Teoría ergódica
La teoría ergódica (en griego : ἔργον ergon "trabajo", ὁδός hodos "camino") es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas dinámicos deterministas ; es el estudio de la ergodicidad . En este contexto, propiedades estadísticas significa propiedades que se expresan a través del comportamiento de promedios de tiempo de varias funciones a lo largo de trayectorias de sistemas dinámicos. La noción de sistemas dinámicos deterministas supone que las ecuaciones que determinan la dinámica no contienen perturbaciones aleatorias, ruido, etc. Por tanto, las estadísticas que nos interesan son propiedades de la dinámica.
La teoría ergódica, como la teoría de la probabilidad, se basa en nociones generales de la teoría de la medida . Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de física estadística .
Una preocupación central de la teoría ergódica es el comportamiento de un sistema dinámico cuando se le permite funcionar durante mucho tiempo. El primer resultado en esta dirección es el teorema de recurrencia de Poincaré , que afirma que casi todos los puntos en cualquier subconjunto del espacio de fase eventualmente vuelven a visitar el conjunto. Los sistemas para los que se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré son sistemas conservadores ; por tanto, todos los sistemas ergódicos son conservadores.
Varios teoremas ergódicos proporcionan información más precisa que afirman que, bajo ciertas condiciones, el promedio de tiempo de una función a lo largo de las trayectorias existe casi en todas partes y está relacionado con el promedio espacial. Dos de los teoremas más importantes son los de Birkhoff (1931) y von Neumann que afirman la existencia de un promedio de tiempo a lo largo de cada trayectoria. Para la clase especial de sistemas ergódicos , este promedio de tiempo es el mismo para casi todos los puntos iniciales: estadísticamente hablando, el sistema que evoluciona durante mucho tiempo "olvida" su estado inicial. También se han estudiado ampliamente propiedades más fuertes, como la mezcla y la equidistribución .
El problema de la clasificación métrica de sistemas es otra parte importante de la teoría ergódica abstracta. Las diversas nociones de entropía para sistemas dinámicos desempeñan un papel destacado en la teoría ergódica y sus aplicaciones a los procesos estocásticos .
Los conceptos de ergodicidad y la hipótesis ergódica son fundamentales para las aplicaciones de la teoría ergódica. La idea subyacente es que, para ciertos sistemas, el tiempo promedio de sus propiedades es igual al promedio de todo el espacio. Las aplicaciones de la teoría ergódica a otras partes de las matemáticas suelen implicar el establecimiento de propiedades de ergodicidad para sistemas de tipo especial. En geometría , se han utilizado métodos de teoría ergódica para estudiar el flujo geodésico en variedades de Riemann , comenzando con los resultados de Eberhard Hopf para superficies de Riemann de curvatura negativa. Las cadenas de Markov forman un contexto común para aplicaciones enteoría de la probabilidad . La teoría ergódica tiene conexiones fructíferas con el análisis armónico , la teoría de Lie ( teoría de la representación , celosías en grupos algebraicos ) y la teoría de números (la teoría de aproximaciones diofánticas , funciones L ).
