En matemáticas, una matriz de Redheffer , a menudo denotadacomo lo estudió Redheffer (1977) , es una matriz cuadrada (0,1) cuyas entradas a ij son 1 si i divide j o si j = 1; de lo contrario, un ij = 0. Es útil en algunos contextos para expresar Dirichlet convolución , o convolucionada divisores sumas , en términos de productos de la matriz que implican la transposición de la Matriz de Redheffer.
Variantes y definiciones de matrices de componentes
Dado que la invertibilidad de las matrices de Redheffer se complica por la columna inicial de unos en la matriz, a menudo es conveniente expresar dónde se define como la matriz (0,1) cuyas entradas son una si y solo si y . Las entradas restantes de un valor en luego corresponden a la condición de divisibilidad reflejada por la matriz , que claramente se puede ver mediante una aplicación de la inversión de Mobius es siempre invertible con inversa. Luego tenemos una caracterización de la singularidad de expresado por
Si definimos la función
entonces podemos definir el Redheffer (transponer) matriz para ser la matriz cuadrada n x nen notación matricial habitual. Continuaremos utilizando esta notación en las siguientes secciones.
Ejemplos de
La siguiente matriz es la matriz Redheffer de 12 × 12. En la notación de suma dividida de matrices para, las entradas siguientes corresponden a la columna inicial de unos en están marcados en azul.
Una aplicación correspondiente de la fórmula de inversión de Mobius muestra que elLa matriz de transposición de Redheffer es siempre invertible , con entradas inversas dadas por
dónde denota la función de Moebius . En este caso, tenemos que La matriz de transposición inversa de Redheffer está dada por
Propiedades clave
Singularidad y relaciones con la función de Mertens y series especiales
Determinantes
El determinante de la matriz Redheffer cuadrada n x n está dado por la función de Mertens M ( n ). En particular, la matriz no es invertible precisamente cuando la función de Mertens es cero (o está cerca de cambiar de signo). Esto da como resultado una caracterización interesante de que la función de Mertens solo puede cambiar de signo infinitamente a menudo si la matriz de Redheffer es singular en un número infinito de números naturales, lo que se cree ampliamente que es el caso con respecto al comportamiento oscilatorio de Los determinantes de las matrices de Redheffer están inmediatamente vinculados a la Hipótesis de Riemann ( RH ) a través de esta relación íntima con la función de Mertens ya que la RH es equivalente a mostrar que para todos (suficientemente pequeño) .
Factorizaciones de sumas codificadas por estas matrices
En una construcción algo poco convencional que reinterpreta las entradas de la matriz (0,1) para denotar la inclusión en alguna secuencia creciente de conjuntos de indexación, podemos ver que estas matrices también están relacionadas con factorizaciones de series de Lambert . Esta observación se ofrece en la medida en que para una función aritmética fija f , los coeficientes de la siguiente expansión de la serie de Lambert sobre f proporcionan una llamada máscara de inclusión para los índices sobre los que sumamos f para llegar a los coeficientes de la serie de estas expansiones. Notablemente, observe que
Ahora, en el caso especial de estas sumas de divisores, que podemos ver en la expansión anterior, están codificadas por inclusión con valor booleano (cero-uno) en los conjuntos de divisores de un número natural n , es posible reinterpretar el Lambert funciones generadoras de series que enumeran estas sumas a través de otra construcción basada en matrices. Es decir, Merca y Schmidt (2017-2018) demostraron que las factorizaciones matriciales invertibles expandían estas funciones generadoras en forma de [1]
dónde denota el símbolo infinito q-Pochhammer y donde la secuencia de la matriz triangular inferior se genera exactamente como los coeficientes de, a través de estos términos también tienen interpretaciones como diferencias de funciones de partición indexadas pares (impares) especiales. Merca y Schmidt (2017) también demostraron una fórmula de inversión simple que permite que la función implícita f se exprese como una suma sobre los coeficientes convolucionadosde la función generadora de la serie Lambert original en forma de [2]
donde p (n) denota la función de partición ,es la función de Moebius , y los coeficientes deheredar una dependencia cuadrática de j mediante el teorema del número pentagonal . Esta fórmula de inversión se compara con las inversas (cuando existen) de las matrices de Redheffer en aras de la finalización aquí.
Aparte de eso, la denominada matriz de máscara subyacente que especifica la inclusión de índices en las sumas del divisor en cuestión son invertibles, utilizando este tipo de construcción para expandir otras matrices similares a Redheffer para otras sumas teóricas de números especiales no necesita limitarse a esas formas estudiado clásicamente aquí. Por ejemplo, en 2018 Mousavi y Schmidt extendieron dichos lemas de factorización basados en matrices a los casos de sumas de divisor Anderson-Apostol (de las cuales las sumas de Ramanujan son un caso especial notable) y sumas indexadas sobre los enteros que son relativamente primos para cada n (por ejemplo , como define clásicamente el recuento denotado por la función phi de Euler ). [3] Más concretamente, los ejemplos considerados en la sección de aplicaciones a continuación sugieren un estudio de las propiedades de lo que pueden considerarse matrices de Redheffer generalizadas que representan otras sumas teóricas de números especiales.
Radio espectral y espacios propios
- Si denotamos el radio espectral de por , es decir, el valor propio del módulo máximo dominante en el espectro de, luego
que delimita el comportamiento asintótico del espectro de cuando n es grande. También se puede demostrar que, y mediante un análisis cuidadoso (ver las expansiones polinomiales características a continuación) que .
- La matriz tiene valor propio uno con multiplicidad.
- La dimensión del eigenspace correspondiente al valor propio es conocido por ser . En particular, esto implica queno es diagonalizable siempre que.
- Para todos los demás valores propios de , luego dimensión de los espacios propios correspondientes son uno.
Caracterización de vectores propios
Tenemos eso es un vector propio decorrespondiente a algún valor propio en el espectro de si y solo si para se cumplen las dos condiciones siguientes:
Si nos limitamos a los llamados casos no triviales en los que, luego dado cualquier componente de vector propio inicial podemos calcular recursivamente los n-1 componentes restantes de acuerdo con la fórmula
Con esto en mente, por podemos definir las secuencias de
Hay un par de implicaciones curiosas relacionadas con las definiciones de estas secuencias. Primero, tenemos eso si y solo si
En segundo lugar, tenemos una fórmula establecida para la serie de Dirichlet , o función generadora de Dirichlet , sobre estas secuencias para valores fijos. que vale para todos dada por
dónde por supuesto, como de costumbre, denota la función zeta de Riemann .
Límites y propiedades de valores propios no triviales
Una interpretación teórica de grafos para evaluar los ceros del polinomio característico dey limitando sus coeficientes se da en la Sección 5.1 de. [4] Estimaciones de los tamaños de los bloques de Jordan decorrespondiente al valor propio uno se dan en. [5] Una breve descripción de las propiedades de un enfoque modificado para factorizar el polinomio característico,, de estas matrices se define aquí sin el alcance completo de las pruebas algo técnicas que justifican los límites de las referencias citadas anteriormente. Es decir, deje que la taquigrafía y definir una secuencia de expansiones polinomiales auxiliares de acuerdo con la fórmula
Entonces sabemos que tiene dos raíces reales, denotadas por , que satisfacen
dónde es la constante gamma clásica de Euler , y donde los coeficientes restantes de estos polinomios están limitados por
Un gráfico de la naturaleza mucho más restringida por el tamaño de los valores propios de que no se caracterizan por estos dos ceros dominantes del polinomio parece ser notable como lo demuestran los únicos 20 ceros complejos restantes que se muestran a continuación. La siguiente imagen se reproduce de un artículo de libre acceso citado anteriormente cuandoestá disponible aquí como referencia.
Aplicaciones y generalizaciones
Proporcionamos algunos ejemplos de la utilidad de las matrices de Redheffer interpretadas como una matriz (0,1) cuya paridad corresponde a la inclusión en una secuencia creciente de conjuntos de índices. Estos ejemplos deberían servir para refrescar algunas de las perspectivas históricas a veces anticuadas de estas matrices, y su dignidad de nota al pie de página en virtud de una relación inherente y profunda de sus determinantes con la función de Mertens y enunciados equivalentes de la Hipótesis de Riemann . Esta interpretación es mucho más combinatoria en construcción que los tratamientos típicos de los determinantes especiales de la matriz de Redheffer. No obstante, este giro combinatorio en la enumeración de secuencias especiales de sumas se ha explorado más recientemente en varios artículos y es un tema de interés activo en los archivos preimpresos. Antes de sumergirnos en la construcción completa de este giro en las variantes de la matriz Redhefferdefinido anteriormente, observe que este tipo de expansión es, en muchos sentidos, esencialmente otra variación del uso de una matriz de Toeplitz para representar expresiones de series de potencia truncadas donde las entradas de la matriz son coeficientes de la variable formal en la serie. Exploremos una aplicación de esta vista particular de una matriz (0,1) como enmascaramiento de la inclusión de índices de suma en una suma finita sobre alguna función fija. Consulte las citas de las referencias [6] y [7] para ver las generalizaciones existentes de las matrices de Redheffer en el contexto de casos de funciones aritméticas generales . Los términos de la matriz inversa se refieren a una función de Mobius generalizada dentro del contexto de sumas de este tipo en. [8]
Productos de matriz que expanden las convoluciones de Dirichlet y las inversas de Dirichlet
En primer lugar, dadas dos no idénticamente cero funciones aritméticas f y g , podemos proporcionar representaciones matriciales explícitas que codifican su convolución de Dirichlet en filas indexadas por los números naturales:
Entonces dejando denotar el vector de todos unos, se ve fácilmente que el fila del producto matriz-vector da las sumas de Dirichlet convolucionadas
para todos donde el índice superior es arbitrario.
Una tarea que es particularmente onerosa dada una función arbitraria f es determinar su inverso de Dirichlet exactamente sin recurrir a una definición recursiva estándar de esta función a través de otra suma de divisor convolucionado que involucra la misma función f con su inverso subespecificado por determinar:
Está claro que en general el inverso de Dirichlet para f , es decir, la función aritmética definida unívocamente tal que, implica sumas de divisor anidado sumas de profundidad de uno a donde este límite superior es la función omega prima que cuenta el número de factores primos distintos de n . Como muestra este ejemplo, podemos formular una forma alternativa de construir los valores de la función inversa de Dirichlet mediante la inversión de matrices con nuestras matrices de Redheffer variantes,.
Generalizaciones de las formas matriciales de Redheffer: sumas MCD y otras matrices cuyas entradas denotan inclusión en conjuntos especiales
Hay varios artículos de revistas valiosas que se citan con frecuencia y que luchan por establecer expansiones de sumas de divisores teóricos de números, convoluciones y series de Dirichlet (por nombrar algunas) a través de representaciones matriciales. Además de estimaciones no triviales sobre el espectro correspondiente y los espacios propios asociados con aplicaciones verdaderamente notables e importantes de estas representaciones, la maquinaria subyacente para representar sumas de estas formas mediante productos matriciales es definir de manera efectiva una denominada matriz de enmascaramiento cuyo cero o Las entradas de un valor denotan la inclusión en una secuencia creciente de conjuntos de números naturales.. Para ilustrar que el bocado anterior de jerga tiene sentido al establecer un sistema basado en matrices para representar una amplia gama de sumas especiales, considere la siguiente construcción: Seaser una secuencia de conjuntos de índices, y para cualquier función aritmética fija definir las sumas
Una de las clases de sumas consideradas por Mousavi y Schmidt (2017) define las sumas de divisores relativamente primos estableciendo los conjuntos de índices en la última definición como
Esta clase de sumas se puede usar para expresar importantes funciones aritméticas especiales de interés teórico de números, incluida la función phi de Euler (donde clásicamente definimos) como
e incluso la función de Mobius a través de su representación como una transformada de Fourier discreta (finita):
Las citas en el artículo completo proporcionan otros ejemplos de esta clase de sumas, incluidas las aplicaciones a polinomios ciclotómicos (y sus logaritmos). El artículo de referencia de Mousavi y Schmidt (2017) desarrolla un tratamiento similar al teorema de factorización para expandir estas sumas, que es un análogo a los resultados de factorización de la serie de Lambert dados en la sección anterior. Las matrices asociadas y sus inversas para esta definición de los conjuntos de índicesluego permítanos realizar el análogo de la inversión de Moebius para sumas de divisores que se pueden usar para expresar las funciones sumando f como una suma cuasi convolucionada sobre las entradas de la matriz inversa y las funciones especiales del lado izquierdo, como o señalado en el último par de ejemplos. Estas matrices inversas tienen muchas propiedades curiosas (y actualmente se carece de una buena referencia que reúna un resumen de todas ellas) que se insinúan mejor y se transmiten a los nuevos lectores mediante la inspección. Teniendo esto en cuenta, considere el caso del índice superior y las matrices relevantes definidas para este caso dadas a continuación:
Ejemplos de matrices invertibles que definen otras sumas especiales con aplicaciones no estándar, sin embargo, deben catalogarse y enumerarse en esta sección de generalizaciones para que estén completas. Un resumen existente de las relaciones de inversión y, en particular, los criterios exactos bajo los cuales las sumas de estas formas pueden invertirse y relacionarse se encuentra en muchas referencias sobre polinomios ortogonales . Otros buenos ejemplos de este tipo de tratamiento de factorización para invertir relaciones entre sumas sobre conjuntos de coeficientes de ponderación triangulares suficientemente invertibles o suficientemente bien comportados incluyen la fórmula de inversión de Mobius , la transformada binomial y la transformada de Stirling , entre otras.
Referencias
- ^ M. Merca; MD Schmidt (2018). "Teoremas de factorización para aplicaciones y series de Lambert generalizadas". El diario Ramanujan . arXiv : 1712.00611 . Código bibliográfico : 2017arXiv171200611M .
- ^ M. Merca; MD Schmidt (2017). "Generación de funciones aritméticas especiales por factorizaciones de la serie Lambert". arXiv : 1706.00393 [ math.NT ].
- ^ H. Mousavi; MD Schmidt (2018). "Teoremas de factorización para sumas de divisores relativamente primos, sumas de MCD y sumas de Ramanujan generalizadas". arXiv : 1810.08373 [ matemáticas.NT ].
- ^ Dana, Will. "Autovalores de la matriz de Redheffer y su relación con la función de Mertens" (PDF) . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
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- Redheffer, Ray (1977), "Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe", Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben, Band 3 (Tagung, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1976) , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 213-216, MR 0468170
- W. Barrett y T. Jarvis (1992). "Propiedades espectrales de una matriz de Redheffer". Álgebra lineal y sus aplicaciones : 673–683.
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- Weisstein, Eric W. "Matriz de Redheffer" . MathWorld .
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