Mapas de colectores

Una superficie Morin , una inmersión utilizada en la eversión de esferas .

En matemáticas , más específicamente en geometría diferencial y topología , se estudian varios tipos de funciones entre variedades , tanto como objetos por derecho propio como por la luz que arrojan.

Tipos de mapas

Así como hay varios tipos de variedades, existen varios tipos de mapas de variedades.

PDIFF sirve para relacionar DIFF y PL, y es equivalente a PL.

En topología geométrica , los tipos básicos de mapas corresponden a varias categorías de variedades: DIFF para funciones suaves entre variedades diferenciables , PL para funciones lineales por partes entre variedades lineales por partes y TOP para funciones continuas entre variedades topológicas . Estas son estructuras progresivamente más débiles, debidamente conectados a través de PDIFF , la categoría de los trozos -smooth mapea entre colectores a trozos-liso.

Además de estas categorías generales de mapas, existen mapas con propiedades especiales; estos pueden o no formar categorías, y pueden o no ser discutidos categóricamente en general.

El nudo de trébol de la mano derecha .

En la topología geométrica un tipo básico son incrustaciones , de las cuales la teoría de nudos es un ejemplo central, y generalizaciones tales como inmersiones , inmersiones , que cubren los espacios , y se ramificó espacios que cubren . Los resultados básicos incluyen el teorema de inclusión de Whitney y el teorema de inmersión de Whitney .

Superficie de Riemann para la función f ( z ) =  √ z , mostrada como un espacio de cobertura ramificado del plano complejo.

En geometría compleja, los espacios de cobertura ramificados se utilizan para modelar superficies de Riemann y para analizar mapas entre superficies, como mediante la fórmula de Riemann-Hurwitz .

En la geometría de Riemann, uno puede pedir mapas para preservar la métrica de Riemann, lo que lleva a las nociones de inmersiones isométricas , inmersiones isométricas , y inmersiones de Riemann ; un resultado básico es el teorema de incrustación de Nash .

Funciones con valores escalares

Gráfico de color 3D de los armónicos esféricos de grado${\displaystyle n=5}$

Un ejemplo básico de mapas entre variedades son las funciones con valores escalares en una variedad, o algunas veces llamadas funciones regulares o funcionales , por analogía con la geometría algebraica o el álgebra lineal. Estos son de interés tanto por derecho propio como para estudiar la variedad subyacente.${\displaystyle \scriptstyle f\colon M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \scriptstyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$

En topología geométrica, las funciones Morse más comúnmente estudiadas son las funciones Morse , que producen descomposiciones del cuerpo del mango , que se generalizan a funciones Morse-Bott y se pueden usar, por ejemplo, para comprender grupos clásicos, como en la periodicidad de Bott .

En el análisis matemático , a menudo se estudia la solución de ecuaciones diferenciales parciales , un ejemplo importante del cual es el análisis armónico , donde se estudian funciones armónicas : el núcleo del operador de Laplace . Esto conduce a funciones como los armónicos esféricos y a calentar los métodos del núcleo para estudiar las variedades, como escuchar la forma de un tambor y algunas pruebas del teorema del índice de Atiyah-Singer .

La monodromía alrededor de una singularidad o un punto de ramificación es una parte importante del análisis de tales funciones.

Curvas y caminos

Una geodésica en una pelota de fútbol americano que ilustra la prueba de la conjetura del área de llenado de Gromov en geometría sistólica , en el caso hiperelíptico (ver explicación ).

Las funciones duales a escalares (mapas ) son mapas que corresponden a curvas o caminos en una variedad. También se pueden definir donde el dominio es un intervalo, especialmente el intervalo unitario o donde el dominio es un círculo (equivalentemente, una ruta periódica) S ¹ , lo que produce un bucle. Estos se utilizan para definir el grupo fundamental , las cadenas en la teoría de la homología , las curvas geodésicas y la geometría sistólica .${\displaystyle \scriptstyle M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \to M,}$${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Las rutas y bucles incrustados conducen a la teoría de los nudos y estructuras relacionadas, como enlaces , trenzas y enredos .

Espacios métricos

Las variedades de Riemann son casos especiales de espacios métricos y, por lo tanto, se tiene una noción de continuidad de Lipschitz , condición de Hölder , junto con una estructura burda , que conduce a nociones como mapas burdos y conexiones con la teoría de grupos geométricos .

Ver también

• Categoría: Mapas de variedades