Las matemáticas (del griego: μάθημα , máthēma , 'conocimiento, estudio, aprendizaje') incluyen el estudio de temas como números ( aritmética y teoría de números ), [1] fórmulas y estructuras relacionadas ( álgebra ), [2] formas y espacios en cuáles están contenidos ( geometría ), [1] y cantidades y sus cambios ( cálculo y análisis ). [3] [4] [5] No existe un consenso general sobre su alcance exacto o estado epistemológico . [6] [7]
La mayor parte de la actividad matemática consiste en descubrir y probar (mediante el razonamiento puro) las propiedades de los objetos abstractos . Estos objetos son abstracciones de la naturaleza (como números naturales o "una línea ") o (en matemáticas modernas) entidades abstractas que se definen por sus propiedades básicas, llamadas axiomas . Una demostración consiste en una sucesión de aplicaciones de algunas reglas deductivas a resultados ya conocidos, incluidos teoremas , axiomas y (en caso de abstracción de la naturaleza) previamente probados, algunas propiedades básicas que se consideran verdaderos puntos de partida de la teoría en cuestión. El resultado de una prueba se llamateorema . Contrariamente a las leyes físicas , la validez de un teorema (su verdad) no se basa en ninguna experimentación sino en la corrección de su razonamiento (aunque la experimentación suele ser útil para descubrir nuevos teoremas de interés).
Las matemáticas se utilizan ampliamente en ciencia para modelar fenómenos. Esto permite la extracción de predicciones cuantitativas a partir de leyes experimentales. Por ejemplo, el movimiento de los planetas se puede predecir con gran precisión utilizando la ley de gravitación de Newton combinada con cálculos matemáticos. La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende solo de la idoneidad del modelo para describir la realidad. Entonces, cuando surgen algunas predicciones inexactas, significa que el modelo debe mejorarse o cambiarse, no que las matemáticas estén equivocadas. Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio no puede explicarse por la ley de gravitación de Newton, pero se explica con precisión porEinstein 's la relatividad general . Esta validación experimental de la teoría de Einstein muestra que la ley de gravitación de Newton es solo una aproximación (que todavía es muy precisa en la vida cotidiana).
Las matemáticas son esenciales en muchos campos, incluidas las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina , las finanzas , la informática y las ciencias sociales . Algunas áreas de las matemáticas, como la estadística y la teoría de juegos , se desarrollan en correlación directa con sus aplicaciones y, a menudo, se agrupan bajo el nombre de matemáticas aplicadas . Otras áreas matemáticas se desarrollan independientemente de cualquier aplicación (y, por lo tanto, se denominan matemáticas puras ), pero las aplicaciones prácticas a menudo se descubren más tarde. [8] [9] Un ejemplo apropiado es el problema defactorización de enteros que se remonta a Euclid pero que no tenía aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA (para la seguridad de las redes informáticas ).
Las matemáticas han sido una actividad humana desde que existen registros escritos . Sin embargo, el concepto de "prueba" y su " rigor matemático " asociado aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas , sobre todo en los Elementos de Euclides . [10] Las matemáticas se desarrollaron a un ritmo relativamente lento hasta el Renacimiento , cuando el álgebra y el cálculo infinitesimal se agregaron a la aritmética y la geometría como áreas principales de las matemáticas. Desde entonces, la interacción entre las innovaciones matemáticas y los descubrimientos científicos ha llevado a un rápido aumento en la tasa de descubrimientos matemáticos. A finales del siglo XIX, laLa crisis fundacional de las matemáticas llevó a la sistematización del método axiomático . Esto, a su vez, dio lugar a un aumento espectacular del número de áreas de las matemáticas y sus campos de aplicación; un testimonio de esto es la Clasificación de Materias de Matemáticas , que enumera más de sesenta áreas de matemáticas de primer nivel.