Schaps y Vishne [5] para construir una familia de superficies de Hurwitz que satisfagan un límite inferior asintótico para la sístole:donde g es el género, mejorando un resultado anterior de Peter Buser y Peter Sarnak ; [6] ver sístoles de superficies .
Ver también
Referencias
- ^ Vogeler, Roger (2003), Sobre la geometría de las superficies de Hurwitz (PhD), Universidad Estatal de Florida.
- ^ Shimura, Goro (1967), "Construcción de campos de clase y funciones zeta de curvas algebraicas", Annals of Mathematics , Second Series, 85 : 58-159, doi : 10.2307 / 1970526 , MR 0204426.
- ^ Elkies, Noam D. (1998), "Cálculos de la curva de Shimura", Teoría algorítmica de números (Portland, OR, 1998) , Lecture Notes in Computer Science, 1423 , Berlín: Springer-Verlag, págs. 1-47, arXiv : matemáticas. NT / 0005160 , doi : 10.1007 / BFb0054850 , MR 1726059.
- ^ Elkies, Noam D. (1999), "The Klein quartic in number theory" (PDF) , en Levi, Sylvio (ed.), The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve , publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, 35 , Cambridge University Press, págs. 51-101, MR 1722413.
- ^ Katz, Mikhail G .; Schaps, Mary; Vishne, Uzi (2007), "Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia" , Journal of Differential Geometry , 76 (3): 399–422, arXiv : math.DG / 0505007 , MR 2331526.
- ^ Buser, P .; Sarnak, P. (1994), "On the period matrix of a Riemann surface of large genus", Inventiones Mathematicae , 117 (1): 27–56, Bibcode : 1994InMat.117 ... 27B , doi : 10.1007 / BF01232233 , Señor 1269424 . Con un apéndice de JH Conway y NJA Sloane.CS1 maint: posdata ( enlace )