En electrodinámica , el acoplamiento mínimo es adecuado para tener en cuenta todas las interacciones electromagnéticas. Los momentos más altos de las partículas son consecuencia de un acoplamiento mínimo y un giro distinto de cero .
Partícula cargada no relativista en un campo electromagnético
En coordenadas cartesianas , el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ):
donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y A i son las componentes del potencial del vector magnético que pueden depender explícitamente de y .
Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz
y se llama acoplamiento mínimo .
Tenga en cuenta que los valores del potencial escalar y del potencial vectorial cambiarían durante una transformación de calibre , [1] y el propio Lagrangiano también recogerá términos adicionales; Pero los términos adicionales en lagrangiano se suman a una derivada de tiempo total de una función escalar y, por lo tanto, todavía producen la misma ecuación de Euler-Lagrange.
Los momentos canónicos vienen dados por:
Tenga en cuenta que los momentos canónicos no son invariantes de calibre y no se pueden medir físicamente. Sin embargo, el impulso cinético
es de calibre invariante y medible físicamente.
El hamiltoniano , como la transformación de Legendre del lagrangiano, es por tanto:
Esta ecuación se utiliza con frecuencia en mecánica cuántica .
Transformación bajo calibre:
donde f ( r , t ) es cualquier función escalar de espacio y tiempo, la transformación lagrangiana, canónica y hamiltoniana antes mencionada como:
que todavía produce la misma ecuación de Hamilton:
En mecánica cuántica, la función de onda también sufrirá una transformación de grupo local U (1) [2] durante la transformación de gauge, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones locales U (1).
Partícula cargada relativista en un campo electromagnético
La función de Lagrange relativista para una partícula ( resto de masa m y carga q ) viene dada por:
Por tanto, el momento canónico de la partícula es
es decir, la suma de la cantidad de movimiento cinética y la cantidad de movimiento potencial.
Resolviendo la velocidad, obtenemos
Entonces el hamiltoniano es
Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange )
de donde se puede derivar
La derivación anterior hace uso de la identidad de cálculo vectorial :
Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), P = γm ẋ ( t ) = p - q A , es
Esto tiene la ventaja de que el momento cinético P se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico p no. Observe que el hamiltoniano ( energía total ) puede verse como la suma de la energía relativista (cinética + reposo) , E = γmc 2 , más la energía potencial , V = eφ .