Una curva elíptica modular es una curva elíptica E que admite una parametrización X 0 ( N ) → E mediante una curva modular . Esto no es lo mismo que una curva modular que resulta ser una curva elíptica, algo que podría llamarse curva modular elíptica. El teorema de la modularidad , también conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura , afirma que cada curva elíptica definida sobre los números racionales es modular.
Historia y significado
En las décadas de 1950 y 1960, el matemático japonés Goro Shimura conjeturó una conexión entre las curvas elípticas y las formas modulares basándose en las ideas planteadas por Yutaka Taniyama . En Occidente se hizo conocido a través de un artículo de 1967 de André Weil . Con Weil dando evidencia conceptual de ello, a veces se le llama la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil . Afirma que toda curva elíptica racional es modular .
En una rama separada del desarrollo, a fines de la década de 1960, a Yves Hellegouarch se le ocurrió la idea de asociar las soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. [1] La curva consta de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen la relación
Tal una curva elíptica disfrutaría propiedades muy especiales, que son debidas a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y el hecho de que un n + b n = c n es un n ésima potencia también.
En el verano de 1986, Ken Ribet demostró que, tal como Frey había anticipado, un caso especial de la conjetura Taniyama-Shimura (aún no probada en ese momento), junto con la ahora probada conjetura épsilon, implica el último teorema de Fermat. Por lo tanto, si la conjetura de Taniyama-Shimura es cierta para curvas elípticas semiestables, entonces el último teorema de Fermat sería verdadero. Sin embargo, este enfoque teórico se consideró ampliamente inalcanzable, ya que la conjetura de Taniyama-Shimura fue vista en sí misma como completamente inaccesible a la prueba con el conocimiento actual. [2] Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible de probar", [3] y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de personas que creían [que] era completamente inaccesible". [4]
Al escuchar la prueba de 1986 de la conjetura épsilon, Wiles decidió comenzar a investigar exclusivamente hacia una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura. Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y probarlo". [4]
Wiles anunció por primera vez su prueba el miércoles 23 de junio de 1993, en una conferencia en Cambridge titulada "Curvas elípticas y representaciones de Galois". [5] Sin embargo, se encontró que la prueba contenía un error en septiembre de 1993. Un año después, el lunes 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de [su] vida laboral", Wiles tropezó con un revelación, "tan indescriptiblemente hermosa ... tan simple y tan elegante", que le permitió corregir la demostración a satisfacción de la comunidad matemática. La demostración correcta se publicó en mayo de 1995. La demostración utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números , y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX no disponibles para Fermat.
Teorema de modularidad
El teorema establece que cualquier curva elíptica sobre Q se puede obtener mediante un mapa racional con coeficientes enteros de la curva modular clásica.
para algún número entero N ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se llama una parametrización modular de nivel N . Si N es el número entero más pequeño para el que se puede encontrar dicha parametrización (que por el teorema de modularidad en sí mismo ahora se sabe que es un número llamado conductor ), entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de forma modular de ponderación dos y nivel N , una nueva forma normalizada con un entero q -expansión, seguida si es necesario por una isogenia .
El teorema de modularidad implica un enunciado analítico estrechamente relacionado: a una curva elíptica E sobre Q podemos adjuntar una serie L correspondiente . La serie L es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita
donde el producto y los coeficientes se definen en la función zeta de Hasse-Weil . La función generadora de los coeficientes es entonces
Si hacemos la sustitución
vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una funciónde la variable compleja τ , por lo que los coeficientes de la serie q también se consideran los coeficientes de Fourier de. La función obtenida de esta manera es, notablemente, una forma de cúspide de peso dos y nivel N y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se sigue del teorema de modularidad.
Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomórficos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta la isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a las formas propias de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las formas propias de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella, es isógena a la curva original (pero no, en general, isomorfa a ella).
Referencias
- ^ Hellegouarch, Yves (2001). Invitación a las Matemáticas de Fermat-Wiles . Prensa académica. ISBN 978-0-12-339251-0.
- ^ Singh, Simon (octubre de 1998). Enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 .: 203–205, 223, 226
- ^ Singh, Simon (octubre de 1998). Enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 .: 226
- ^ a b Singh, Simon (octubre de 1998). Enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 .: 223
- ^ Kolata, Gina (24 de junio de 1993). "¡Por fin, grito de 'Eureka!' En el misterio de las matemáticas ancestrales " . The New York Times . Consultado el 21 de enero de 2013 .
Otras lecturas
- Wiles, Andrew (1995), "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat", Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307 / 2118559 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118559 , MR 1333035
- Wiles, Andrew (1995), "Formas modulares, curvas elípticas y último teorema de Fermat", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Zúrich, 1994) , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 243–245, MR 1403925