Bajo este modelo, estos activos tienen precios continuos que evolucionan continuamente en el tiempo y son impulsados por procesos de movimiento browniano. [1] Este modelo requiere la suposición de activos perfectamente divisibles y un mercado sin fricciones (es decir, que no se produzcan costos de transacción ni para la compra ni para la venta). Otro supuesto es que los precios de los activos no tienen saltos, es decir, no hay sorpresas en el mercado. Este último supuesto se elimina en los modelos de difusión por salto .
Procesos del mercado financiero
Considere un mercado financiero que consta de activos financieros, donde uno de estos activos, llamado bono o mercado monetario , está libre de riesgo mientras que el restolos activos, llamados acciones , son riesgosos.
Definición
Un mercado financiero se define como que satisfaga lo siguiente:
Un espacio de probabilidad .
Un intervalo de tiempo .
A -proceso browniano dimensional dónde adaptado a la filtración aumentada .
Un proceso de tipos de interés del mercado monetario sin riesgo medible .
Un proceso de tasa media de retorno medible .
Un proceso de tasa de retorno de dividendos medible .
Un proceso de volatilidad medible , tal que .
Una variación finita medible, estocástico singularmente continuo .
mientras que el primero es solo continuo a la izquierda. [2]
Vínculo
Una acción de un bono (mercado monetario) tiene precio en el momento con , es continuo, adaptado, y tiene variación finita . Debido a que tiene variación finita, se puede descomponer en un absolutamente continua parte y una parte singularmente continua , por el teorema de descomposición de Lebesgue . Definir:
Por lo tanto, se puede ver fácilmente que si es absolutamente continuo (es decir ), entonces el precio del bono evoluciona como el valor de una cuenta de ahorro libre de riesgo con tasa de interés instantánea. , que es aleatorio, dependiente del tiempo y mensurable.
Cepo
Los precios de las acciones se modelan como similares a los de los bonos, excepto con un componente que fluctúa aleatoriamente (llamado volatilidad ). Como prima por el riesgo que se origina en estas fluctuaciones aleatorias, la tasa media de rendimiento de una acción es más alta que la de un bono.
Dejar ser los precios estrictamente positivos por acción del acciones, que son procesos estocásticos continuos que satisfacen:
Aquí, da la volatilidad del -th stock, mientras es su tasa de rendimiento media.
Para un escenario de precios sin arbitraje ,debe ser como se define arriba. La solución a esto es:
y los precios de las acciones con descuento son:
Tenga en cuenta que la contribución debido a las discontinuidades en el precio del bono no aparece en esta ecuación.
Tasa de dividendo
Cada acción puede tener un proceso de tasa de dividendos asociado dando la tasa de pago de dividendos por precio unitario de la acción en el momento . Teniendo esto en cuenta en el modelo, se obtiene el proceso de rendimiento:
Procesos de cartera y ganancias
Definición
Considere un mercado financiero .
Un proceso de cartera porque este mercado es un mensurable, proceso valorado tal que:
Resulta que para una cartera autofinanciada, el valor apropiado de se determina a partir de y por lo tanto a veces se conoce como el proceso de cartera. También, implica tomar dinero prestado del mercado monetario, mientras que implica tomar una posición corta en la acción.
El termino en el SDE de es el proceso de prima de riesgo , y es la compensación recibida a cambio de invertir en el-th stock.
Motivación
Considere los intervalos de tiempo , y deja ser el número de acciones del activo , mantenido en una cartera durante el intervalo de tiempo en el tiempo . Para evitar el caso de abuso de información privilegiada (es decir, conocimiento previo del futuro), se requiere que es mensurable.
Por lo tanto, las ganancias incrementales en cada intervalo de negociación de dicha cartera son:
y es la ganancia total a lo largo del tiempo , mientras que el valor total de la cartera es .
Definir , deje que la partición de tiempo vaya a cero y sustituya por como se definió anteriormente, para obtener el SDE correspondiente para el proceso de ganancias. Aquí denota la cantidad en dólares invertida en activos en el momento , no el número de acciones que posee.
Procesos de renta y riqueza
Definición
Dado un mercado financiero , luego un proceso de ingresos acumuladoses una semimartingala y representa los ingresos acumulados a lo largo del tiempo, debido a fuentes distintas a las inversiones en el activos del mercado financiero.
Un proceso de riqueza entonces se define como:
y representa la riqueza total de un inversor en el momento . Se dice que la cartera es-financiado si:
El SDE correspondiente al proceso patrimonial, mediante las sustituciones oportunas, se convierte en:
.
Tenga en cuenta que de nuevo en este caso, el valor de se puede determinar a partir de .
Mercados viables
La teoría estándar de las finanzas matemáticas se restringe a los mercados financieros viables, es decir, aquellos en los que no hay oportunidades de arbitraje . Si existen tales oportunidades, implica la posibilidad de obtener una ganancia libre de riesgo arbitrariamente grande.
Definición
En un mercado financiero , un proceso de cartera autofinanciado se considera una oportunidad de arbitraje si el proceso de ganancias asociado, casi seguro y estrictamente. Un supermercadoen el que no existe tal cartera se dice que es viable .
Trascendencia
En un mercado viable , existe un proceso adaptado tal que para casi todos :
.
Esto se denomina precio de mercado del riesgo y relaciona la prima por la-la acción con su volatilidad .
Por el contrario, si existe un proceso D-dimensional de manera que satisfaga el requisito anterior, y:
,
entonces el mercado es viable.
Además, un mercado viable puede tener un solo mercado monetario (bono) y, por lo tanto, solo una tasa libre de riesgo. Por tanto, si el-th stock no implica ningún riesgo (es decir ) y no paga dividendos (es decir), entonces su tasa de rendimiento es igual a la tasa del mercado monetario (es decir, ) y su precio sigue al del bono (es decir, ).
Mercado financiero estándar
Definición
Un mercado financiero se dice que es estándar si:
(i) Es viable.
(ii) El número de existencias no es mayor que la dimensión del proceso de movimiento browniano subyacente .
(iii) El precio de mercado del proceso de riesgo satisface:
En caso de que el número de existencias es mayor que la dimensión , en violación del punto (ii), del álgebra lineal, se puede ver que hay acciones cuyas volatilidades (dadas por el vector ) son una combinación lineal de las volatilidades de otras poblaciones (porque el rango de es ). Por lo tanto, los las existencias pueden ser reemplazadas por fondos mutuos equivalentes.
La medida estándar de martingala en para el mercado estándar, se define como:
es un -Proceso de movimiento browniano dimensional en la filtración. con respecto a .
Mercados financieros completos
Un mercado financiero completo es aquel que permite una cobertura eficaz del riesgo inherente a cualquier estrategia de inversión.
Definición
Dejar ser un mercado financiero estándar, y frijol -variable aleatoria medible, tal que:
.
,
El mercado se dice que está completo si cada uno de esoses financiable , es decir, si hay un-proceso de cartera financiado , de modo que su proceso de riqueza asociado satisface
, casi seguro.
Motivación
Si una estrategia de inversión en particular requiere un pago en el momento , cuya cantidad se desconoce en el momento , entonces una estrategia conservadora sería reservar una cantidad para cubrir el pago. Sin embargo, en un mercado completo es posible reservar menos capital (a saber.) e invertirlo para que a la vez ha crecido hasta igualar el tamaño de .
Corolario
Un mercado financiero estándar está completo si y solo si , y el proceso de volatilidad no es singular para casi todos , respecto a la medida de Lebesgue .
^Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97655-8.
Referencias
Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). Métodos de finanzas matemáticas . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94839-2.
Korn, Ralf; Korn, Elke (2001). Precios de opciones y optimización de carteras: métodos modernos de matemática financiera . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2123-7.
Merton, RC (1 de agosto de 1969). "Selección de cartera de por vida bajo incertidumbre: el caso de tiempo continuo" (PDF) . La Revista de Economía y Estadística . 51 (3): 247–257. doi : 10.2307 / 1926560 . ISSN 0034-6535 . JSTOR 1926560 . S2CID 8863885 . Archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2019.
Merton, RC (1970). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo". Revista de teoría económica . 3 (4): 373–413. doi : 10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-x . hdl : 1721,1 / 63980 .