En matemáticas y biología matemática , las ecuaciones de Mackey-Glass , nombradas en honor a Michael Mackey y Leon Glass , se refieren a una familia de ecuaciones diferenciales de retardo cuyo comportamiento logra imitar el comportamiento tanto sano como patológico en determinados contextos biológicos, controlados por los parámetros de la ecuación. [1] Originalmente, se utilizaron para modelar la variación en la cantidad relativa de células maduras en la sangre. Las ecuaciones se definen como: [1] [2]
(Ecuación 1)
y
(Ecuación 2)
dónde representa la densidad de células a lo largo del tiempo, y son parámetros de las ecuaciones.
La ecuación ( 2 ), en particular, es notable en los sistemas dinámicos ya que puede resultar en atractores caóticos con varias dimensiones. [3]
Introducción
Existe una enorme cantidad de sistemas fisiológicos que involucran o dependen del comportamiento periódico de ciertos subcomponentes del sistema . [4] Por ejemplo, muchos procesos homeostáticos dependen de la retroalimentación negativa para controlar la concentración de sustancias en la sangre; la respiración , por ejemplo, es promovida por la detección, por parte del cerebro, de una alta concentración de CO 2 en la sangre. [5] Una forma de modelar estos sistemas matemáticamente es con la siguiente ecuación diferencial ordinaria simple :
dónde es la velocidad a la que se produce una "sustancia", y controla cómo el nivel actual de la sustancia desalienta la continuación de su producción. Las soluciones de esta ecuación se pueden encontrar mediante un factor de integración y tienen la forma:
dónde es cualquier condición inicial para el problema del valor inicial .
Sin embargo, el modelo anterior supone que las variaciones en la concentración de la sustancia se detectan inmediatamente, lo que a menudo no es el caso en los sistemas fisiológicos. Para aliviar este problema, Mackey, MC & Glass, L. (1977) propusieron cambiar la tasa de producción a una función de la concentración en un punto anterior con el tiempo, con la esperanza de que esto refleje mejor el hecho de que existe un retraso significativo antes de que la médula ósea produzca y libere células maduras en la sangre, después de detectar una concentración baja de células en la sangre. [6] Tomando la tasa de producción como siendo:
obtenemos las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), respectivamente. Los valores utilizados por Mackey, MC & Glass, L. (1977) fueron, y , con condición inicial . El valor deno es relevante para el propósito de analizar la dinámica de la Ecuación ( 2 ), ya que el cambio de variable reduce la ecuación a:
Por eso, en este contexto, las parcelas suelen situar en el -eje.
Comportamiento dinámico
Es de interés estudiar el comportamiento de las soluciones de la ecuación cuando es variado, ya que representa el tiempo que tarda el sistema fisiológico en reaccionar a la variación de concentración de una sustancia. Un aumento en este retraso puede ser causado por una patología , que a su vez puede resultar en soluciones caóticas para las ecuaciones de Mackey-Glass, especialmente la Ecuación ( 2 ). Cuándo, obtenemos una solución periódica muy regular, que puede verse como una característica del comportamiento "saludable"; por otro lado, cuando la solución se vuelve mucho más errática.
El atractor Mackey-Glass se puede visualizar trazando los pares. [2] Esto está algo justificado porque las ecuaciones diferenciales de retardo pueden (a veces) reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias , y también porque son mapas dimensionales aproximadamente infinitos . [3] [7]
Referencias
- ^ a b Mackey, MC; Vidrio, L. (1977). "Oscilación y caos en sistemas de control fisiológico". Ciencia . 197 (4300): 287–9. Código Bibliográfico : 1977Sci ... 197..287M . doi : 10.1126 / science.267326 . PMID 267326 .
- ^ a b "Ecuación de Mackey-Glass" . Proyecto de demostraciones Wolfram . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
- ^ a b Kantz, H .; Schreiber, T. (2004). Análisis de series de tiempo no lineales . 7 . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Vidrio, L. (2001). "Sincronización y procesos rítmicos en fisiología". Naturaleza . 410 (6825): 277–84. Código Bibliográfico : 2001Natur.410..277G . doi : 10.1038 / 35065745 . PMID 11258383 . S2CID 4379463 .
- ^ Specht, H .; Fruhmann, G. (1972). "Incidencia de respiración periódica en 2000 sujetos sin enfermedad pulmonar o neurológica". Bulletin de physio -pathologie respiratoire . 8 (5): 1075.
- ^ Rubin, R .; Strayer, DS; Rubin, E. (2008). Patología de Rubin: fundamentos clínico-patológicos de la medicina . Lippincott Williams y Wilkins.
- ^ Junges, L .; Gallas, JA (2012). "Rutas intrincadas al caos en el sistema de retroalimentación retardada de Mackey-Glass" . Physics Letters A . 376 (30–31): 2109–2116. Código bibliográfico : 2012PhLA..376.2109J . doi : 10.1016 / j.physleta.2012.05.022 .
Ver también
- Ritmo circadiano
- Oscilador circadiano
- Oscilación neural