En matemáticas, los mapas de Milnor reciben su nombre en honor a John Milnor , quien los introdujo a la topología y la geometría algebraica en su libro Singular Points of Complex Hypersurfaces ( Princeton University Press , 1968) y conferencias anteriores. Los mapas de Milnor más estudiados son en realidad fibraciones , y la frase fibración de Milnor se encuentra más comúnmente en la literatura matemática. Estos fueron introducidos para estudiar singularidades aisladas mediante la construcción de invariantes numéricos relacionados con la topología de una deformación suave del espacio singular.
Definición
Dejar ser una función polinomial no constante de variables complejas donde el locus de desaparición de
está solo en el origen, es decir, la variedad asociada no es suave en el origen. Entonces para (una esfera dentro de radio ) la fibración de Milnor [1] pág. 68 asociada a se define como el mapa
- ,
que es una fibración lisa localmente trivial para lo suficientemente pequeño. Originalmente, esto fue probado como un teorema por Milnor, pero luego fue tomado como la definición de una fibración de Milnor. Tenga en cuenta que este es un mapa bien definido ya que
- ,
dónde es el argumento de un número complejo .
Motivación histórica
Una de las motivaciones originales para estudiar tales mapas fue el estudio de los nudos construidos tomando una-bola alrededor de un punto singular de una curva plana , que es isomorfa a una bola real de 4 dimensiones, y mirando el nudo dentro del límite, que es una variedad 1- dentro de una esfera 3- . Dado que este concepto podía generalizarse a hipersuperficies con singularidades aisladas, Milnor introdujo el tema y demostró su teorema.
En geometría algebraica
Otra noción relacionada cerrada en geometría algebraica es la fibra de Milnor de una singularidad de hipersuperficie aislada. Esto tiene una configuración similar, donde un polinomio con teniendo una singularidad en el origen, pero ahora el polinomio
se considera. Entonces, la fibra algebraica de Milnor se toma como uno de los polinomios.
Propiedades y teoremas
Paralelizabilidad
Uno de los teoremas básicos de la estructura de las fibras de Milnor es que son variedades paralelizables [1] pág . 75 .
Tipo de homotopía
Las fibras de Milnor son especiales porque tienen el tipo de homotopía de un ramo de esferas [1] pág . 78 . El número de estas esferas es el número de Milnor . De hecho, el número de esferas se puede calcular usando la fórmula
donde el ideal del cociente es el ideal jacobiano , definido por las derivadas parciales. Estas esferas deformadas a la fibra algebraica de Milnor son los ciclos de desaparición de la fibración [1] pág . 83 . Desafortunadamente, calcular los valores propios de su monodromía es un desafío computacional y requiere técnicas avanzadas como las funciones b [2] pág . 23 .
Teorema de la fibración de Milnor
El teorema de fibración de Milnor establece que, para cada tal que el origen es un punto singular de la hipersuperficie(en particular, para cada polinomio libre de cuadrados no constante de dos variables, el caso de curvas planas), luego para suficientemente pequeño,
es una fibración. Cada fibra es un colector diferenciable no compacto de dimensión real. Tenga en cuenta que el cierre de cada fibra es un colector compacto con límite. Aquí el límite corresponde a la intersección de con el -esfera (de radio suficientemente pequeño) y por lo tanto es una variedad real de dimensión . Además, esta variedad compacta con límite, que se conoce como la fibra de Milnor (del punto singular aislado de en el origen), es difeomorfo a la intersección de la cerrada -bola (delimitada por la pequeña -esfera) con la hipersuperficie (no singular) dónde y es cualquier número complejo distinto de cero suficientemente pequeño. Este pequeño trozo de hipersuperficie también se llama fibra de Milnor .
Los mapas de Milnor en otros radios no siempre son fibraciones, pero aún tienen muchas propiedades interesantes. Para la mayoría (pero no todos) de los polinomios, el mapa de Milnor en el infinito (es decir, en cualquier radio suficientemente grande) es nuevamente una fibración.
Ejemplos de
El mapa de Milnor de en cualquier radio hay una fibración; esta construcción le da al nudo de trébol su estructura como un nudo de fibras .
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies . Nueva York, NY: Springer . ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC 852790417 .
- ^ Budur, Nero. "Ideales multiplicadores, fibras de Milnor y otras invariantes de singularidad" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 6 de marzo de 2019.
- Milnor, John W. (1968), Puntos singulares de hipersuperficies complejas , Annals of Mathematics Studies, No. 61. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey; Prensa de la Universidad de Tokio , Tokio, ISBN 0-691-08065-8