Una fracción (del latín fractus , "roto") representa una parte de un todo o, más generalmente, cualquier número de partes iguales. Cuando se habla en inglés cotidiano, una fracción describe cuántas partes de cierto tamaño hay, por ejemplo, la mitad, ocho quintos, tres cuartos. Una fracción común , vulgar o simple (ejemplos: y ) consta de un numerador que se muestra encima de una línea (o antes de una barra inclinada como 1 ⁄ 2 ) y un denominador distinto de cero , que se muestra debajo (o después) de esa línea. Los numeradores y denominadores también se utilizan en fracciones que no son comunes , incluidas fracciones compuestas, fracciones complejas y números mixtos.
En las fracciones comunes positivas, el numerador y el denominador son números naturales . El numerador representa un número de partes iguales y el denominador indica cuántas de esas partes forman una unidad o un todo. El denominador no puede ser cero, porque las partes cero nunca pueden formar un todo. Por ejemplo, en la fracción 3/4, el numerador 3 indica que la fracción representa 3 partes iguales y el denominador 4 indica que 4 partes forman un todo. La imagen de la derecha ilustra 3/4 de un pastel.
Una fracción común es un numeral que representa un número racional . Ese mismo número también se puede representar como un decimal , un porcentaje o con un exponente negativo. Por ejemplo, 0.01, 1% y 10 -2 son todos iguales a la fracción 1/100. Se puede pensar que un número entero tiene un denominador implícito de uno (por ejemplo, 7 es igual a 7/1).
Otros usos de las fracciones son para representar razones y divisiones . [1] Por lo tanto, la fracción 3/4también se puede utilizar para representar la relación 3: 4 (la relación entre la parte y el todo) y la división 3 ÷ 4 (tres dividido por cuatro). La regla del denominador distinto de cero, que se aplica cuando se representa una división como fracción, es un ejemplo de la regla de que la división por cero no está definida.
También podemos escribir fracciones negativas, que representan lo opuesto a una fracción positiva. Por ejemplo, si 1/2 representa una ganancia de medio dólar, entonces - 1/2representa una pérdida de medio dólar. Debido a las reglas de división de números con signo (que establece en parte que lo negativo dividido por positivo es negativo), - 1/2, −1/2 y 1/−2todos representan la misma fracción - la mitad negativa. Y como un negativo dividido por un negativo produce un positivo, −1/−2 representa la mitad positiva.
En matemáticas, el conjunto de todos los números que se pueden expresar en la forma a/B, Donde un y b son números enteros y b no cero, es decir, que se llama el conjunto de los números racionales y está representado por el símbolo Q , [2] que significa cociente . Un número es un número racional precisamente cuando se puede escribir en esa forma (es decir, como una fracción común). Sin embargo, la palabra fracción también se puede utilizar para describir expresiones matemáticas que no son números racionales. Ejemplos de estos usos incluyen fracciones algebraicas (cocientes de expresiones algebraicas) y expresiones que contienen números irracionales , como(ver raíz cuadrada de 2 ) y π/4(vea la prueba de que π es irracional ).
Vocabulario
En una fracción, el número de partes iguales que se describe es el numerador (del latín numerātor , "contador" o "numerador"), y el tipo o variedad de las partes es el denominador (del latín dēnōminātor , "cosa que nombra o designa "). [3] [4] Como ejemplo, la fracción 8/5asciende a ocho partes, cada una de las cuales es del tipo denominado "quinta". En términos de división , el numerador corresponde al dividendo y el denominador al divisor .
De manera informal, el numerador y el denominador pueden distinguirse solo por la ubicación, pero en contextos formales suelen estar separados por una barra de fracción . La barra de fracción puede ser horizontal (como en 1/3), oblicua (como en 2/5) o diagonal (como en 4 ⁄ 9 ). [5] Estas marcas se conocen respectivamente como barra horizontal; la virgula, la barra ( EE.UU. ) o el trazo ( Reino Unido ); y la barra de fracción, solidus, [6] o barra de fracción . [n 1] En tipografía , las fracciones apiladas verticalmente también se conocen como " en " o "fracciones de nueces ", y las diagonales como " em " o "fracciones de cordero", según si una fracción con un numerador y denominador de un solo dígito ocupa la proporción de un estrecho es cuadrada, o una más amplia em cuadrado. [5] En la tipografía tradicional, una pieza de tipo que contiene una fracción completa (p. Ej. 1/2) se conocía como una "fracción de caso", mientras que los que representan solo una parte de la fracción se llamaban "fracciones de pieza".
Los denominadores de las fracciones en inglés se expresan generalmente como números ordinales , en plural si el numerador no es uno. (Por ejemplo, 2/5 y 3/5ambos se leen como un número de "quintos".) Las excepciones incluyen el denominador 2, que siempre se lee "mitad" o "mitades", el denominador 4, que puede expresarse alternativamente como "cuarto" / "cuartos" o como " cuarto "/" cuartos ", y el denominador 100, que puede expresarse alternativamente como" centésimo "/" centésimo "o" porcentaje ".
Cuando el denominador es 1, puede expresarse en términos de "totalidades", pero es más común ignorarlo, y el numerador se lee como un número entero. Por ejemplo, 3/1puede describirse como "tres totalidades", o simplemente como "tres". Cuando el numerador es uno, puede omitirse (como en "una décima" o "cada cuarto").
La fracción completa puede expresarse como una sola composición, en cuyo caso se divide con guión, o como un número de fracciones con un numerador de uno, en cuyo caso no lo están. (Por ejemplo, "dos quintos" es la fracción 2/5 y "dos quintos" es la misma fracción entendida como 2 instancias de 1/5.) Las fracciones siempre deben estar separadas por guiones cuando se usan como adjetivos. Alternativamente, una fracción puede describirse leyéndola como el numerador "sobre" el denominador, con el denominador expresado como un número cardinal . (Por ejemplo, 3/1también se puede expresar como "tres sobre uno".) El término "sobre" se utiliza incluso en el caso de fracciones sólidas, donde los números se colocan a la izquierda y derecha de una barra diagonal . (Por ejemplo, 1/2 puede leerse "la mitad", "la mitad" o "uno sobre dos"). Las fracciones con denominadores grandes que no son potencias de diez a menudo se representan de esta manera (p. Ej., 1/117 como "uno sobre ciento diecisiete"), mientras que aquellos con denominadores divisibles por diez se suelen leer en la forma ordinal normal (p. ej., 6/1000000 como "seis millonésimas", "seis millonésimas" o "seis millonésimas").
Formas de fracciones
Fracciones simples, comunes o vulgares
Una fracción simple (también conocido como una fracción común o fracción vulgar , donde vulgar es latino para "común") es un número racional escrito como una / b o, donde a y b son números enteros . [10] Como ocurre con otras fracciones, el denominador ( b ) no puede ser cero. Ejemplos incluyen, , , y . El término se utilizó originalmente para distinguir este tipo de fracción de la fracción sexagesimal utilizada en astronomía. [11]
Las fracciones comunes pueden ser positivas o negativas, y pueden ser adecuadas o inadecuadas (ver más abajo). Las fracciones compuestas, las fracciones complejas, los números mixtos y los decimales (ver más abajo) no son fracciones comunes; sin embargo, a menos que sean irracionales, pueden evaluarse a una fracción común.
- Una fracción unitaria es una fracción común con un numerador de 1 (p. Ej.,). Las fracciones unitarias también se pueden expresar usando exponentes negativos, como en 2 −1 , que representa 1/2, y 2 −2 , que representa 1 / (2 2 ) o 1/4.
- Una fracción diádica es una fracción común en la que el denominador es una potencia de dos , p. Ej..
Fracciones propias e impropias
Las fracciones comunes se pueden clasificar como adecuadas o inadecuadas. Cuando el numerador y el denominador son positivos, la fracción se llama propia si el numerador es menor que el denominador y, en caso contrario, impropia. [12] [13] El concepto de "fracción impropia" es un desarrollo tardío, con la terminología derivada del hecho de que "fracción" significa "una pieza", por lo que una fracción propia debe ser menor que 1. [11] Este fue explicado en el libro de texto del siglo XVII The Ground of Arts . [14] [15]
En general, se dice que una fracción común es una fracción propia , si el valor absoluto de la fracción es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que -1 y menor que 1. [16] [17] Es se dice que es una fracción impropia , o en ocasiones una fracción pesada en la parte superior , [18] si el valor absoluto de la fracción es mayor o igual que 1. Ejemplos de fracciones propias son 2/3, −3/4 y 4 / 9, mientras que los ejemplos de fracciones impropias son 9/4, −4/3 y 3/3.
Recíprocos y el "denominador invisible"
El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador intercambiados. El recíproco de, por ejemplo, es . El producto de una fracción y su recíproco es 1, por lo tanto, el recíproco es el inverso multiplicativo de una fracción. El recíproco de una fracción propia es impropio y el recíproco de una fracción impropia que no es igual a 1 (es decir, el numerador y el denominador no son iguales) es una fracción propia.
Cuando el numerador y el denominador de una fracción son iguales (por ejemplo, ), su valor es 1 y, por tanto, la fracción es impropia. Su recíproco es idéntico y, por tanto, también igual a 1 e impropio.
Cualquier número entero se puede escribir como una fracción con el número uno como denominador. Por ejemplo, 17 se puede escribir como, donde 1 a veces se denomina denominador invisible . Por lo tanto, cada fracción o entero, excepto el cero, tiene un recíproco. Por ejemplo. el recíproco de 17 es.
Ratios
Una razón es una relación entre dos o más números que a veces se puede expresar como una fracción. Normalmente, una serie de elementos se agrupan y comparan en una proporción, especificando numéricamente la relación entre cada grupo. Las proporciones se expresan como "grupo 1 a grupo 2 ... a grupo n ". Por ejemplo, si un lote de autos tuviera 12 vehículos, de los cuales
- 2 son blancos,
- 6 son rojos y
- 4 son amarillos,
entonces la razón de autos rojos a blancos y amarillos es de 6 a 2 a 4. La razón de autos amarillos a autos blancos es de 4 a 2 y puede expresarse como 4: 2 o 2: 1.
Una razón a menudo se convierte en una fracción cuando se expresa como una razón al total. En el ejemplo anterior, la proporción de autos amarillos a todos los autos en el lote es 4:12 o 1: 3. Podemos convertir estas proporciones a una fracción y decir que 4/12 de los coches o 1/3de los autos en el lote son amarillos. Por lo tanto, si una persona eligió al azar un coche en el lote, entonces hay una posibilidad entre tres o probabilidad de que sería amarilla.
Fracciones decimales y porcentajes
Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador no se da explícitamente, pero se entiende que es una potencia entera de diez. Las fracciones decimales se expresan comúnmente usando notación decimal en la que el denominador implícito está determinado por el número de dígitos a la derecha de un separador decimal , cuya apariencia (por ejemplo, un punto, un punto elevado (•), una coma) depende de la configuración regional (para ver ejemplos, consulte el separador decimal ). Por lo tanto, para 0,75, el numerador es 75 y el denominador implícito es 10 elevado a la segunda potencia, a saber. 100, porque hay dos dígitos a la derecha del separador decimal. En números decimales mayores que 1 (como 3,75), la parte fraccionaria del número se expresa mediante los dígitos a la derecha del decimal (con un valor de 0,75 en este caso). 3.75 se puede escribir como una fracción impropia, 375/100, o como un número mixto,.
Las fracciones decimales también se pueden expresar usando notación científica con exponentes negativos, como6.023 × 10 −7 , que representa 0.0000006023. La10 −7 representa un denominador de10 7 . Dividiendo por10 7 mueve el punto decimal 7 lugares a la izquierda.
Las fracciones decimales con un número infinito de dígitos a la derecha del separador decimal representan una serie infinita . Por ejemplo, 1/3 = 0.333 ... representa la serie infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....
Otro tipo de fracción es el porcentaje (en latín per centum que significa "por cien", representado por el símbolo%), en el que el denominador implícito es siempre 100. Por lo tanto, 51% significa 51/100. Los porcentajes superiores a 100 o inferiores a cero se tratan de la misma forma, por ejemplo, 311% equivale a 311/100 y −27% equivale a −27/100.
El concepto relacionado de permilla o partes por mil (ppt) tiene un denominador implícito de 1000, mientras que la notación más general de partes por millón , como en 75 partes por millón (ppm), significa que la proporción es 75 / 1,000,000.
El que se utilicen fracciones comunes o decimales es a menudo una cuestión de gusto y contexto. Las fracciones comunes se utilizan con mayor frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. Por cálculo mental , es más fácil multiplicar 16 por 3/16 que hacer el mismo cálculo usando el equivalente decimal de la fracción (0.1875). Y es más exacto multiplicar 15 por 1/3, por ejemplo, que multiplicar 15 por cualquier aproximación decimal de un tercio. Los valores monetarios se expresan comúnmente como fracciones decimales con denominador 100, es decir, con dos decimales, por ejemplo $ 3,75. Sin embargo, como se señaló anteriormente, en la moneda británica pre-decimal, los chelines y los peniques a menudo se daban la forma (pero no el significado) de una fracción, como, por ejemplo, 3/6 (léase "tres y seis") que significa 3 chelines y 6 peniques y no tiene relación con la fracción 3/6.
Numeros mezclados
Un número mixto (también llamado fracción mixta o número mixto ) es una denotación tradicional de la suma de un número entero distinto de cero y una fracción propia (que tiene el mismo signo). Se utiliza principalmente en medición:pulgadas, por ejemplo. Las mediciones científicas utilizan casi invariablemente notación decimal en lugar de números mixtos. La suma está implícita sin el uso de un operador visible como el "+" apropiado. Por ejemplo, al referirse a dos pasteles enteros y tres cuartos de otro pastel, los números que denotan la parte entera y la parte fraccionaria de los pasteles se escriben uno al lado del otro comoen lugar de la notación inequívoca Números mixtos negativos, como en , son tratados como Cualquier suma de un todo más una parte se puede convertir en una fracción impropia aplicando las reglas de sumar cantidades diferentes .
Esta tradición está, formalmente, en conflicto con la notación en álgebra donde los símbolos adyacentes, sin un operador infijo explícito , denotan un producto. En la expresion, la operación "entendida" es la multiplicación. Si se reemplaza, por ejemplo, por la fracción , la multiplicación "entendida" debe ser reemplazada por una multiplicación explícita, para evitar la aparición de un número mixto.
Cuando se pretende multiplicar, puede escribirse como
- o o
Una fracción impropia se puede convertir en un número mixto de la siguiente manera:
- Usando la división euclidiana (división con resto), divide el numerador por el denominador. En el ejemplo,, divide 11 entre 4. 11 ÷ 4 = 2 resto 3.
- El cociente (sin el resto) se convierte en la parte entera del número mixto. El resto se convierte en el numerador de la parte fraccionaria. En el ejemplo, 2 es la parte del número entero y 3 es el numerador de la parte fraccionaria.
- El nuevo denominador es el mismo que el denominador de la fracción impropia. En el ejemplo, es 4. Por lo tanto.
Nociones históricas
Fracción egipcia
Una fracción egipcia es la suma de distintas fracciones unitarias positivas, por ejemplo. Esta definición se deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaban todas las fracciones excepto, y de esta forma. Todo número racional positivo se puede expandir como una fracción egipcia. Por ejemplo, Se puede escribir como Cualquier número racional positivo se puede escribir como una suma de fracciones unitarias de infinitas formas. Dos formas de escribir están y .
Fracciones complejas y compuestas
En una fracción compleja , el numerador o el denominador, o ambos, es una fracción o un número mixto, [19] [20] correspondiente a la división de fracciones. Por ejemplo, y son fracciones complejas. Para reducir una fracción compleja a una fracción simple, trate la línea de fracción más larga como representación de la división. Por ejemplo:
Si, en una fracción compleja, no hay una forma única de saber qué líneas de fracción tienen prioridad, entonces esta expresión está formada incorrectamente, debido a la ambigüedad. Entonces, 5/10/20/40 no es una expresión matemática válida, debido a múltiples interpretaciones posibles, por ejemplo, como
- o como
Una fracción compuesta es una fracción de una fracción, o cualquier número de fracciones relacionadas con la palabra de , [19] [20] correspondiente a la multiplicación de fracciones. Para reducir una fracción compuesta a una fracción simple, simplemente realice la multiplicación (consulte la sección sobre multiplicación ). Por ejemplo, de es una fracción compuesta, correspondiente a . Los términos fracción compuesta y fracción compleja están estrechamente relacionados y, a veces, uno se utiliza como sinónimo del otro. (Por ejemplo, la fracción compuesta es equivalente a la fracción compleja .)
No obstante, tanto la "fracción compleja" como la "fracción compuesta" pueden considerarse obsoletas [21] y ahora no se usan de manera bien definida, en parte incluso tomadas como sinónimos entre sí [22] o para números mixtos. [23] Han perdido su significado como términos técnicos y los atributos "complejo" y "compuesto" tienden a usarse en su significado cotidiano de "que consta de partes".
Aritmética con fracciones
Como los números enteros, las fracciones obedecen las leyes conmutativas , asociativas y distributivas y la regla contra la división por cero .
Fracciones equivalentes
Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número (distinto de cero) da como resultado una fracción que es equivalente a la fracción original. Esto es cierto porque para cualquier número distinto de cero, la fracción es igual a . Por lo tanto, multiplicar pores lo mismo que multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. A modo de ejemplo, comience con la fracción. Cuando el numerador y el denominador se multiplican por 2, el resultado es, que tiene el mismo valor (0,5) que . Para imaginarse esto visualmente, imagine cortar un pastel en cuatro pedazos; dos de las piezas juntas) compone la mitad del pastel ().
Simplificar (reducir) fracciones
Dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero produce una fracción equivalente: si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un número (llamado factor) mayor que 1, entonces la fracción se puede reducir a una fracción equivalente con un numerador más pequeño y un denominador más pequeño. Por ejemplo, si tanto el numerador como el denominador de la fracción son divisibles por entonces pueden escribirse como y y la fracción se convierte en , que se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por para dar la fracción reducida
Si se toma para c el máximo común divisor del numerador y el denominador, se obtiene la fracción equivalente cuyo numerador y denominador tienen los valores absolutos más bajos . Se dice que la fracción se ha reducido a sus términos más bajos .
Si el numerador y el denominador no comparten ningún factor mayor que 1, la fracción ya está reducida a sus términos más bajos y se dice que es irreductible , reducida o en términos más simples . Por ejemplo, no está en los términos más bajos porque tanto 3 como 9 se pueden dividir exactamente entre 3. En contraste, está en los términos más bajos: el único entero positivo que entra en 3 y 8 de manera uniforme es 1.
Usando estas reglas, podemos demostrar que , por ejemplo.
Como otro ejemplo, dado que el máximo común divisor de 63 y 462 es 21, la fracción se puede reducir a los términos más bajos dividiendo el numerador y el denominador por 21:
El algoritmo euclidiano proporciona un método para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros.
Comparar fracciones
La comparación de fracciones con el mismo denominador positivo da el mismo resultado que la comparación de los numeradores:
- porque 3> 2 , y los denominadores iguales son positivas.
Si los denominadores iguales son negativos, entonces el resultado opuesto de comparar los numeradores es válido para las fracciones:
Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador más pequeño es el número más grande. Cuando un todo se divide en partes iguales, si se necesitan menos partes iguales para formar el todo, entonces cada parte debe ser más grande. Cuando dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, representan el mismo número de partes, pero en la fracción con el denominador más pequeño, las partes son más grandes.
Una forma de comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Comparar y , estos se convierten en y (donde el punto significa multiplicación y es un símbolo alternativo a ×). Entonces bd es un denominador común y los numeradores ad y bc se pueden comparar. No es necesario determinar el valor del denominador común para comparar fracciones; uno puede simplemente comparar ad y bc , sin evaluar bd , por ejemplo, comparar ? da .
Para la pregunta más laboriosa ? multiplica la parte superior e inferior de cada fracción por el denominador de la otra fracción, para obtener un denominador común, lo que da como resultado ? . No es necesario calcular- solo es necesario comparar los numeradores. Dado que 5 × 17 (= 85) es mayor que 4 × 18 (= 72), el resultado de la comparación es.
Debido a que todo número negativo, incluidas las fracciones negativas, es menor que cero, y todo número positivo, incluidas las fracciones positivas, es mayor que cero, se deduce que cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. Esto permite, junto con las reglas anteriores, comparar todas las fracciones posibles.
Adición
La primera regla de la suma es que solo se pueden agregar cantidades similares; por ejemplo, varias cantidades de cuartos. A diferencia de las cantidades, como sumar tercios a cuartos, primero se deben convertir a cantidades similares como se describe a continuación: Imagine un bolsillo que contiene dos cuartos y otro bolsillo que contiene tres cuartos; en total, hay cinco trimestres. Dado que cuatro cuartos equivalen a uno (dólar), esto se puede representar de la siguiente manera:
- .
Agregar cantidades diferentes
Para sumar fracciones que contienen cantidades diferentes (por ejemplo, cuartos y tercios), es necesario convertir todas las cantidades en cantidades similares. Es fácil calcular el tipo de fracción elegido para convertir; simplemente multiplica los dos denominadores (número de abajo) de cada fracción. En caso de un número entero, aplique el denominador invisible
Para sumar cuartos a tercios, ambos tipos de fracciones se convierten en doceavos, así:
Considere agregar las siguientes dos cantidades:
Primero, convierta en decimoquinta multiplicando tanto el numerador como el denominador por tres: . Desde es igual a 1, multiplicación por no cambia el valor de la fracción.
En segundo lugar, convierta en quinceavos multiplicando el numerador y el denominador por cinco: .
Ahora se puede ver que:
es equivalente a:
Este método se puede expresar algebraicamente:
Este método algebraico siempre funciona, garantizando así que la suma de fracciones simples sea siempre nuevamente una fracción simple. Sin embargo, si los denominadores simples contienen un factor común, se puede usar un denominador más pequeño que el producto de estos. Por ejemplo, al agregar y los denominadores simples tienen un factor común y por lo tanto, en lugar del denominador 24 (4 × 6), se puede usar el denominador 12 reducido a la mitad, no solo reduciendo el denominador en el resultado, sino también los factores en el numerador.
El denominador más pequeño posible viene dado por el mínimo común múltiplo de los denominadores simples, que resulta de dividir el múltiplo de memoria por todos los factores comunes de los denominadores simples. A esto se le llama el mínimo común denominador.
Sustracción
El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que el de sumarlas: encuentra un denominador común y cambia cada fracción a una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá ese denominador, y su numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,
Multiplicación
Multiplicar una fracción por otra fracción
Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. Por lo tanto:
Para explicar el proceso, considere un tercio de un cuarto. Usando el ejemplo de un pastel, si tres rebanadas pequeñas de igual tamaño forman un cuarto y cuatro cuartos forman un todo, doce de estas rebanadas pequeñas e iguales forman un todo. Por lo tanto, un tercio de un cuarto es un doceavo. Ahora considere los numeradores. La primera fracción, dos tercios, es el doble de un tercio. Dado que un tercio de un cuarto es un doceavo, dos tercios de un cuarto son dos doceavos. La segunda fracción, tres cuartos, es tres veces más grande que un cuarto, por lo que dos tercios de tres cuartos es tres veces más grande que dos tercios de un cuarto. Así, dos tercios por tres cuartos son seis doceavos.
Un atajo para multiplicar fracciones se llama "cancelación". Efectivamente, la respuesta se reduce a los términos más bajos durante la multiplicación. Por ejemplo:
Un dos es un factor común tanto en el numerador de la fracción izquierda como en el denominador de la derecha y se divide entre ambos. Tres es un factor común del denominador izquierdo y el numerador derecho y se divide entre ambos.
Multiplicar una fracción por un número entero
Dado que un número entero se puede reescribir dividido por 1, las reglas normales de multiplicación de fracciones aún se pueden aplicar.
Este método funciona porque la fracción 6/1 significa seis partes iguales, cada una de las cuales es un entero.
Multiplicar números mixtos
Al multiplicar números mixtos, se considera preferible convertir el número mixto en una fracción impropia. [24] Por ejemplo:
En otras palabras, es lo mismo que , haciendo 11 cuartos en total (porque 2 pasteles, cada uno dividido en cuartos hace un total de 8 cuartos) y 33 cuartos es , ya que 8 pasteles, cada uno de cuartos, son 32 cuartos en total.
División
Para dividir una fracción por un número entero, puede dividir el numerador por el número, si va uniformemente en el numerador, o multiplicar el denominador por el número. Por ejemplo, es igual a y tambien es igual , que se reduce a . Para dividir un número por una fracción, multiplique ese número por el recíproco de esa fracción. Por lo tanto,.
Conversión entre decimales y fracciones
Para cambiar una fracción común a decimal, haz una división larga de las representaciones decimales del numerador por el denominador (esto también se expresa idiomáticamente como "divide el denominador en el numerador") y redondea la respuesta con la precisión deseada. Por ejemplo, para cambiar 1/4 a un decimal, dividir por (" dentro "), para obtener . Cambiar 1/3 a un decimal, dividir por (" dentro "), y se detiene cuando se obtiene la precisión deseada, por ejemplo, en decimales con . La fracción 1/4 se puede escribir exactamente con dos dígitos decimales, mientras que la fracción 1/3no se puede escribir exactamente como un decimal con un número finito de dígitos. Para cambiar un decimal a una fracción, escribe en el denominador aseguido de tantos ceros como dígitos haya a la derecha del punto decimal, y escriba en el numerador todos los dígitos del decimal original, omitiendo simplemente el punto decimal. Por lo tanto
Convertir decimales periódicos a fracciones
Los números decimales, aunque podría decirse que son más útiles para trabajar al realizar cálculos, a veces carecen de la precisión que tienen las fracciones comunes. A veces, se requiere un decimal repetido infinito para alcanzar la misma precisión. Por lo tanto, a menudo es útil convertir decimales repetidos en fracciones.
¿El preferido [ por quién? ] forma de indicar un decimal periódico es colocar una barra (conocida como vinculum ) sobre los dígitos que se repiten, por ejemplo 0. 789 = 0.789789789 ... Para patrones repetidos donde el patrón repetido comienza inmediatamente después del punto decimal, un simple la división del patrón por el mismo número de nueves que los números que tiene será suficiente. Por ejemplo:
- 0, 5 = 5/9
- 0. 62 = 62/99
- 0. 264 = 264/999
- 0. 6291 = 6291/9999
En caso de que los ceros iniciales precedan al patrón, los nueves tienen como sufijo el mismo número de ceros finales :
- 0.0 5 = 5/90
- 0,000 392 = 392/999000
- 0,00 12 = 12/9900
En caso de que un conjunto de decimales no repetidos preceda al patrón (como 0.1523 987 ), podemos escribirlo como la suma de las partes no repetidas y repetidas, respectivamente:
- 0,1523 + 0,0000 987
Luego, convierta ambas partes en fracciones y súmelas usando los métodos descritos anteriormente:
- 1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000
Alternativamente, se puede usar álgebra, como a continuación:
- Sea x = el decimal periódico:
- x = 0,1523 987
- Multiplica ambos lados por la potencia de 10 lo suficientemente grande (en este caso 10 4 ) para mover el punto decimal justo antes de la parte repetida del número decimal:
- 10.000 x = 1.523. 987
- Multiplica ambos lados por la potencia de 10 (en este caso 10 3 ) que es igual al número de lugares que se repiten:
- 10,000,000 x = 1,523,987. 987
- Restar las dos ecuaciones entre sí (si un = b y c = d , a continuación, un - c = b - d ):
- 10,000,000 x - 10,000 x = 1,523,987. 987 - 1.523. 987
- Continúe con la operación de resta para borrar el decimal periódico:
- 9,990,000 x = 1,523,987 - 1,523
- = 1,522,464
- Divide ambos lados por 9,990,000 para representar x como una fracción
- x = 1522464 / 9990000
Fracciones en matemáticas abstractas
Además de ser de gran importancia práctica, las fracciones también son estudiadas por matemáticos, quienes verifican que las reglas para las fracciones dadas anteriormente sean consistentes y confiables . Los matemáticos definen una fracción como un par ordenadode enteros y para las cuales las operaciones de suma , resta , multiplicación y división se definen de la siguiente manera: [25]
Estas definiciones concuerdan en todos los casos con las definiciones dadas anteriormente; solo la notación es diferente. Alternativamente, en lugar de definir la resta y la división como operaciones, las fracciones "inversas" con respecto a la suma y la multiplicación podrían definirse como:
Además, la relación , especificada como
es una relación de equivalencia de fracciones. Cada fracción de una clase de equivalencia puede considerarse como un representante de toda la clase, y cada clase completa puede considerarse como una fracción abstracta. Esta equivalencia se conserva mediante las operaciones definidas anteriormente, es decir, los resultados de operar en fracciones son independientes de la selección de representantes de su clase de equivalencia. Formalmente, para la suma de fracciones
- y implicar
y de forma similar para las demás operaciones.
En el caso de fracciones de números enteros, las fracciones a/Bcon a y b coprimos y b > 0 a menudo se toman como representantes determinados unívocamente para sus fracciones equivalentes , que se consideran el mismo número racional. De esta forma las fracciones de números enteros forman el campo de los números racionales.
Más en general, una y b pueden ser elementos de cualquier dominio integral R , en cuyo caso una fracción es un elemento del campo de las fracciones de R . Por ejemplo, los polinomios en una indeterminada, con coeficientes de algún dominio integral D , son en sí mismas un dominio de integridad, llamarlo P . Así que para una y b elementos de P , el generado de fracciones es el campo de fracciones racionales (también conocido como el campo de funciones racionales ).
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas . Al igual que con las fracciones de números enteros, el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Dos ejemplos de fracciones algebraicas son y . Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismas propiedades de campo que las fracciones aritméticas.
Si el numerador y el denominador son polinomios , como en, la fracción algebraica se llama fracción racional (o expresión racional ). Una fracción irracional es aquella que no es racional, como, por ejemplo, una que contiene la variable bajo un exponente fraccionario o raíz, como en.
La terminología utilizada para describir las fracciones algebraicas es similar a la utilizada para las fracciones ordinarias. Por ejemplo, una fracción algebraica está en términos mínimos si los únicos factores comunes al numerador y al denominador son 1 y -1. Una fracción algebraica cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una fracción, como, se llama fracción compleja .
El campo de los números racionales es el campo de las fracciones de los números enteros, mientras que los números enteros en sí mismos no son un campo sino un dominio integral . De manera similar, las fracciones racionales con coeficientes en un campo forman el campo de fracciones de polinomios con coeficiente en ese campo. Considerando las fracciones racionales con coeficientes reales, las expresiones radicales que representan números, comoson también fracciones racionales, como lo son números trascendentales como ya que todos y son números reales y, por tanto, se consideran coeficientes. Sin embargo, estos mismos números no son fracciones racionales con coeficientes enteros .
El término fracción parcial se utiliza al descomponer fracciones racionales en sumas de fracciones más simples. Por ejemplo, la fracción racional se puede descomponer como la suma de dos fracciones: Esto es útil para el cálculo de antiderivadas de funciones racionales (ver descomposición de fracciones parciales para más información).
Expresiones radicales
Una fracción también puede contener radicales en el numerador o en el denominador. Si el denominador contiene radicales, puede ser útil racionalizarlo (comparar la forma simplificada de una expresión radical ), especialmente si se van a realizar más operaciones, como sumar o comparar esa fracción con otra. También es más conveniente si la división se va a realizar manualmente. Cuando el denominador es una raíz cuadrada monomial , se puede racionalizar multiplicando tanto la parte superior como la inferior de la fracción por el denominador:
El proceso de racionalización de denominadores binomiales implica multiplicar la parte superior e inferior de una fracción por el conjugado del denominador para que el denominador se convierta en un número racional. Por ejemplo:
Incluso si este proceso da como resultado que el numerador sea irracional, como en los ejemplos anteriores, el proceso aún puede facilitar manipulaciones posteriores al reducir el número de irracionales con los que uno tiene que trabajar en el denominador.
Variaciones tipográficas
En las pantallas de computadora y la tipografía , las fracciones simples a veces se imprimen como un solo carácter, por ejemplo, ½ (la mitad ). Consulte el artículo sobre formularios numéricos para obtener información sobre cómo hacer esto en Unicode .
La publicación científica distingue cuatro formas de establecer fracciones, junto con pautas de uso: [26]
- fracciones especiales: fracciones que se presentan como un solo carácter con una barra inclinada, con aproximadamente la misma altura y ancho que otros caracteres en el texto. Generalmente se usa para fracciones simples, como: ½, ⅓, ⅔, ¼ y ¾. Dado que los números son más pequeños, la legibilidad puede ser un problema, especialmente para fuentes de tamaño pequeño. Estos no se utilizan en la notación matemática moderna, sino en otros contextos.
- fracciones de caso: similares a las fracciones especiales, se representan como un solo carácter tipográfico, pero con una barra horizontal, lo que las coloca en posición vertical . Un ejemplo sería, pero renderizado con la misma altura que otros caracteres. Algunas fuentes incluyen toda la representación de fracciones como fracciones de caso si ocupan solo un espacio tipográfico, independientemente de la dirección de la barra. [27]
- fracciones de chelín o solidus: 1/2, llamado así porque esta notación se usó para la moneda británica pre-decimal ( £ sd ), como en 2/6 para media corona , lo que significa dos chelines y seis peniques. Si bien la notación "dos chelines y seis peniques" no representaba una fracción, la barra inclinada ahora se usa en fracciones, especialmente para fracciones en línea con prosa (en lugar de mostradas), para evitar líneas desiguales. También se utiliza para fracciones dentro de fracciones ( fracciones complejas ) o dentro de exponentes para aumentar la legibilidad. Las fracciones escritas de esta manera, también conocidas como fracciones de pieza , [28] se escriben todas en una línea tipográfica, pero ocupan 3 o más espacios tipográficos.
- fracciones acumuladas: . Esta notación usa dos o más líneas de texto ordinario y da como resultado una variación en el espacio entre líneas cuando se incluye dentro de otro texto. Si bien son grandes y legibles, pueden ser perjudiciales, especialmente para fracciones simples o dentro de fracciones complejas.
Historia
Las primeras fracciones eran recíprocos de números enteros : símbolos antiguos que representan una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro, etc. [29] Los egipcios usaron fracciones egipcias c. 1000 AC. Hace unos 4000 años, los egipcios dividían con fracciones utilizando métodos ligeramente diferentes. Utilizaron múltiplos mínimos comunes con fracciones unitarias . Sus métodos dieron la misma respuesta que los métodos modernos. [30] Los egipcios también tenían una notación diferente para las fracciones diádicas en la Tabla de madera de Akhmim y varios problemas de papiro matemático Rhind .
Los griegos usaban fracciones unitarias y (más tarde) fracciones continuas . Los seguidores del filósofo griego Pitágoras ( c. 530 a . C.) descubrieron que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como una fracción de números enteros . (Esto se atribuye comúnmente, aunque probablemente erróneamente, a Hippasus de Metapontum , de quien se dice que fue ejecutado por revelar este hecho.) En 150 a. C., los matemáticos jainistas de la India escribieron el " Sthananga Sutra ", que contiene trabajos sobre la teoría de los números, aritmética operaciones y operaciones con fracciones.
Una expresión moderna de fracciones conocida como bhinnarasi parece haberse originado en la India en la obra de Aryabhatta ( c. 500 d . C. ), [ cita requerida ] Brahmagupta ( c. 628 ) y Bhaskara ( c. 1150 ). [31] Sus obras forman fracciones colocando los numeradores ( sánscrito : amsa ) sobre los denominadores ( cheda ), pero sin una barra entre ellos. [31] En la literatura sánscrita , las fracciones siempre se expresaron como una suma o resta de un número entero. [ cita requerida ] El número entero se escribió en una línea y la fracción en sus dos partes en la siguiente línea. Si la fracción se marcó con un círculo pequeño ⟨०⟩ o una cruz ⟨+⟩, se resta del número entero; si no aparece dicho signo, se entiende añadido. Por ejemplo, Bhaskara I escribe: [32]
- ६ १ २
- १ १ १ ०
- ४ ५ ९
que es el equivalente de
- 6 1 2
- 1 1 −1
- 4 5 9
y se escribiría en notación moderna como 6 1/4, 1 1/5y 2 - 1/9 (es decir, 1 8/9).
La barra de fracción horizontal se atestigua por primera vez en el trabajo de Al-Hassār ( fl. 1200 ), [31] un matemático musulmán de Fez , Marruecos , que se especializó en jurisprudencia islámica sobre herencias . En su discusión escribe, "... por ejemplo, si le dicen que escriba tres quintos y un tercio de un quinto, escriba así,. " [33] La misma notación fraccionaria - con la fracción dada antes del número entero [31] - aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII. [34]
Al discutir los orígenes de las fracciones decimales , Dirk Jan Struik afirma: [35]
"La introducción de las fracciones decimales como práctica computacional común se remonta al panfleto flamenco De Thiende , publicado en Leyden en 1585, junto con una traducción francesa, La Disme , del matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620), luego Se estableció en el norte de los Países Bajos . Es cierto que los chinos usaron fracciones decimales muchos siglos antes que Stevin y que el astrónomo persa Al-Kāshī usó fracciones decimales y sexagesimales con gran facilidad en su Clave de la aritmética ( Samarcanda , principios del siglo XV). . " [36]
Mientras que el persa matemático jamshid al-Kashi afirmó haber descubierto las fracciones decimales a sí mismo en el siglo 15, J. Lennart Berggren notas que se había equivocado, como fracciones decimales se utilizaron por primera vez cinco siglos antes de él por el Baghdadi matemático Abu l-Hasan al -Uqlidisi ya en el siglo X. [37] [n 2]
Educación informal
Herramientas pedagógicas
En las escuelas primarias , las fracciones se han demostrado a través de varillas de Cuisenaire , barras de fracciones , tiras de fracciones, círculos de fracciones, papel (para doblar o cortar), bloques de patrones , piezas en forma de pastel, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel de puntos , geopizarras , contadores software de ordenador.
Documentos para profesores
Varios estados de los Estados Unidos han adoptado trayectorias de aprendizaje de las pautas de la Iniciativa de Estándares Estatales Básicos Comunes para la educación matemática. Además de secuenciar el aprendizaje de fracciones y operaciones con fracciones, el documento proporciona la siguiente definición de fracción: "Un número expresable en la forma / dónde es un número entero y es un número entero positivo. (La palabra fracción en estos estándares siempre se refiere a un número no negativo). " [39] El documento en sí también se refiere a fracciones negativas.
Ver también
- Multiplicación cruzada
- 0,999 ...
- Múltiple
- FRACTRAN
Notas
- ^ Algunos tipógrafos como Bringhurst erróneamente distinguen de la barra ⟨ / ⟩ como la virgule y la barra fracción ⟨ / ⟩ como el solidus , [7] aunque en realidad ambos son sinónimos de la barra estándar. [8] [9]
- ↑ Si bien existe cierto desacuerdo entre los estudiosos de la historia de las matemáticas en cuanto a la primacía de la contribución de al-Uqlidisi, no hay duda de su principal contribución al concepto de fracciones decimales. [38]
Referencias
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enlaces externos
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- "Fracción" . Encyclopædia Britannica .
- "Fracción (matemáticas)" . Citizendium .
- "Fracción" . PlanetMath . Archivado desde el original el 25 de octubre de 2019 . Consultado el 29 de septiembre de 2019 .